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1、1 构造 平口单峰 函数解决一些恼人的 切比雪夫最佳逼近直线 构造 平口单峰 函数解决一些恼人的 切比雪夫最佳逼近直线 吴剑 野猪 吴剑 野猪 2017 06 28 一 新增此方法的的简单推广 新增此方法的的简单推广 16 天津卷 天津卷 二 引理证明二 引理证明 bug 修正 修正 下面这些问题相信长期混群的人都不陌生 提问频率颇高 大多数时候的解答为绝对值 不等式配凑以及 切比雪夫最佳逼近直线 然后 没有人对最佳逼近直线给过论证 只是 一句话带过 本文将给出一种极其简洁的做法及解释 1 1 42 xx f xab a bR 若对任意的 0 1 x 1 2 f x 都成立 则 b 2 设函数
2、 4 f xax x 若对任意的正实数 a 总存在 0 1 4 x 使得 0 f xm 则实 数 m 的取值范围是 3 设函数 f xxaxb a bR 若对任意实数 a b 总存在实数 0 0 4 x 使得 0 f xm 成立 则实数 m 的取值范围为 4 已知函数 2 f xxaxb 在区间 0 xc 内的最大值为 M 0 a bR c 为常数 且存在实数 a b使得 M 的最小值为 2 则 a b c 5 已知 2 4 3f xxaxa 对任意 0 4 a 均存在 0 0 2 x 使得 0 f xt 成 立 则 t 的取值范围是 6 设函数 2 f xaxb x 若对于任意实数 a b
3、总存在 0 1 2 x 使得 0 f xm 成 立 则实数 m 的取值范围是 7 设函数 2 f xxaxb 若对于任意实数 a b 总存在 0 0 4 x 使得 0 f xm 成 立 则实数 m 的取值范围是 8 已知函数 1 f xxaxb x 当 1 2 2 x 时 设 f x的最大值为 M a b 则 M a b的最小值为 9 首相系数为 1 的二次函数 2 f xxpxq 中 找出使得 2 max 1x1xpxq 取最小值时的函数表达式 10 09 湖北压轴 在 R 上定义运算bcbqcpqp4 3 1 b c 为常数 记 cxxf2 2 1 bxxf2 2 Rx 令 21 xfxf
4、xf 记 11 g xfxx 的最大值为 M 若 M k 对任意的 b c 恒成立 试求 2 k 的最大值 11 ln 1 f xxaxb 0 1 x 对于任意的 a b 求 f x最大值的最小值 从浙江余姚的李旌根老师所发的一个问题解答中得到灵感 现将解决方案整理如下 弱弱的引理 弱弱的引理 若 f x为 m n上的连续单峰函数 且 f mf n 0 x为极值点 则 当k b变化时 g xf xkxb 的最大值的最小值为 0 2 f nf x 当且仅当 0 k0 2 f nf x b 时取得 这个引理的图像感受十分明显 但考虑到我也不是一个随便的人 还是弱弱的写点废话 证明一下 不妨以 00
5、 m xx n 为例 如图 下用反证法证明 kmb knb 均等于 0 2 f nf x 1 若两者其一小于 0 2 f nf x 不妨设 0 2 f nf x knb 此时 0 2 f nf x f nknb 矛盾 2 若 00 22 f nf xf nf x kmbknb 或 00 22 f nf xf nf x kmbknb 则有 0 0 2 f nf x kxb 此时 0 00 2 f nf x kxf x 矛盾 所以 0 2 f nf x kmbknb 引理得证 有个这个平口单峰函数平口单峰函数 如 8 题这种 天然 平的那不是直接秒了 例例 1 题目 题目 8 已知函数 1 f x
6、xaxb x 当 1 2 2 x 时 设 f x的最大值为 M a b 则 M a b的最小值为 惊喜的发现 1 x x 在 1 2 2 x 上已经是 平口单峰 函数 极值点为 1 好幸运 所以 M a b的最小值为 1 22 1 2 24 是不是很快很暴力 BUT 尴尬的是 除了 8 以外 其余各题除一次函数以外的部分都不是 平口单峰 函数 下面以 7 来分析分析 例例 2 题目 题目 7 设函数 2 f xxaxb 若对于任意实数 a b 总存在 0 0 4 x 使得 0 f xm 成立 则实数 m 的取值范围是 3 PS 现在我们希望看到绝对值里面是一个 平口单峰 函数与一个一次函数 其
7、实一次函数 都是酱油 系数丑不丑无所谓 所以可以考虑为 2 x配凑一个一次式 使 2 xx 成为 0 4 上的 平口单峰 函数 那么很明显 由 0 4 函数值相等就可以求出4 解解 2 4 4 f xxxaxb 则 f x最大值的最小值为 0 4 2 2 所以2m PS 也可以顺便得到40 24 2abab 时取得 例例 3 题目 题目 6 设函数 2 f xaxb x 若对于任意实数 a b 总存在 0 1 2 x 使得 0 f xm 成立 则实数 m 的取值范围是 PS 很明显 我们需要给 2 x 凑一个一次式 使得 2 x x 为 1 2 上的 平口单峰 函数 显 然由 1 2 处函数值
8、相等可得1 解 2 1 f xxaxb x 所以 f x最大值的最小值为 32 2 2 所以 32 2 2 m 变式 题目变式 题目 11 ln 1 f xxaxb 0 1 x 对于任意的 a b 求 f x最大值的 最小值 例例 4 题目 1 1 42 xx f xab a bR 若对任意的 0 1 x 1 2 f x 都成 立 则 b PS 即 2 1 4 2 tatb 对任意 1 2 t 恒成立 求 b 这一题乍一看似乎不是最大值的最小值问题 倒而最大值的最大值小于等于 1 2 不过考虑到 容易凑出 平口单峰 函数 try 一 try 吧 解 22 4 4t12 12 tatbtatb
9、惊奇的发现 2 4t12 12 tatb 最大 值的最小值为 8 9 1 22 又因为 1 2 f x 恒成立 所以 2 4t12 12 tatb 的最大值恰为 1 2 必须满足 12 0 8 5ab 所以8 5b 一位成都的老师马上拿出一个联赛题 似乎在区间内 层峰叠峦 例例 5 83 高中联赛 求 2sin 2 4 f xxaxb 在 3 0 2 上最大值的最小值 PS 如图 其实回想引理的证明过程不难看出 2sin 2 4 x 4 图像上的 M N 之间的图像正好是 平口单峰 的 两边的小段只是是打 jiangyou 而已 解 a 0 b 0 时 最大值的最小值为2 例例 6 16 天津
10、卷 天津卷 设函数 3 1 f xxaxb Rx 其中 Rba II 若 xf存在极值点 0 x 且 01 xfxf 其中 01 xx 求证 10 23xx 设0 a 函数 xfxg 求证 xg在区间 0 2 上的最大值不小于 4 1 3 PS 本质就是求证 f x最大值的最小值为 1 4 如何构造出 0 2 上的 平口单峰 函数是关键 但是尴尬的是 如果直接利用 0 2 处函数值相等来凑一次式 得出的式子为 3 1 1 g xxxa xb 而 3 1 xx 并不是满足条件的 平 口单峰 其实由例 5 不难看出 只要在区间 0 2 存在两个相同的最大 值点 并且最小值点在两个最大值点之间 同样
11、符合引理的使用条件 所以可以考虑构造极大值等于端点值的 平口单峰 函数 如右图 于是令 3 1 h xxx 2 3 1 h xx 极值点 0 1 3 x 由 2 可得 3 2 1 23 34 解 3 33 1 44 g xxxa xb 因为 3 3 1 4 h xxx 极大值点为 1 2 极小 值点为 3 2 且 1 2 2 hh 故由引理可得 当 a b变化时 g x最大值的最小值为 31 2 1 1 22 224 hh 得证 写了这么几个 其余的全部作为练习吧 现在再看那个题目 10 那个湖北卷压轴是不是觉得 弱爆了 PS 1 本人作图太渣 所以看例题的时候自己画个图吧 本人作图太渣 所以看例题的时候自己画个图吧 2 作为大题的话 引理的证明过程拿出来即可作为解答过程 作为大题的话 引理的证明过程拿出来即可作为解答过程
