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1、第6讲 平面直角坐标系中的基本公式1.掌握向量坐标的基本概念.2.重点掌握平面直角坐标系中的基本公式，包括两点的距离公式和中点坐标公式.3.本章内容是学习解析几何的基础，初步形成数形结合的解题方法和思路. 1.理解向量的概念，向量相等的条件.2.在平面直角坐标系中，重点掌握两点的距离公式和中点坐标公式._向量的基本概念1.一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或称在这条直线上建立了直线坐标系，在数轴上，若点P与x对应，称P的坐标为x，记作P(x)2.位移是一个既有大小，又有方向的量，通常称作位移向量，本书中叫做向量点A作一次位移到点B，再由点B作一次位移到点C，则位移称作位移与位移的
2、和，记作，在数轴上，任意三点A、B、C，向量、的坐标都具有关系.例1.(1)若点P(x)位于点M(2)、N(3)之间，求x的取值范围；(2)试确定点A(a)、B(b)的位置关系【答案】 (1) 2xb时，点A(a)位于点B(b)的右侧；当ab时，点A(a)位于点B(b)的左侧；当ab时，点A(a)与点B(b)重合【解析】 数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标 (1)由题意可知，点M(2)位于点N(3)的左侧，且点P(x)位于点M(2)、N(3)之间，2xb时，点A(a)位于点B(b)的右侧；当a-6,所以选D.根据数
3、轴的定义，一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或称在这条直线上建立了直线坐标系。在数轴上数是从左到右依次增大的，难点是是比较数的大小，就能确定在数轴的位置。例2.已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，求向量、的坐标【答案】的坐标为3或3，的坐标为1或1【解析】由向量定义求解即可点A与原点O的距离为3，点A的坐标为3或3.当点A的坐标为3时，A、B之间的距离为1，点B的坐标为2或4.此时的坐标为3，的坐标为1或1.当点A的坐标为3时，A、B之间的距离为1，点B的坐标为4或2.此时的坐标为3，的坐标为1或1.练习1.已知数轴上的三点A(1)、B(5)、C
4、(x)(1)当|AB|d(B，C)8时，求x；(2)当ABCB0时，求x；(3)当时，求x.【答案】(1) x3或x7 (2) x11 (3) x11【解析】(1)由题意可知，|AB|5(1)|6，d(B，C)|x5|.当|AB|d(B，C)8时，有6|x5|8，解得x3或x7.(2)由ABCB0可知，5(1)5x0，解得x11.(3)由可知ABBC，故5(1)x5，所以x56，解得x11.练习2.数轴上任意三点A、B、C的坐标分别为a、b、c，那么有下列关系：ABACBC；|AB|AC|CB|；BCbc；A、C两点的中点坐标为.其中正确的有_(填序号)【答案】【解析】AB、AC、BC的关系为
5、ABBCAC，故错误；根据向量的和可知，故正确；因为A、B、C三点在数轴上的位置关系共有六种情况，所以|AB|、|AC|、|CB|的关系有三种情况，而|AB|AC|CB|是其中一种情况，故错误；向量的坐标是终点C的坐标c减去起点B的坐标b，即BCcb，故错误；A、C两点的中点坐标为，故错误由数轴上向量坐标的定义有以下运算法则（1）在数轴上任意三点A,B,C,都具有关系ABBCAC（2）依轴上的坐标定义，OA=，OB=所以AB= -（3）用d（A,B）=|AB|= |-|中点公式1.平面上任意两点P1(x1，y1)、P(x2，y2)的中点P(x，y)，则如果P为P1P2的中点，则称P1与P2关于
6、P对称点A(x0，y0)关于点M(a，b)的对称点为.例3.直角坐标平面上连结点（2，5）和点M的线段中点是（1，0），那么点M坐标为（）A（4，5）B（4，5）C（4，5）D（4，5）【答案】点M坐标为（4，5）【解析】解：设点M的坐标为（a，b），根据直角坐标平面上连结点（2，5）和点M的线段中点是（1，0），由中点公式可得，解得，点M坐标为（4，5），故选B练习1.已知点A关于点B(2,1)的对称点为C(4,3)，C关于D的对称点为E(6，3)，求A、D的坐标及AD中点坐标【答案】A(8，1)， D(5,0)，AD中点坐标【解析】设A(x1，y1)，A、C中点是B，2，1，x18，y11
7、，即A(8，1)设D(x2，y2)，D是C、E中点，x25，y20.即D(5,0)A、D中点为，即.练习2.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点为P(2，1)，则|AB|等于()A5 B4C2 D2【答案】C.【解析】设A(a,0)、B(0，b)由中点坐标公式，得，.即A(4,0)、B(0，2)，|AB|(0-4)2+(-2-0)22，故选C.中点坐标公式：平面上任意两点P1(x1，y1)、P(x2，y2)的中点P(x，y)，则x=,y=如果P为P1P2的中点，则称P1与P2关于P对称点A(x0，y0)关于点M(a，b)的对称点为. 例4.已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,
8、2)，B(5,7)，对角线交点为E(3,4)，求另外两顶点C、D的坐标.【答案】C点坐标为(10,6)，D点坐标为(11,1)【解析】可以画图分析点的关系，借助平行四边形的性质，尝试运用中点公式列方程组求解.设C点坐标为(，)，则由E为AC的中点得：得设D点坐标为(，)，则由E为BD的中点得得故C点坐标为(10,6)，D点坐标为(11,1).练习1.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,1)、(2，1)、(1，3)，则第四个顶点的坐标是什么？【答案】(4,3)或(2，1)或(0，5)【解析】当(1,1)与(2，1)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(4,3)；当(1,1)与(1，3)
9、为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(2，1)；当(2，1)与(1，3)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(0，5)练习2.已知矩形相邻两个顶点是A(1,3)，B(2,4)，若它的对角线交点在x轴上，求另外两顶点的坐标.【答案】C(9，3)，D(8，5)【解析】设对角线交点为P(x,0)，则|PA|PB|，即(x1)2(03)2(x2) 2(04)2，解得x5，所以对角线交点为P(5,0).所以2(5)(1)9，2033，即C(9，3)；2(5)(2)8，20(5)5, 即D(8，5)；在平行四边形、矩形、菱形中根据对角线互相平分的原理可以求得对角线的交点坐标；反过来根据交点坐标
10、和其中一个顶点坐标也可以求得另外一点的坐标.两点的距离公式1.设是数轴上的任一个向量，O为原点，点A(x1)、B(x2)，则ABOBOAx2x1，A、B两点的距离d(A，B)|AB|x2x1| .平面上任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)之间的距离d(P1，P2)|P1P2|例5.已知A(3，4)与B(a,3)两点间距离为7，求a的值【答案】a10或a4.【解析】解析：用两点间距离公式即可.d(A，B)7，(a3)2(34)2(7)2，a10或a4.练习1.求下列两点间的距离：(1)A(2,5)、B(3，4)；(2)A(1，)、B(1，)；【答案】(1) (2) 2【解析】(1) 3
11、21，459.d(A，B).(2) 1(1)2，()()2，d(A，B)2.练习2.光线从点A(3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2,10)，则光线从A到B的路程为()A.5 B.2C.5D.10【答案】C【解析】(-3,5)关于x轴的对称点为A(-3,-5)，则|AB|.平面上任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)之间的距离d(P1，P2)|P1P2|x2-x12+y2-y12例6.已知ABC的顶点A(2,3)，B(1,0)，C(2,0)，则ABC的周长是() A.2 B.32C.63D.6【答案】C【解析】由题意知|AB|3，|AC|3，|BC|3.|AB|AC|BC|63.
12、练习1.已知ABC三个顶点的坐标分别为A(a,0)，B(a,0)，C(0, a).求证：ABC是等边三角形.【答案】见解析【解析】解答本题可以尝试利用两点的距离公式求出三边长，再用三角形知识解决.【自主解答】由两点的距离公式得|AB|，|BC|，|CA|.|AB|BC|CA|，故ABC是等边三角形.练习2已知A(-1，-1)，B(3,5)，C(5,3)，试判断ABC的形状.【答案】见解析【解析】d(A，B)2，d(A，C)2，d(B，C)2.所以|AB|AC|BC|，且显然三边长不满足勾股定理，故ABC为等腰三角形.(1) 根据三角形的三个顶点坐标可以利用两点的距离公式求出三边的长度，根据三边长度可以判定三角形的形状，这是由代数问题转化成了几何问题，初步的数形结合的思想.(2) 如果两条边相等是等腰三角形；如果三条边相等是等边三角形.(3) 如果三边满足勾股定理那就是直角三角形。【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题1.理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，会表示数轴上某一点的坐标2.掌握
