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1、无棱二面角的求解方法徐敏 求二面角的基本方法是按二面角大小的定义,作出二面角的平面角,求出平面角的大小即可。但有些题目中没有给出两个面的交线,难以直接作出二面角的平面角。本文通过一例,就这种情况给出若干种求解方法,供参考。题目:如图1,正三棱柱的各棱长都是1,M是棱的中点,求截面与底面ABC所成锐角二面角的大小。图1一. 平移法我们知道,两个平行平面与第三个平面相交,所成的两个同向二面角相等。根据这个道理,可将二面角的一个面或两个面平移到适当的位置,使其相交,构成一个易求解的二面角。解法1:如图2,取的中点D,AB的中点E,则平面DEC中的DE/,则面DEC,面DEC,从而面面DEC。这样,面
2、与面ABC所成的锐二面角等于面DEC与面ABC所成的锐二面角,即二面角。图2由题设条件的正三棱柱,易知,则是二面角的平面角。在等腰中,。所以面与面ABC所成的锐二面角为。二. 补形法将二面角的两个面延展,确定出两个面的交线,从而构成一个完整的二面角。解法2:延长与AC,相交于点P,连结BP,则所求的二面角是(图3)图3在中,由,且,可得。再由正,可得AC=BC=PC,则。又。所以是二面角的平面角。由等腰,知。三. 射影法设二面角的大小为,面内有一个面积为S的封闭图形,该图形在面内的射影面积为S,则。利用这个结论,只要计算S和S的值,就可求出二面角的大小。这种方法可以免去寻找二面角的平面角及其证明过程,使解法直截了当,方便快捷。解法3:由正三棱柱的条件,可知是在底面内的射影。取的中点N,连结MN,易求得则等腰的面积,等边的面积。设所求二面角的大小为,由,得。四. 向量法 设二面角的大小为,分别是平面和平面的法向量,则角与角相等或互补。所以。特别地,当为锐角时,。解法4:以B为原点,与AC平行的直线为x轴,与AC垂直且相交的直线为y轴,为z轴,建立如图4所示的空间直角坐标系,知B(0,0,0),M,。从而。图4设平面的法向量是,则由,有取特值,可解得。所以。显然可取平面ABC的一个法向量为。设平面与平面所成锐角二面角为,由,得所求二面角的大小为。