云南省平远一中08高考数学二轮复习之针对性、实效性训练（一）概率与统计(理科)

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1、云南省平远一中云南省平远一中 0808 高考二轮复习之针对性 实效性训练 一 概率与统计高考二轮复习之针对性 实效性训练 一 概率与统计 理理 科科 一一 考点回顾考点回顾 1 两个原理及排列组合的理解和应用 2 排列数与组合数的公式与性质 3 二项式定理的通项公式与赋值法的理解及应用 4 等可能性事件 互斥事件 对立事件 独立事件 独立重复试验 的意义及其概率的求法 5 理科 离散型随机变量的分布列 数学期望与方差的求法和实际意义 6 频率分布表及频率分布条形图 直方图的理解和应用 7 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样的操作方法以及它们的区别与联系 8 理科 正态分布与正态曲线的概念与性质的

2、理解并掌握简单应用 9 理科 了解线性回归的概念及性质 一 一 两个原理 两个原理 1 乘法原理 加法原理 2 可以有重复元素的排列 从 m 个不同元素中 每次取出 n 个元素 元素可以重复出现 按照一定的顺序排成一排 那么第一 第二 第 n 位上选取元素的方法都是 m 个 所以从 m 个不同元素中 每次取出 n 个元素可重复排列数 m m m mn 例如 n 件物品放入 m 个抽屉中 不限放法 共有多少种不同放法 解 种 n m 二 二 排列 排列 1 对排列定义的理解 定义 从 n 个不同的元素中任取 m m n 个元素 按照一定顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的一

3、个排列 相同排列 如果 两个排列相同 不仅这两个排列的元素必须完全相同 而且排列的顺序也必须完全相同 排列数 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素排成一列 称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个排列数 用符号表示 m n A 排列数公式 1 1 Nmnnm mn n mnnnAm 注意 规定 0 1 1 nnnn 规定 11 1 m n m n m n m m m n m n mAACAAA 1 1 m n m n nAA1 0 n nn CC 2 含有可重元素的排列问题 对含有相同元素求排列个数的方法是 设重集 S 有 k 个

4、不同元素 a1 a2 an其中限重复数为 n1 n2 nk 且 n n1 n2 nk 则 S 的排列个数等于 21k nnn n n 例如 已知数字 3 2 2 求其排列个数又例如 数字 5 5 5 求其排列个数 其排列个数 3 2 1 21 n 1 3 3 n 三 三 组合 组合 1 组合 从 n 个不同的元素中任取 m m n 个元素并成一组 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数公式 1 1 mnm n C m mnnn A A C m n m m m nm n 两个公式 mn n m n CC m n m n m n CCC 1 1 从 n 个不同元素中取出 m 个

5、元素后就剩下 n m 个元素 因此从 n 个不同元素中取出 n m 个元素的方法是一一 对应的 因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n m 个元素的唯一的一个组合 或者从 n 1 个编号不同的小球中 n 个白球一个红球 任取 m 个不同小球其不同选法 分二类 一类是含红 球选法有一类是不含红球的选法有 1m n 1 1 1m n CCC m n C 根据组合定义与加法原理得 在确定 n 1 个不同元素中取 m 个元素方法时 对于某一元素 只存在取与不取 两种可能 如果取这一元素 则需从剩下的 n 个元素中再取 m 1 个元素 所以有 C 如果不取这一元素 则 1 m n 需从剩余 n

6、 个元素中取出 m 个元素 所以共有 C种 依分类原理有 m n m n m n m n CCC 1 1 排列与组合的联系与区别 联系 都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素 区别 前者是 排成一排 后者是 并成一组 前者有顺序关系 后者无顺序关系 四 四 排列 组合综合排列 组合综合 1 I 排列 组合问题几大解题方法及题型 直接法 排除法 捆绑法 在特定要求的条件下 将几个相关元素当作一个元素来考虑 待整体排好之后再考虑它们 局部 的排 列 它主要用于解决 元素相邻问题 例如 一般地 n 个不同元素排成一列 要求其中某个元素必相 nmm 邻的排列有个 其中是一个 整体排列 而则是 局部排

7、列 m m mn mn AA 1 1 1 1 mn mn A m m A 又例如 有 n 个不同座位 A B 两个不能相邻 则有排列法种数为 2 n A 2 2 1 1 AAn 有 n 件不同商品 若其中 A B 排在一起有 2 2 1 1 AAn n 有 n 件不同商品 若其中有二件要排在一起有 1 1 2 n nn AA 注 区别在于 是确定的座位 有种 而 的商品地位相同 是从 n 件不同商品任取的 2 个 有不确定 2 2 A 性 插空法 先把一般元素排列好 然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中 此法主要解决 元素不相邻 问题 例如 n 个元素全排列 其中 m 个元素互不相邻 不

8、同的排法种数为多少 插空法 当 n m mn mn mn AA 1 m 1 m 即 m 时有意义 2 1 n 占位法 从元素的特殊性上讲 对问题中的特殊元素应优先排列 然后再排其他一般元素 从位置的特殊性上 讲 对问题中的特殊位置应优先考虑 然后再排其他剩余位置 即采用 先特殊后一般 的解题原则 调序法 当某些元素次序一定时 可用此法 解题方法是 先将 n 个元素进行全排列有种 个元 n n A nmm 素的全排列有种 由于要求 m 个元素次序一定 因此只能取其中的某一种排法 可以利用除法起到去调序 m m A 的作用 即若 n 个元素排成一列 其中 m 个元素次序一定 共有种排列方法 m m

9、 n n A A 例如 n 个元素全排列 其中 m 个元素顺序不变 共有多少种不同的排法 解法一 逐步插空法 m 1 m 2 n n m 解法二 比例分配法 m m n n AA 平均法 若把 kn 个不同元素平均分成 k 组 每组 n 个 共有 k k n n n nk n kn A CCC 1 例如 从 1 2 3 4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法 有 平均分组就用不着管组与组3 2 2 4 C 之间的顺序问题了 又例如将 200 名运动员平均分成两组 其中两名种子选手必在一组的概率是多少 2 10 20 2 2 8 18 C CC P 注意 分组与插空综合 例如 n

10、个元素全排列 其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变 共有多少种排法 有 当 n m 1 m 即 m 时有意义 m m m mn mn mn AAA 1 2 1 n 隔板法 常用于解正整数解组数的问题 例如 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一列 在它们之间形12 4321 xxxx 成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板 把球分成 4 个组 每一种方法所得球的数目依次为显然 4321 xxxx 故 是方程的一组解 反之 方程的任何一组解 对应着惟一的 12 4321 xxxx 4321 xxxx 4321 yyyy 一种在 12 个球之间插入隔板的方式 如图所示

11、故方程的解和插板的方法一一对应 即方程的解的组数等于插 隔板的方法数 3 11 C 注意 若为非负数解的 x 个数 即用中等于 有 n aaa 21i a 1 i xAaaaAxxxx nn 1 11 21321 进而转化为求 a 的正整数解的个数为 1 n nA C 定位问题 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内 并且都排在某 r 个指 定位置则有 rk rn r rA A 例如 从 n 个不同元素中 每次取出 m 个元素的排列 其中某个元素必须固定在 或不固定在 某一位置上 共有多少种排法 固定在某一位置上 不在某一位置上 或 一类是不取出特殊元素

12、 a 有 1 1 m n A 1 1 m n m n AA 1 1 1 11 m nm m n AAA m n A 1 一类是取特殊元素 a 有从 m 1 个位置取一个位置 然后再从 n 1 个元素中取 m 1 这与用插空法解决是一样的 指定元素排列组合问题 x1x2x3x4 i 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列 或组合 规定某 r 个元素都包含在内 先 C 后 A 策略 排列 组合 k k rk rn r r ACC rk rn r rC C ii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列 或组合 规定某 r 个元素都不包含在内 先 C 后 A 策略 排列 组合

13、 k k k rn AC k rn C iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列 或组合 规定每个排列 或组合 都只包含某 r 个元素中 的 s 个元素 先 C 后 A 策略 排列 组合 k k sk rn s r ACC sk rn s rC C II 排列组合常见解题策略 特殊元素优先安排策略 合理分类与准确分步策略 排列 组合混合问题先选后排的策略 处理排列组合 综合性问题一般是先选元素 后排列 正难则反 等价转化策略 相邻问题插空处理策略 不相邻问题插空处理策略 定序问题除法处理策略 分排问题直排处理的策略 小集团 排列问题中先 整体后局部的策略 构造模型的策略 2

14、组合问题中分组问题和分配问题 均匀不编号分组 将 n 个不同元素分成不编号的 m 组 假定其中 r 组元素个数相等 不管是否分尽 其分法 种数为 其中 A 为非均匀不编号分组中分法数 如果再有 K 组均匀分组应再除以 r r AA k k A 例 10 人分成三组 各组元素个数为 2 4 4 其分法种数为 若分成六组 各组人数分别1575 2 2 4 4 4 8 2 10 ACCC 为 1 1 2 2 2 2 其分法种数为 4 4 2 2 2 2 2 4 2 6 2 8 1 9 1 10 AACCCCCC 非均匀编号分组 n 个不同元素分组 各组元素数目均不相等 且考虑各组间的顺序 其分法种数

15、为 m m AA 例 10 人分成三组 各组人数分别为 2 3 5 去参加不同的劳动 其安排方法为 种 3 3 5 5 3 8 2 10 ACCC 若从 10 人中选 9 人分成三组 人数分别为 2 3 4 参加不同的劳动 则安排方法有种 3 3 4 5 3 8 2 10 ACCC 均匀编号分组 n 个不同元素分成 m 组 其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序 其分法种数为 m m r r AAA 例 10 人分成三组 人数分别为 2 4 4 参加三种不同劳动 分法种数为 3 3 2 2 4 4 4 8 2 10 A A CCC 非均匀不编号分组 将 n 个不同元素分成不编号的 m 组

16、每组元素数目均不相同 且不考虑各组间顺序 不 管是否分尽 其分法种数为 1 m n CA 2 1 m m n C k m m m m n 1 k21 C 例 10 人分成三组 每组人数分别为 2 3 5 其分法种数为若从 10 人中选出 6 人分成三组 2520 5 5 3 8 2 10 CCC 各组人数分别为 1 2 3 其分法种数为 12600 3 7 2 9 1 10 CCC 五 五 二项式定理 二项式定理 1 二项式定理 nn n rrnr n n n n n n baCbaCbaCbaCba 01100 展开式具有以下特点 项数 共有项 1 n 系数 依次为组合数 210n n r nnnn CCCCC 每一项的次数是一样的 即为 n 次 展开式依 a 的降幕排列 b 的升幕排列展开 二项展开式的通项 展开式中的第项为 n ba 1 r 0 1 ZrnrbaCT rrnr nr 二项式系数的性质 在二项展开式中与首未两项 等距离 的两项的二项式系数相等 二项展开式的中间项二项式系数最大 I 当 n 是偶数时 中间项是第项 它的二项式系数最大 1 2 n 2 n n C II