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1、23.1平面向量基本定理预习课本P9394，思考并完成以下问题(1)平面向量基本定理的内容是什么？ (2)如何定义平面向量基底？ (3)两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？ 1平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底点睛对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底2向量的夹角条件两个非
2、零向量a和b产生过程作向量a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角范围0180特殊情况0a与b同向90a与b垂直，记作ab180a与b反向点睛当a与b共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为180，所以两个向量的夹角的范围是0180.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)任意两个向量都可以作为基底()(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底()(3)零向量不可以作为基底中的向量()答案：(1)(2)(3)2若向量a，b的夹角为30，则向量a，b的夹角为()A60B30C120 D150答案：B3设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量
3、中不能作为基底的是()Ae1，e2 Be1e2,3e13e2Ce1,5e2 De1，e1e2答案：B4在等腰RtABC中，A90，则向量，的夹角为_答案：135用基底表示向量典例如图，在平行四边形ABCD中，设对角线a，b，试用基底a，b表示，.解法一：由题意知，a，b.所以ab，ab，法二：设x，y，则y，又则所以xab，yab，即ab，ab.用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解活学活用如图，已知梯形ABCD中，AD
4、BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC3AD，a，b.试以a，b为基底表示，.解：ADBC，且ADBC，b.E为AD的中点，b.，b，babba，bbaba，()()ab.向量夹角的简单求解典例已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，则ab与a的夹角是多少？ab与a的夹角又是多少？解如图所示，作a，b，且AOB60.以，为邻边作平行四边形OACB，则ab，ab.因为|a|b|2，所以平行四边形OACB是菱形，又AOB60，所以与的夹角为30，与的夹角为60.即ab与a的夹角是30，ab与a的夹角是60.求两个向量夹角的方法求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据
5、向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角过程简记为“一作二证三算”活学活用如图，已知ABC是等边三角形(1)求向量与向量的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角解：(1)ABC为等边三角形，ABC60.如图，延长AB至点D，使ABBD，则，DBC为向量与的夹角DBC120，向量与的夹角为120.(2)E为BC的中点，AEBC，与的夹角为90.平面向量基本定理的应用典例如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM与BPPN.解设e1，e2，则3e2e1，2e1e2.A，P，M和B，P，N分别共线，存在实数，使得e13e2
6、，2e1e2.故(2)e1(3)e2.而2e13e2，由平面向量基本定理，得解得，APPM41，BPPN32.一题多变1变设问在本例条件下，若a，b，试用a，b表示，解：由本例解析知BPPN32，则，b()babba.2变条件若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求APPM与BPPN.解：如图，设e1，e2，则2e2e1，2e1e2.A，P，M和B，P，N分别共线，存在实数，使得e12e2，2e1e2.故(2)e1(2)e2.而2e12e2，由平面向量基本定理，得解得，APPM2，BPPN2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件
7、及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得层级一学业水平达标1已知ABCD中DAB30，则与的夹角为()A30B60C120 D150解析：选D如图，与的夹角为ABC150.2设点O是ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()与；与；与；与.A BC D解析：选B寻找不共线的向量组即可，在ABCD中，与不共线，与不共线；而，故可作为基底3若AD是ABC的中线，已知a，b，则以a，b为基底表示()A(ab) B(ab)C(ba) Dba解析：
8、选B如图，AD是ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而，即，从而()(ab)4在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若e1，e2，则()A(e1e2) B(e1e2)C(2e2e1) D(e2e1)解析：选A因为O是矩形ABCD对角线的交点，e1，e2，所以()(e1e2)，故选A.5(全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()ABCD解析：选A由题意得.6已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy的值为_解析：a，b是一组基底，a与b不共线，(3x4y)a(2x3y)b6a3b，解得xy3.答案：37已知e1，e2是两个不共线向量，ak2e1e2
9、与b2e13e2共线，则实数k_.解析：由题设，知，3k25k20，解得k2或.答案：2或8如下图，在正方形ABCD中，设a，b，c，则在以a，b为基底时，可表示为_，在以a，c为基底时，可表示为_解析：以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得答案：ab2ac9.如图所示，设M，N，P是ABC三边上的点，且，若a，b，试用a，b将，表示出来解：ab，b(ab)ab，()(ab)10证明：三角形的三条中线共点证明：如图所示，设AD，BE，CF分别为ABC的三条中线，令a，b.则有ba.设G在AD上，且，则有a(ba)(ab)ba.(ab)aba.G在BE上，同理
10、可证，即G在CF上故AD，BE，CF三线交于同一点层级二应试能力达标1在ABC中，点D在BC边上，且2，设a，b，则可用基底a，b表示为()A(ab)BabCab D(ab)解析：选C2，.()ab.2AD与BE分别为ABC的边BC，AC上的中线，且a，b，则()Aab BabCab Dab解析：选B设AD与BE交点为F，则a，b.所以ba，所以2ab.3如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是()A若存在实数1，2，使得1e12e10，则120B平面内任一向量a都可以表示为a1e12e2，其中1，2RC1e12e2不一定在平面内，1，2RD对于平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对解析：选BA中，(12)e10，120，即12；B符合平面向量基本定理；C中，1e12e2一定在平面内；D中，1，2有且只有一对4已知非零向量，不共线，且2xy，若 (R)，则x，y满足的关系是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20解析：选A由，得()，即(1).又2xy，消去得xy2.5设e1，e2是平面内的一组基底，且ae12e2，be1e2，则e1e2_a_
