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1、第五章 分子动力学 第一节 Verlet 算法 牛顿方程 i ii m f dt rd v v 2 2 记 N rrrR v L vv v 21 N N m f m f m f G v L vv 2 2 1 1 方程写为 2 d R G dt v v 三点公式 24 2 11 11 2 2 nnnn nn n RRRG RR v vvvv vv r 如果给出初始条件 0 R v 和 1 R v 可求解方程 但常常给出的初 始条件是 00 vR v v 那么 0 2 001 2 GvRR v vv 为什么 因为 dv G dt r 所以 00 0 t v tvdt G tvt G rrv 0 0
2、所以 2 100000 0 RRdtvtGRvG rrr rr 方法的优点 保持时间反演不变性 即令 nn 方程形式不变 尽管误差会破坏这一对称性 如果问题与v v 无关 计算精度相当高 方法的缺点 必须用到 n v v 1n R v 为什么是缺点 另一方案 2 2 2 1 11 2 2 nnnn nnnn RRvG vvGG vv v vv 缺点 失去时间反演不变性 第二节 多体问题的基本方法 阅读材料 全同粒子 概率分布为 N rrrWRW v L vv v 21 物理量平均值 1 i i AA R W R dRdRdr Z ZW R dR vvvv v vv 分子动力学分子动力学 0 1
3、 limdttAA 个粒子处于n n rr v L v 1 的分布密度函数 Nnnn rdrdRW nN N Z rrr v L v v v L vv 121 1 nN N 来自个粒子中取个的组合数 Nn 例如 是1 Nn 是 1 nN 通常记 rr vv 1 称系统的粒子密度 定义 1 N i i rr vv r v 则 rr vv 证明 这是显然的 1 1 12 2 1 N iN i N Ni i rrr W rr Z N W rrrdr Z i dr vvvvv L vvvv L v 这里假设了 N rrW v L v 1 是关于交换 i r v 和 j r v 对称的 还可证明 2 r
4、 rrrrrr v vvvvvv 证明 11 1 NN ij ij rrrrrrW R d Z vv vvvvvv R 如 N i iN rdrrrrW N N Z rr 3 3 2 1vv L vvvvv 如 rrrr vvvv 多出一项 来自 的贡献 N i ii rrrr 1 vvvv 我们定义粒子对分布函数 rrg vv 如下 2 rr rrrg rr rr vv vvvvv vv 当系统的密度比较均匀时 g rr r vv v 退化为 1 N ij ij g rrr N v 粒子对分布函数包含体系丰富的关于平移对称性的性质 对固体 粒子对分布函数在晶体格距呈现尖锐峰值 对液体 分布函
5、数只呈现平坦峰值 而且随距离迅速消失 类似地 还可以定义关于对称性的物理量 第三节 分子动力学的简单应用 1 二维固液相变的磁偶极子模型 Hamiltonian H K V K 是动能项 势能项 3 1 ij V rr rr 在实际模拟中 为了节省计算时间 可以切断相互作用的力程 但无 论如何 带有相互作用的系统的模拟比硬碟模型困难多了 我们特别关注对称性 空间关联函数 6 exp 6 0 i ji j g rir r 时间关联函数 6 exp 6 0 i ji j g tit 数值模拟结果 与实验结果较好吻合 2 二维理论的Hamiltonian 动力学 4 假设是孤立系统 Hamilton
6、ian为 i iiiii mH 422 2 2 4 1 2 1 2 1 2 1 其中 d dt Hamiltonian 方程为 2 23 2 1 2 3 i iiii d m dt i 应当指出 这里我们已经把 定义在格点上 在连续极限下 这便是 Ginsburg Landau 理论 应用 场论 宇宙学 统计物理学 凝聚态物理学 Verlet算法 2 2 2 2 i iii d ttt dt 在相变点附近 由于动力学慢化 求解方程到平衡态比较困难 点阵太小 存在有限点阵效应 点阵太大 关联时间长 难以达到平 衡态 误差难以控制 如果我们已经非平衡态动力学 这一困难不存在 假设初始状态是高温态
7、即随机态 我们测量宏观物理量 如磁化等 随时间的演化 可以确定相变点以及相关的临界指数 物理量的测量 例如 磁化强度和它的二次矩 2 1 k k i i M L k 1 2 自关联函数 2 1 0 ii i A tt L 磁化的标度行为 0 00 1 1 xzzz M tmtMttm z tFtmm 1 00 small 从这式子我们可以测量相变点 即相变能量 指数 和 1 z 从时间自关联函数和磁化的二次矩可以测量指数 z 和 结果可以和Ising模型以及Monte Carlo 动力学比较 键是Lorentz不变性被破坏 所以 1 25 2 165 10 191 1 Ising 95 5 2
8、4 3 2 148 20 176 7 Z 4 2 1z 关 现在人们对它又感兴趣 一 方面是纳米材料的兴起 产生能量的定向流动 由能量守恒 我 们得到热传导方程 3 一维热传导的简单模型 热传导已经是一个古老的物理问题 另一方面是低维热传导有些不同于高维的特 点 如热传导系数发散等 在环境温度差的驱动下 df x t j x t dt r r 其中 f x t 是能量密度分布函数 j x t r 是能流密度矢量 在稳态时 Fourier定律假设 j xk r T x r 热传导系数 对维系统 k 发散 最简单情形 是一些半园 管子两端分别射出一些粒子 可以看到能量从高温端向低 常数 k 称一
9、一个简单模型 一根空心管 管内壁设置一些障碍物 出射粒子的速度由两端的温度决定 温 度高的粒子速度快 温度低的速度慢 用分子动力学方法模拟粒子的运动 温端传递 按照温度是平均动能的概念 2 1 T xmv 2 ii 密度 再测量能流 22 1 jmv 而计算热传导系数 一般地 从 kL 其中 L 是体尺系的寸 是正数 其数值与体系有关 A参考文献 D Alonso Rrtuso G Casati I Guarneri Phys Rev Lett 82 1859 1999 结 动力学方法 统的基本微观运动方程 误差有时不易控制 统的平衡态或非平衡态问题 较节省时间 小 分子 求解多粒子系 广泛应
10、用 比较耗时 Monte Carlo 方法 求解多粒子系 处于微观或介观层次 较广泛应用 简单实用 比 有限元方法 求解宏观或介观运动方程 例如 静电势的Poisson方程 2 4 d xx 2 0 1 dx 把空间分割成许多小块 每块用坐标 i x 标记 设 nii i 1 n xau x 其中定义于 i u x i x 附近的局域函数 然n 显 如果足够大 n x 可以逼 x 近方程的解 如果n x 有限 记方程的误差为 nn r xx4 我们的目标是选取恰当的使极小我们的目标是选取恰当的使极小 例如 引入 ini 其中是一个权重函数 然后取使为零 这样 条件 ijji j xx 便等价于
11、一个n元的线性方程组 阵 而 ii w x 现在 i a n r x 1 gdx r x w x 0 i w x i a i g 1 4 0 n gdxa uxw 0 Aa b a是 i a的列矩 1 4 bdxx 0 1 0 xwxudxA ijij 例如 Galerkin方法 设 取 0 i u x ii w xu x 1 11 0 i iiii ii xxhxxx xxhxx otherwise 这里1 试题 I 50分 1 设积分 dx 试证明 uxx 10 0 iin hxxxx b a Sf x 1 0 n k k Shf xh 1 2 1 x 0 1 2 n kk k Shf xfh 其中 2 设 10 kkn hxxxaxb x fxe 具体写出上述两个表达式 II 50分 1 设积分 Sf x W x dx 假设我们可以按照分布 W x 得到 b a l Mx个点 则 1 1 l l Sf x M 1 M M 如果用Markov过程产生 l x 转移矩阵应当满足什么条件 2 设 x W xe 写出相应的Metropolis算法的转移矩阵
