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1、学 海 无 涯第4讲 椭 圆A级基础演练(时间:30分钟满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1椭圆y21的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2| () A. B. C. D4解析a24,b21,所以a2,b1,c,不妨设F1为左焦点,P在x轴上方,则F1(,0),设P(,m)(m0),则m21,解得m,所以|PF1|,根据椭圆定义:|PF1|PF2|2a,所以|PF2|2a|PF1|22.答案A2(2012江西)椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭
2、圆的离心率为 ()A. B. C. D.2解析因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,所以|AF1|ac,|F1F2|2c,|F1B|ac.又因为|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以(ac)(ac)4c2,即a25c2.所以离心率e,故选B.答案B3(2013嘉兴测试)已知椭圆x2my21的离心率e,则实数m的取值范围是 ()A. B.C. D.解析椭圆标准方程为x21.当m1时,e21,解得m;当0m1时,e21m,解得0mb0)的中心为O,左焦点为F,A是椭圆上的一点.0且2,则该椭圆的离心率是() A. B.C3 D3解析因为0,且(),所以2,所以|c,所以|c
3、,且AOF45,设椭圆的右焦点是F,在AOF中,由余弦定理可得AF c,由椭圆定义可得AFAF c c2a,即(1)c2a,故离心率e.答案A二、填空题(每小题5分,共10分)5(2013青岛模拟)设椭圆1(m0,n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为_解析抛物线y28x的焦点为(2,0),m2n24,e,m4,代入得,n212,椭圆方程为1.答案16(2013佛山模拟)在等差数列an中,a2a311,a2a3a421,则椭圆C:1的离心率为_解析由题意,得a410,设公差为d,则a3a2(10d)(102d)203d11,d3,a5a4d13,a6a42d16a
4、5,e.答案三、解答题(共25分)7(12分)已知F1,F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,0,若椭圆的离心率等于.(1)求直线AO的方程(O为坐标原点);(2)直线AO交椭圆于点B,若三角形ABF2的面积等于4,求椭圆的方程解(1)由0,知AF2F1F2,椭圆的离心率等于,ca,可得b2a2.设椭圆方程为x22y2a2.设A(x0,y0),由0,知x0c,A(c,y0),代入椭圆方程可得y0a,A,故直线AO的斜率k,直线AO的方程为yx.(2)连接AF1,BF1,AF2,BF2,由椭圆的对称性可知,SABF2SABF1SAF1F2,2ca4.又由ca,解
5、得a216,b21688.故椭圆方程为1.8(13分)设F1,F2分别为椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60,F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距;(2)如果2,求椭圆C的方程解(1)设椭圆C的焦距为2c,由已知可得F1到直线l的距离c2,故c2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由2及l的倾斜角为60,知y10,直线l的方程为y(x2)由消去x,整理得(3a2b2)y24b2y3b40.解得y1,y2.因为2,所以y12y2,即2,解得a3.而a2b24,所以b25.故椭圆C的方程为1.B级能力
6、突破(时间:30分钟满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1. (2013厦门质检)已知F是椭圆C:1(ab0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆2y2相切于点Q,且2Q,则椭圆C的离心率等于() A. B. C. D.解析记椭圆的左焦点为F,圆2y2的圆心为E,连接PF,QE.|EF|OF|OE|c,2Q,PFQE,且PFPF.又|QE|(圆的半径长),|PF|b.据椭圆的定义知:|PF|PF|2a,|PF|2ab.PFPF,|PF|2|PF|2|FF|2,b2(2ab)2(2c)2,2(a2c2)b22ab,3b22ab,b,ca,椭圆的离心率为.答案A2(2012山东)已知
7、椭圆C:1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析因为椭圆的离心率为,所以e,c2a2,c2a2a2b2,所以b2a2,即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx,代入椭圆方程得1,即1,所以x2b2,xb,y2b2,yb,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为,所以四边形的面积为4bbb216,所以b25,所以椭圆方程为1.答案D二、填空题(每小题5分,共10分)3(2012泰安一模)F1,F2为双曲线C:1(a0,b0)的焦点,A,B分别为双曲线的左、右顶点,以F1F2
8、为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,且满足MAB30,则该双曲线的离心率为_解析如图,以F1F2为直径的圆为x2y2c2,双曲线的渐近线为yx.由得M(a,b),MAB为直角三角形在RtMAB中,tan 30.e .答案4.如图,OFB,ABF的面积为2,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆方程为_解析设标准方程为1(ab0),由题可知,|OF|c,|OB|b,|BF|a,OFB,a2b.SABF|AF|BO|(ac)b(2bb)b2,b22,b,a2,椭圆的方程为1.答案1三、解答题(共25分)5(12分)(2012南京二模) 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C
9、:1(ab0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy20相切(1)求椭圆C的方程;(2)已知点P(0,1),Q(0,2)设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T.求证:点T在椭圆C上(1)解由题意知,b.因为离心率e,所以 .所以a2.所以椭圆C的方程为1.(2)证明由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(x0,y0),则直线PM的方程为yx1,直线QN的方程为yx2.法一联立解得x,y,即T.由1,可得x84y.因为221,所以点T的坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上法二设T(x,y),联立解得x0,y0.因为1,所以221.整理得
10、(2y3)2,所以12y84y212y9,即1.所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上6(13分)(2012重庆) 如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且AB1B2是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2QB2,求直线l的方程解(1) 如图,设所求椭圆的标准方程为1(ab0),右焦点为F2(c,0)因AB1B2是直角三角形,又|AB1|AB2|,故B1AB2为直角,因此|OA|OB2|,得b.结合c2a2b2得4b2a2b2,故a25b
11、2,c24b2,所以离心率e.在RtAB1B2中,OAB1B2,故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由题设条件SAB1B24得b24,从而a25b220.因此所求椭圆的标准方程为:1.(2)由(1)知B1(2,0),B2(2,0)由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1y2,y1y2,又(x12,y1),(x22,y2),所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616,由PB2QB2,得0,即16m2640,解得m2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x2y20和x2y20.特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.