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1、学 海 无 涯第2讲 导数的应用(一)A级基础演练(时间:30分钟满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1(2013石景山模拟)若函数h(x)2x在(1,)上是增函数,则实数k的取值范围是 ()A(2,) B(2,)C(,2) D(,2)解析由条件得h(x)20在(1,)上恒成立,即k2x2在(1,)上恒成立,所以k(2,)答案A2(2013郑州检测)函数f(x)(4x)ex的单调递减区间是 ()A(,4) B(,3)C(4,) D(3,)解析f(x)ex(4x)exex(3x),令f(x)0,3x3.答案D3(2013安庆模拟)下列函数中,在(0,)内为增函数的是 ()Af(x)s
2、in 2x Bf(x)xexCf(x)x3x Df(x)xln x解析sin 2x2sin xcos x,(sin 2x)2(cos2xsin2x),在(0,)不恒大于零;(x3x)3x21,在(0,)不恒大于零;(xlnx)1在(0,)不恒大于零;(xex)exxex,当x(0,)时exxex0,故选B.答案B4函数f(x)的定义域是R,f(0)2,对任意xR,f(x)f(x)1,则不等式exf(x)ex1的解集为 ()Ax|x0 Bx|x0Cx|x1 Dx|x1或0xexex0,所以g(x)exf(x)ex为R上的增函数,又因为g(0)e0f(0)e01,所以原不等式转化为g(x)g(0)
3、,解得x0.答案A二、填空题(每小题5分,共10分)5函数yx2sin x在0,上的递增区间是_解析y12cos x,令12cos x0,得cos x,解得2kx2k,kR,又0x,x.答案6已知直线yx1与曲线yln(xa)相切,则a的值为_解析设切点坐标为(x0,y0)又y,由已知条件解得a2.答案2三、解答题(共25分)7(12分)设函数f(x)ax33x2,(aR),且x2是yf(x)的极值点,求函数g(x)exf(x)的单调区间解f(x)3ax26x3x(ax2)因为x2是函数yf(x)的极值点所以f(2)0,即6(2a2)0,因此a1,经验证,当a1时,x2是函数f(x)的极值点,
4、所以g(x)ex(x33x2),g(x)ex(x33x23x26x)ex(x36x)x(x)(x)ex.因为ex0,所以yg(x)的单调增区间是(,0)和(,);单调减区间是(,)和(0,)8(13分)已知函数f(x)x3ax2xc,且af.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)(f(x)x3)ex,若函数g(x)在x3,2上单调递增,求实数c的取值范围解(1)由f(x)x3ax2xc,得f(x)3x22ax1.当x时,得af322a1,解之,得a1.(2)由(1)可知f(x)x3x2xc.则f(x)3x22x13(x1),列表如下:x1(1,)f(x)00f(x
5、)极大值 极小值所以f(x)的单调递增区间是(,)和(1,);f(x)的单调递减区间是.(3)函数g(x)(f(x)x3)ex(x2xc)ex,有g(x)(2x1)ex(x2xc)ex(x23xc1)ex,因为函数g(x)在x3,2上单调递增,所以h(x)x23xc10在x3,2上恒成立只要h(2)0,解得c11,所以c的取值范围是11,)探究提高利用导数研究函数单调性的一般步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数f(x);(3)若求单调区间(或证明单调性),只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0.若已知f(x)的单调性,则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单
6、调区间上恒成立问题求解B级能力突破(时间:30分钟满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1定义在R上的函数yf(x)满足f(4x)f(x),(x2)f(x)0,若x14,则 ()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)Df(x1)与f(x2)的大小不确定解析f(4x)f(x),函数f(x)的图象关于直线x2对称,由(x2)f(x)x12时,f(x1)f(x2);当x22x1时,x1x24,x24x12,f(4x1)f(x1)f(x2),综上,f(x1)f(x2),故选B.答案B2已知函数f(x)的定义域为1,5,部分对应值如下表f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示下列关于函数
7、f(x)的命题:函数yf(x)是周期函数;函数f(x)在0,2上是减函数;如果当x1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;当1a2时,函数yf(x)a有4个零点其中真命题的个数有 ()A4 B3 C2 D1解析依题意得,函数f(x)不可能是周期函数,因此不正确;当x(0,2)时,f(x)0,因此函数f(x)在0,2上是减函数,正确;当x1,t时,f(x)的最大值是2,依题意,结合函数f(x)的可能图象形状分析可知,此时t的最大值是5,因此不正确;注意到f(2)的值不明确,结合图形分析可知,将函数f(x)的图象向下平移a(1a0)的单调递减区间是_解析由axx20(a0),解得0xa
8、,即函数f(x)的定义域为0,a,f(x),由f(x)0解得x,因此f(x)的单调递减区间是.答案4已知函数yx3bx2(2b3)x2b在R上不是单调减函数,则b的取值范围是_解析yx22bx(2b3),要使原函数在R上单调递减,应有y0恒成立,4b24(2b3)4(b22b3)0,1b3,故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b3.答案(,1)(3,)三、解答题(共25分)5(12分)已知函数g(x)ln x在1,)上为增函数,且(0,),f(x)mxln x,mR.(1)求的值;(2)若f(x)g(x)在1,)上为单调函数,求m的取值范围解(1)由题意得,g(x)0在1,)上恒成立
9、,即0.(0,),sin 0,故sin x10在1,)上恒成立,只需sin 110,即sin 1,只有sin 1.结合(0,),得.(2)由(1),得f(x)g(x)mx2ln x,.f(x)g(x)在其定义域内为单调函数,mx22xm0或者mx22xm0在1,)恒成立mx22xm0等价于m(1x2)2x,即m,而1,m1.mx22xm0等价于m(1x2)2x,即m在1,)上恒成立而(0,1,m0.综上,m的取值范围是(,01,)6(13分)设函数f(x)ln x在内有极值(1)求实数a的取值范围;(2)若x1(0,1),x2(1,)求证:f(x2)f(x1)e2.注:e是自然对数的底数(1)解易知函数f(x)的定义域为(0,1)(1,),f(x).由函数f(x)在内有极值,可知方程f(x)0在内有解,令g(x)x2(a2)x1(x)(x)不妨设0e,又g(0)10,所以g1e2.(2)证明由(1)知f(x)00x,f(x)0x1或1xe),则h()120,所以函数h()在(e,)上单调递增,所以f(x2)f(x1)h()h(e)2e.特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.