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1、学 海 无 涯3.4基本不等式：(二)课时目标1熟练掌握基本不等式及变形的应用；2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1设x，y为正实数(1)若xys(和s为定值)，则当xy时，积xy有最大值，且这个值为.(2)若xyp(积p为定值)，则当xy时，和xy有最小值，且这个值为2.2利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值(3)等号成立的条件是否满足利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”一、选择题1函数ylog2 (x1)
2、的最小值为()A3 B3 C4 D4答案B2已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x4y的最小值为()A2 B4 C16 D不存在答案B解析点P(x，y)在直线AB上，x2y3.2x4y224(x，y时取等号)3已知x，则f(x)有()A最大值 B最小值 C最大值1 D最小值1答案D解析f(x)1.当且仅当x2，即x3时等号成立4函数y的最小值为()A2 B. C1 D不存在答案B解析y2，而，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最值，函数yx在(1，)上是增函数，在2，)上也是增函数当2即x0时，ymin.5已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最
3、小值是()A3 B4 C. D.答案B解析8(x2y)2xyx(2y)()2.原式可化为(x2y)24(x2y)320.x0，y0，x2y4.当x2，y1时取等号6若xy是正数，则22的最小值是()A3 B. C4 D.答案C解析22x2y21124.当且仅当xy或xy时取等号二、填空题7设x1，则函数y的最小值是_答案9解析x1，x10，设x1t0，则xt1，于是有yt5259，当且仅当t，即t2时取等号，此时x1.当x1时，函数y取得最小值为9.8已知正数a，b满足abab30，则ab的最小值是_答案9解析abab30，abab323.令t，则t22t3.解得t3(t1舍)即3.ab9.当
4、且仅当ab3时，取等号9建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为_元答案1 760解析设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m那么y120428048032048032021 760(元)当x2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元10函数yloga(x3)1 (a0，a1)的图象恒过点A，若点A在直线mxny10上，其中mn0，则的最小值为_答案8解析A(2，1)在直线mxny10上，2mn10，即2mn1，mn0，m0，n0.22428
5、.当且仅当，即m，n时等号成立故的最小值为8.三、解答题11已知x0，y0，且1，求xy的最小值解方法一1，xy(xy)10.x0，y0，2 6.当且仅当，即y3x时，取等号又1，x4，y12.当x4，y12时，xy取最小值16.方法二由1，得x，x0，y0，y9.xyyyy1(y9)10.y9，y90，y9102 1016，当且仅当y9，即y12时取等号又1，则x4，当x4，y12时，xy取最小值16.12某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使
6、用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?解设使用x年的年平均费用为y万元由已知，得y，即y1(xN*)由基本不等式知y12 3，当且仅当，即x10时取等号因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元能力提升13若关于x的不等式(1k2)xk44的解集是M，则对任意实常数k，总有()A2M,0M B2M,0M C2M,0M D2M,0M答案A解析(1k2)xk44，x.(1k2)222.x22，Mx|x22，2M,0M.14设正数x，y满足a恒成立，则a的最小值是_答案解析 成立，a.1利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值2使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解3解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义
