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1、学 海 无 涯3.4基本不等式：(一)课时目标1理解基本不等式的内容及其证明；2能利用基本不等式证明简单不等式1如果a，bR，那么a2b22ab(当且仅当ab时取“”号)2若a，b都为正数，那么(当且仅当ab时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数3基本不等式的常用推论(1)ab2 (a，bR)；(2)当x0时，x2；当x0时，2；当ab0，b0，则， ，中最小的是()A. B. C. D.答案D解析方法一特殊值法令a4，b2，则3， ，.最小方法二，由 ，可知最小2已知ma (a2)，nx22 (xn Bmn Cmn Dmn答案A解析m(a
2、2)2224，n22x2n.3设a，bR，且ab，ab2，则必有()A1ab Bab1Cab1 D.ab1答案B解析ab2，ab，ab0，1，ab1.4已知正数0a1,0b2，a2b22ab，所以，最大的只能是a2b2与ab之一而a2b2(ab)a(a1)b(b1)，又0a1,0b1，所以a10，b10，因此a2b2ab，所以ab最大5设0ab，且ab1，在下列四个数中最大的是()A. Bb C2ab Da2b2答案B解析ab2，ab，2ab0， ，a2b2.b(a2b2)(bb2)a2b(1b)a2aba2a(ba)0，ba2b2，b最大6若不等式x2ax10对一切x恒成立，则a的最小值为(
3、)A0 B2 C D3答案B解析x2ax10在x上恒成立axx21amax.x2，2，a2.二、填空题7若a1，则a有最_值，为_答案大1解析a1，a10，y0，2(x2时取等号)9已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_答案3解析x0，y0且12，xy3.当且仅当时取等号10若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围为_答案解析x0，0，易知a0.，x3.x0，x3235(x1时取等号)，5.a.三、解答题11设a、b、c都是正数，求证：abc.证明a、b、c都是正数，、也都是正数2c，2a，2b，三式相加得22(abc)，即abc.12abc，nN且，求n的最大值解abc，ab0，bc0，a
4、c0.，n.ac(ab)(bc)，n，n2.2 2(2bac时取等号)n4.n的最大值是4.能力提升13已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A8 B6 C4 D2答案C解析只需求(xy)的最小值大于等于9即可，又(xy)1aaa12 a2 1，等号成立仅当a即可，所以()22 19，即()22 80求得2或4(舍去)，所以a4，即a的最小值为4.14已知a，b，c为不等正实数，且abc1.求证：.证明2 2，2 2，2 2，22()，即.a，b，c为不等正实数，.1设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min(a，b) max(a，b)当且仅当ab时，取到等号2两个不等式a2b22ab与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取号”这句话的含义要有正确的理解一方面：当ab时，；另一方面：当时，也有ab.
