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1、 中小学1对1课外辅导专家龙文教育学科教师辅导讲义课 题圆（一） 圆的基本性质、圆中的相关计算、几何作图教学目标1. 理解圆的有关概念和圆的对称性，会判断点和圆的位置关系，过不在同一直线上的三点确定一个圆及这个圆的画法；理解圆心角，弧、弦、弦心距及圆周角之间的关系，掌握垂径定理以及它们的逆定理和推论，并能利用它们进行证明和计算；2. 掌握圆的周长、弧长的公式，并会应用；掌握并灵活应用圆、扇形及简单图形面积的计算；了解圆锥的侧面展开图，能进行圆锥的侧面积和全面积的计算。3. 熟悉几何作图题的解法，题型。重点、难点1. 在做题时能把直径和90角联系起来，这是圆中角的一个重点，垂径定理的证明也是个重
2、点。而垂径定理的逆运用是个难点。2. 圆中一些计算公式是个重点，如：周长、面积、侧面积、底面积等。而求圆中一些不规则图形面积是个难点，要注意转化。3. 作图题运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题是个难点。考点及考试要求教学内容一、圆的基本性质【复习目标】1、理解圆的有关概念和圆的对称性，会判断点和圆的位置关系，过不在同一直线上的三点确定一个圆及这个圆的画法；2、理解圆心角，弧、弦、弦心距及圆周角之间的关系，掌握垂径定理以及它们的逆定理和推论，并能利用它们进行证明和计算；【知识要点】1.与圆有关的概念 正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与
3、圆有关的概念,并能正确分析它们的区别与联系.2.与圆有关的角 掌握圆周角和圆心角的区别与联系,将圆中的直径与90的圆周角联系在一起,一般地,若题目无直径,往往需要作出直径.3.圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理 定理和结论是在圆的旋转不变性上推出来的,需注意“在同圆或等圆中”中这个关系.4.与圆有关的位置关系 了解点和圆的位置关系,并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键.【典型例题解析】 例1 选择题 ：（1）O的半径为10cm，圆心O到直线l 的距离OM=8cm,在直线l上有点P，且PM=6cm,如图所示，则点P （ ）A、在O 内 B、在O 上 C、在O 外I D、可能在O内，也
4、可能在O外。（2）已知O的半径是10，点P到圆心的距离是8，经过点P且长 为整数的弦共有（ ）A、16条 B、14条 C、12条 D、19条分析：第1小题是判断点和圆的位置关系关键是准确地比较点到圆心的距离和圆的半径的大小关系。第2小题是利用垂径定理求弦长，需要构造直角三角形利用勾股定理。 例2 如图,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,CAB=30,则点O到CD的距离OE=_. 解析:本题主要考查圆的有关知识和等腰三角形的性质和判定.由题意可知COD=60,ADC=75,所以OCE=45,所以OCE为等腰直角三角形,所以OE=.例3 如图，已知ABC内接于O，D是O上一点，连接BD，A
5、C，AC，BD交于点E。(1)请找出图中的相似三角形，并加以证明；(2)若D=45,BC=2,求O的面积。解析：利用圆周角定理进行角度的转换，构造直角三角形是圆中非常常见的问题。例5 如图，已知AB是O的一条弦，点C为的中点，CD是O的直径，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交O于点F。(1)判定图中CEB与FDC的数量关系，并写出结论；（2）将直线l绕C点旋转（与C，D不重合），在旋转过程中，E点，F点的位置也随之变化，请你在下面两个备用图中分别画出在不同的位置时 ，使（1）的结论仍然成立的图形，标上相应的字母，选其中的一个图形给予证明。 【例题练习】1、如图1,已知圆心角BOC=100,
6、则圆周角BAC的度数为( ).A.100 B.130 C.50 D.80 (1) (2) (3) 2、过O内一点M的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm,那么OM的长为( ) A.3cm B.6cm C. cm D.9cm3、如果O的周长为10cm,那么它的半径为( ) A.5cm B. cm C.10cm D.5cm4、如图2,AB为O的直径,CD为弦,CDAB于E,则下列结论中错误的是( ) A.COE=DOE B.CE=DE C.AE=DE D. 5、下列图中:线段;正方形圆;等腰梯形;平行四边形是轴对称图形,但不是中心对称图形有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6、如图3
7、,在O中,AB、AC是互相垂直且相等的两条弦,ODAB,OEAC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则O的半径为_cm.7、D是半径为5cm的O内的一点,且OD=3cm,过点D的所有弦中最短弦AB=_cm.8、如图4,AB是O的直径,C、D、E都是O上的点,则1+2=_. (4) (5) (6) (7)9、如图5,AB为O的直径,弦AC=4cm,BC=3cm,CDAB,垂足为D,那么CD的长为_cm.10、如图6,有一圆弧形门拱的拱高AB为1m,跨度CD为4m,则这个门拱的半径为_m.11、如图7,在O中,AB=AC,CBD=30,BCD=20, 则ABC=_.【巩固练习】1、下列叙述中最正确
8、的是( ) A、半圆是最大的弧 B、弧是圆上两点间的曲线 C、在同圆中直径是最大的弦 D、弧一定大于弦2、如图，O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一动点，则OP长的取值范围 为 ；3、如图,AB、CD是O的直径,DF、BE是弦,且DF=BE.求证:D=B.4、如图,C经过原点且与两坐标轴分别交于点A到点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上一点,BMO=120,求:C的半径和圆心C的坐标.5、已知:如图,BE是ABC的外接圆O的直径,CD是ABC的高. (1)求证:ACBC=BECD; (2)已知CD=6,AD=3,BD=8,求O的直径BE的长. 二、圆的有关计算【复习目标】1、掌握圆的周
9、长、弧长的公式，并会应用；2、掌握并灵活应用圆、扇形及简单图形面积的计算；3、了解圆锥的侧面展开图，能进行圆锥的侧面颊和全面积的计算。【知识要点】1、圆的周长公式：C=2R； 圆的面积公式：S=R22、圆的半径为R，n的圆心角所对的弧长公式为，半径为R， n的圆心角所对的扇形面积公式为3、大于半圆的弓形的面积为 小于半圆的弓形的面积为4、圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r,那么这个圆锥的侧面积为5、求阴影部分的面积的几种常用方法：（）直接利用面积公式；（）割补法：把不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差；（）拼凑法：把分散的图形集中拼成大块来求；（）等积变
10、形法：利用同（等）底或同（等）高的面积比转化为高或底的比。【典型例题解析】例1 如图,一块边长为8cm的正方形木板ABCD,在水平桌面上绕点A按逆时针方向旋转至ABCD的位置,则顶点C从开始到结束所经过的路径长为( ) A.16cm B.16cm C.8cm D.4cm 解析:在旋转过程中,AC的长度不变,所以顶点C从开始到结束所经过的路径长,是以A为圆心,AC长为半径的90的弧长,AC=8,L=4.例2 如图,A、B、C、D相互外离,它们的半径都是1,顺次连结四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(阴影部分)的面积之和是( ) A.2 B. C. D. 解析:根据题设条件,无法求出四个
11、扇形的圆心角,因而从整体上考虑,可以发现四个扇形的圆心角分别是四边形的四个内角,从而可求出阴影部分的面积.例3 用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面半径为( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm解析:圆锥的底面周长即开展图是扇形的弧长.设圆锥底面半径为R,则2R=26,R=3,故选B. 点评:正确理解圆锥与侧面展开图各种量之间的关系是解决此类题目的关键.【例题练习】1. 如图，粮仓顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为36m，母线长为8m为防雨需在粮食顶部铺上油毡，需要铺油毡的面积是_好.如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的
12、面积为_cm2 (不考虑接缝等因素，计算结果用表示).小芳在为班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法.已知扇形的圆心角为120，弧长为10，则这个扇形的半径为_cm.如果圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则它的侧面展开图的面积为_.有一弓形钢板ACB，ACB的度数为120o，弧长为，现要用它剪出一个最大的圆形板料，则这一圆形板料的周长为_ .已知RtABC的斜边AB=5，一条直角边AC=3，以直线BC为轴旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（ ）A8 B12 C15 D20.圆锥的母线长为5cm，高线长为4cm，则圆锥的底面积是（ ）A3cm2 B9cm2 C16cm2 D25cm2【巩固练习】基础训练：一、选择题：1. 如图1,A、B、C两两不相交,且半径都是0.5cm,图中的三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和是( )A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 笔 (1) (2) (3)2. 半径的3cm、圆心角为120的扇形的面积为( ) A.6cm2 B.5cm2 C.4cm2 D.3cm2 3. 如图2,在同心圆中,两圆半径分别为2、1,AOB=120,则阴影部分的面积为( ) A.4 B.2 C. D.
