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1、第10课时幂函数及函数的奇偶性1.通过实例,了解幂函数的概念,结合函数的图像,了解它的变化情况.2.理解函数的奇偶性及其几何意义,培养学生观察、抽象的能力,以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.3.会利用定义证明简单函数的奇偶性.4.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法.取一张白纸,在其上画出平面直角坐标系,并在第一象限任画一可作为函数图像的图形,然后按如下操作:以y轴为折痕将纸对折,并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形.问题1:一个函数,底数是自变量x,指数是常量,即y=x,这样的函数叫作幂函数,幂函数的特点有:指数为常数;底数为自变量;
2、系数为1,它的图像恒过定点.问题2:对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有,那么f(x)就叫作奇函数;它的图像关于对称.对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有,那么f(x)就叫作偶函数;它的图像关于对称.问题3:在幂函数的表达式中,当0和0时,幂函数的图像过点、,并且在区间0,+)上为函数;(2)当0时,f(x)=x2+1,则f(-2)=.4.已知函数f(x)是定义在(-,+)上的偶函数,当x(-,0)时,f(x)=x-x4,求当x(0,+)时,f(x)的解析式.幂函数的概念在函数y=1x2,y=2x2,y=x2+x,y=1中,幂函数的个数为().A.0B.1C.2D.3简单幂函数的图
3、像与性质分别写出函数y=x0,y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的定义域和值域,并在同一直角坐标系中画出它们的图像.判断函数的奇偶性(1)函数f(x)=x2+x().A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数(2)函数y=x|x|+px,xR,则f(x)().A.是偶函数B.是奇函数C.不具有奇偶性D.奇偶性与p有关幂函数图像过点(2,14),则它的单调递增区间是().A.(0,+)B.0,+)C.(-,0)D.(-,+)比较下列各组数的大小:(1)3-52和3.1-52;(2)-8-78和-(19)78;(3)(-23)-23和(-6)-23;(4)4
4、.125,3.8-23和(-1.9)35.1.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=5;(2)f(x)=x2-1+1-x2;(3)f(x)=x2(x-1)x-1.2.判断函数(x-1)x+1x-1的奇偶性.1.下列幂函数中,是奇函数且在(0,+)内递增的为().A.y=1xB.y=xC.y=xD.y=x22.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为().A.-1B.0C.1D.23.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图像,则f(-2)的值是.4.判断函数f(x)=x(x-1),x0,-x(x+1),x0的奇偶性.如图所示,曲线是幂函数y=x在第一象限的图像,
5、已知可取2、12四个值,则相应的曲线C2的值为(). A.-2B.2C.-12D.12考题变式(我来改编):答案第10课时幂函数及函数的奇偶性知识体系梳理问题1:(1,1)问题2:f(-x)=-f(x)原点f(-x)=f(x)y轴问题3:(1)(0,0)(1,1)增(2)(1,1)减yxx问题4:偶奇偶奇基础学习交流1.C根据幂函数的定义知,A、B、D均不是幂函数,C中函数化为y=x-2,符合幂函数的定义,故选C.2.A偶函数的图像一定关于y轴对称,但不一定与y轴相交,如y=x-2,故错误,正确;奇函数的图像关于原点对称,但不一定过原点,如y=x-1,故不正确;若函数y=f(x)既是奇函数又是
6、偶函数,由定义可得f(x)=0,但未必xR,如x(-1,1), x-1,1等,只要其定义域关于原点对称,都满足条件,故错误.所以四个结论中只有正确,故选A.3.-5因为f(x)是R上的奇函数,故f(-x)=-f(x),所以f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5.4.解:设x(0,+),则-x(-,0),因为当x(-,0)时,f(x)=x-x4,所以f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4,又函数f(x)是定义在 (-,+)上的偶函数,于是,f(-x)=f(x),所以f(x)=-x-x4.重点难点探究探究一:【解析】函数y=1x2=x-2为幂函数;函数y=2x2的系数不是“1”,它不是幂函
7、数;函数y=x2+x是两个函数的和的形式,它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x0)不是同一函数,它也不是幂函数,故选B.【答案】B【小结】判断一个函数是否为幂函数,依据是该函数是否为形如y=x(为常数)的形式,函数的解析式为一个幂的形式.探究二:【解析】y=x0,定义域为x|x0,值域为1;y=x,定义域为R,值域为R;y=x2,定义域为R,值域为y|y0;y=x3,定义域为R,值域为R;y=x12,定义域为x|x0,值域为y|y0;y=x-1,定义域为x|x0,值域为y|y0.【小结】(1)对于幂函数的性质,要结合图像熟记,并且要灵活运用.已知幂函数的图像特征或性质求解析式时,常用待定
8、系数法;判断幂函数的单调性时,通常借助于其指数的符号来分析.(2)幂函数与其他函数相比,其图像的位置和形状变化更加复杂,因为幂函数的指数稍有变化,其图像就有可能发生很大的变化,因此,要学会归纳总结,并举一反三.探究三:【解析】(1)由于函数的定义域为0,+),不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数,故选C.(2)因为该函数的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=-x|x|-px=-(x|x|+px)=-f(x),所以该函数是奇函数,故选B.【答案】(1)C(2)B【小结】用定义法判断函数的奇偶性必须先求函数的定义域,当定义域不关于原点对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原
9、点对称时,再判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等.思维拓展应用应用一:C设幂函数的解析式为y=x,则14=2,解得=-2,即幂函数为y=x-2,由于指数小于0,则在(0,+)上为减函数,在(-,0)上为增函数,所以选C.应用二:(1)函数y=x-52在(0,+)上为减函数,又33.1-52.(2)-8-78=-(18)78,函数y=x78在(0,+)上为增函数,又1819,则(18)78(19)78,从而-8-786,所以(-23)-23125=1,03.8-231-23=1,(-1.9)350,所以(-1.9)353.8-231-23=14.125,所以(-1.9)353.8-231
10、.函数的定义域为(-,-1(1,+).由于函数的定义域在数轴上不关于原点对称,函数为非奇非偶函数.基础智能检测1.By=1x在(0,+)上为减函数;y=x是非奇非偶函数;y=x2为偶函数,所以A、C、D均不正确,选B.2.Bf(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0)=-f(0).又f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0,f(6)=0.3.-32由图像知f(2)=32.函数y=f(x)是奇函数,f(-2)=-f(2)=-32.4.解:由题意知,函数f(x)的定义域是R,关于原点对称.当x0时,f(x)=x(x-1),则-x0,f(-x)=-(-x)(-x+1)=-x(x-1)=-f(x).当x0,f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1)=-f(x).当x=0时,f(0)=0,f(-0)=0,f(-0)=-f(0).综上所得,对任意xR,总有f(-x)=-f(x)成立,f(x)是奇函数.全新视角拓展D在第一象限幂函数的图像,当0时为增函数,当0时为减函数,所以所求的值为正,又当01时,曲线是向上凸的,所以C2对应的函数为y=x12.思维导图构建常数自变量f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点
