《教培机构高中数学讲义][高中数学衔接课 第1讲 数论与因式分解]讲义教师版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教培机构高中数学讲义][高中数学衔接课 第1讲 数论与因式分解]讲义教师版.docx（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1讲 数论与因式分解1. 理解因式分解的基本概念，掌握因式分解的计算方法。2. 熟练运用因式分解方法，解决常见的数论问题。1. 因式分解方法中，十字相乘法、分组分解法和拆添项法是难点。2. 对于因式分解方法的掌握和记忆以及熟练运用是重点。3. 运用因式分解方法，求解整除问题和完全平方问题是难点。因式分解一定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做把这个多项式因式分解二常用方法：1提公因式法：通过提取多项式中各个单项式的公因式，将多项式写成整式乘积的形式2公式法：平方差公式： a2-b2=a+b(a-b)完全平方公式： a22ab+b2=(ab)2立方和公式： a3+b3=a+b(a2-ab+
2、b2) 立方差公式： a3-b3=a+b(a2+ab+b2)3十字相乘法：.二次项系数为1：x2+a+b+ab=x+a(x+b).二次项系数不为1：ax2+bx+c=a1x+c1a2x+c2(a0)其中满足a1a2=a，c1c2=c，a1c2+a2c1=b，则可以写成分a1c1a2c2的十字状思路为“看两端，凑中间；十字判断，横着书写”4. 分组分解法：对于四次以上的多项式，一般不能直接运用上述方法，所以需要将此多项式根据需要分成几组，每个组单独用提公因式法或者公式法，最后再整体分解这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法5拆添项法：通过拆解某一个式子或者添加某一个式子，达到因式分解的目的6
3、求根公式法:若方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等实根，（即0），则其两根为 x1=-b-b2-4ac2a ，x2=-b+b2-4ac2a ，那么对应二次三项式 ax2+bx+c (a0) 可因式分解为ax2+bx+c=ax-x1x-x2=a(x-b-b2-4ac2a)(x-b+b2-4ac2a) 例1.将多项式6x3y2 3x2y212x2y3分解因式时，应提取的公因式是（ ）A3xy B3x2yC3x2y2 D3x3y3【答案】C【解析】6x3y2 3x2y212x2y3 =-3x2y22x-1+4y，所以应提取的公因式为-3x2y2，故选C.练习1. 将4x3y-4x2y2+4x
4、y3分解因式，结果为（ ）Axy（2x2y）2 B2xy（xy）2C4xy（x2xy+y2） D4xy（xy）2【答案】C【解析】4x3y-4x2y2+4xy3=4xy（x2-xy+y2），故选C.找准公因式要“五看”，即：一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公约数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取次数较低的；四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看作整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项是“-”号，一般情况下公因式符号为负。例2.分解因式：（1）x4-y4 （2）4x2+12xy+9y2【答案】（1） x2+y2x+y（x
5、-y）；（2）（2x+3y）2【解析】（1）原式=x4-y4=x2+y2x2-y2=x2+y2x+y（x-y）（2）原式=4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2.练习1. 16（a-b）2-9（a+b）2【答案】7a-b（a-7b）【解析】原式=16a-b2-9a+b2=4a-b+3a+b4a-b-3a+b=7a-b（a-7b）.因式分解的一般步骤是：首先看有无公因式可提，然后再考虑是否可用公式法分解，若是两项可考虑平方差公式，若是三项可考虑完全平方公式；每个因式都要分解到不能再分解为止，即因式分解三步曲：一提（公因式），二套（公式），三看（是否分解彻底）.例3. 把下列各式分解因式：（1
6、）x2-2x-15 （2）x2-5x+6【答案】1 x+3（x-5） 2 （x-2）（x-3）【解析】1 十字相乘可分为 x3x-5 ，原式=x2-2x-15=x+3x-5；（2）十字相乘可分为 x-2x-3 ，原式=x2-5x+6=x-2x-3.练习1. 分解因式：x2+xy-6y2【答案】x-2y（x+3y）【解析】十字相乘可分为 x-2yx3y，原式 = x2+xy-6y2=x-2y（x+3y）. 十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 例4. 分解因式：（1）xy-
7、x-y+1；（2）5x3-15x2-x+3；【答案】（1）x-1（y-1）；（2）5x2-1（x-3）【解析】（1）原式 =xy-1-y-1=x-1（y-1）；（2）原式 =x 5x2-1-35x2-1=5x2-1（x-3）.练习1. 分解因式：7x2-3y+xy-21x【答案】x-3（7x+y）【解析】原式 = 7x2+xy-3y-21x= x7x+y-3y+7x=x-37x+y. 分组分解法是因式分解的一种复杂的方法，需要我们能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。常见的分组分解形式为2+2分法。例5. 分解因式：（1） 4x
8、4+1 ；（2）x3-3x2+4【答案】（1）2x2+2x+12x2-2x+1；（2）x+1（x-2）2【解析】（1）原式 =4x4+4x2-4x2+1=（2x2+1）2-4x2=（2x2+2x+1）（2x2-2x+1）；（2）原式 =x3+1-3x2-1=x+1x2-x+1-3x+1x-1=x+1x2-4x+4=x+1（x-2）2.练习1. 分解因式： a5+a+1【答案】a2+a+1（a3-a2+1）【解析】原式 = a5+a4+a3-a4+a3+a2+a2+a+1=a3a2+a+1-a2a2+a+1+a2+a+1=a2+a+1（a3-a2+1） 拆项：将多项式中的某一项拆成两项或多项，然
9、后再进行分组，最终达到因式分解的目的；添项：在原多项式无法直接分解的情况下，通过添一个项，并减去该项，然后分组分解，最终达到因式分解的目的。例6. 分解因式：ax2+1（a0）【答案】（x+a）（x-a）【解析】原式 = x2-（a）2=（x+a）（x-a） 求根公式法可以在实数范围内将二次三项式 ax2+bx+c（a0）进行因式分解。数论1、整除：若整数a除以非零的整数b，且余数为0，则称a能被b整除（或称b能整除a）整除与除尽既有区别又有联系：实数a除以实数b（b非0），所得的商是整数或有限小数，且余数是0时，则称a能被b除尽（或b能除尽a）因此，整除与除尽的区别是：整除的情况中，被除数、
10、除数以及商都是整数，并且余数为0；除尽并不局限于整数范围内，商可以是整数，也可以是有限小数，只有余数是零就可以了可见整除是除尽的特殊情况。2、完全平方：若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。例7. 证明：对于所有自然数n，n（n+1）（n+2）（n+3）能被12整除。【答案】见解析【解析】一个数被3除的余数有3种可能：0、1、2. （1）若n被3除余0，则n(n+1)(n+2)(n+3）能被3整除；（2）若n被3除余1，则可设n=3r+1（r为自然数），则n+2=3（r+1)，推出 n(n+1)(n+2)(n+3)能被3整
11、除；（3）若n被3除余2，则可设n=3r+2（r为自然数），则n+1=3（r+1),推出 n(n+1)(n+2)(n+3)能被3整除；总之，n(n+1)(n+2)(n+3)能被3整除. 显然4个连续自然数中必有2个偶数，它们相乘能被4整除，于是n(n+1)(n+2)(n+3)也能被4整除. 由于3和4互质，所以n(n+1)(n+2)(n+3)能被12整除.练习1. 设n为正整数，证明：n(n + 1)(2n +1)能被6整除。【答案】见解析【解析】若n为偶数，则n(n + 1)(2n +1)是偶数，若n为奇数，则n+1是偶数，所以n(n + 1)(2n +1)是偶数，再证这个数能被3整除，若n
12、被3整除，则n(n + 1)(2n +1)能被3整除，若n被3除余1，则2n+1能被3整除，所以n(n + 1)(2n +1)能被3整除，若n被3整余2，则n+1能被3整除，所以n(n + 1)(2n +1)能被3整除，所以n(n + 1)(2n +1)能被6整除。 分情况讨论是证明多项式能否被某数整除的基本方法，这里需要我们重点考虑整除后余数的不同情况。例8. 求自然数 n ，使Sn=9+17+25+（8n+1）= 4n2+5n 为完全平方数。【答案】见解析【解析】4n2+5n = n2（4+5n）= p2若为完全平方数，则（4+5n）必定也是完全平方数，因为n是自然数，所以此时n若大于5，
13、则不能使原式为整数，也谈不上完全平方数，所以0n5 很容易看出n只能等于1才能使之成为完全平方数，n=1时，使Sn = 9+17+25+（8n+1）=4n2+5n为完全平方数练习1. 证明（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1是一个完全平方数（n为正整数）。【答案】见解析【解析】将（n+1）与（n+4），（n+2）与（n+3）结合，原式 =（n2+5n+4）（n2+5n+6）+1，=（n2+5n）2 +10（n2+5n）+24+1，=（n2+5n）+52，即原式是n2+5n+5的完全平方，（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1是一个完全平方数 利用因式分解方法，先将式子进行变形，再利用结合法将其凑成完全平方公式，从而证明含n多项式为完全平方数。1、6种因式分解方法，需要认真掌握。因式分解基本步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或者十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法2、在理解并熟练运用因式分解方法的基础上，能够解决整除和完全平方证明题，观察式子能否进行因式分解是重点。
