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1、第1课时方程的根与函数的零点1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题.2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围问题.一个小朋友画了两幅图:图1图2问题1:说明此小朋友曾经渡过河;但应注意对于,无法判断此小朋友是否渡过河.问题2:(1)对于函数y=f(x),我们把使的实数x叫作函数y=f(x)的零点.由定义可知零点是一个实数,不是点.(2)在二次函数y=ax2+bx+c(a0)中,当时,有两个零点;当=0时,有零点;当时,没有零点.问题3:(1)函数y=f(x)的零点,方程f(x)=0的根,函数y=f(x)与x轴交点的横坐标之间的关系
2、:函数y=f(x)的就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的;(2)方程f(x)=0根的情况可以用函数的图像来讨论,事实上,方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点.问题4:(1)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图像是,并且有,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.(2)当函数y=f(x)在区间a,b上满足零点存在性定理的条件时,存在零点,至少有一个.(3)如果函数y=f(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线,且在区间
3、(a,b)内有零点,那么你认为f(a)f(b)与0的关系是怎样的?请举例说明.如下图所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0.1.函数y=x2-2x-3的零点是().A.(-1,0),(3,0) B.x=-1C.x=3D.-1和32.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是().A.a1C.a1D.a13.观察函数y=f(x)的图像,则f(x)在区间a,b上(填“有”或“无”)零点;f(a)f(b)0(填“”),在区间b,c上(填“有”或“无”)零点;f(b)f(c)0(填“”),在区间c,d上(填“有”或“无”)零点;f(c)f(d)0(填“”). 4.已知函数f(x)
4、=2x-x2,问方程f(x)=0在区间-1,0内是否有解,为什么?利用零点的概念求零点判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f(x)=x+3x;(2)f(x)=x2+2x+4;(3)f(x)=2x-3;(4)f(x)=1-log3x.零点个数的判断判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数.零点所在区间的判断函数f(x)=lg x-9x的零点所在的大致区间是().A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)下列函数中存在两个零点的是().A.f(x)=2x-2B.f(x)=lg(x2-2)C.f(x)=x2-2x+1D.f(x)=ex-1-2判断函数f(x)=x
5、2-1x的零点的个数.方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根().A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(-1,0)1.下列图像表示的函数中没有零点的是().2.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下的x、f(x)对应值表:x123456f(x)123.5621.45-7.8211.57-53.76-126.49函数f(x)在区间1,6上的零点至少有().A.2个B.3个C.4个D.5个3.函数f(x)为偶函数,其图像与x轴有四个交点,则该函数的所有零点之和为.4.已知函数f(x)=x3-2x2-5x+6的一个零点为1.求函数f(x)的其他零点.(2020年重庆卷)若ab0一
6、个0问题3:(1)零点横坐标问题4:(1)连续不断的一条曲线f(a)f(b)0基础学习交流1.D由x2-2x-3=0得x=-1或x=3.2.C函数f(x)=x2+2x+a没有零点,即方程x2+2x+a=0没有实数根,所以=4-4a0,得a1.3.有有有根据“如果函数y=f(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,c也就是这个方程f(x)=0的根”来解答.4.解:因为f(-1)=2-1-(-1)2=-120,而函数f(x)=2x-x2的图像是连续曲线,所以f(x)在区间-1,0内有
7、零点,即方程f(x)=0在区间-1,0内有解.重点难点探究探究一:【解析】(1)令x+3x=0,解得x=-3,所以函数f(x)=x+3x的零点是-3.(2)令x2+2x+4=0,由于=22-414=-120,所以方程x2+2x+4=0无实数根,所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.(3)令2x-3=0,解得x=log23,所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.(4)令1-log3x=0,解得x=3,所以函数f(x)=1-log3x的零点是3.【小结】求函数f(x)的零点时,通常转化为解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有实数根,则函数f(x)存在零点,该方程的根就是函数f(x)
8、的零点;否则,函数f(x)不存在零点.探究二:【解析】(法一)函数对应的方程为ln x+x2-3=0,即为函数y=ln x与y=3-x2的图像交点个数.在同一坐标系下,作出两函数的图像.如图,两函数图像有一个交点.从而ln x+x2-3=0有一个根,即函数y=ln x+x2-3有一个零点.(法二)由于f(1)=ln 1+12-3=-20,f(1)f(2)0,又f(x)=ln x+x2-3在(1,2)上是不间断的,f(x)在(1,2)上必有零点,又f(x)在(0,+)上是递增的,零点只有一个.【小结】判断函数零点个数的主要方法:(1)利用方程根,转化为解方程,有几个根就有几个零点;(2)画出函数
9、y=f(x)的图像,判定它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数;(3)结合单调性,利用f(a)f(b)0,可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数;(4)转化成两个函数图像的交点问题.探究三:【解析】f(6)=lg 6-96=lg 6-320,f(7)=lg 7-970,f(8)=lg 8-980, f(9)=lg 9-10,f(9)f(10)0,f(x)=lg x-9x的零点所在的大致区间为(9,10).【答案】D【小结】判断函数零点所在区间的三个步骤:(1)代:将区间端点代入函数求出函数的值.(2)判:把所得函数值相乘,并进行符号判断.(3)结:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在
10、该区间内无零点;若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.思维拓展应用应用一:BA中零点为1;B中零点为3;C中零点为1;D中零点为1+ln 2,故选B.应用二:由x2-1x=0,得x2=1x.令h(x)=x2(x0),g(x)=1x,在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图像,由图可知两函数图像只有一个交点.故函数f(x)=x2-1x只有一个零点.应用三:D令f(x)=2x+x,f(-1)f(0)=(-12)10,f(x)=2x+x的零点在区间(-1,0)内,故2x+x=0在区间(-1,0)内有实数根.基础智能检测1.A观察图像可知A中图像表示的函数没有零点.2.Bf(2)f(3)0,f(x)在2,3上至少有一个零点,同理f(3)f(4)0,f(4)f(5)0,f(b)=(b-c)(b-a)0,所以f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,所以函数的两个零点分别在(a,b)和(b,c)内.思维导图构建实数xx轴零点连续不间断f(a)f(b)0
