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1、 第1讲 函数的性质与函数图像本讲模块高考考点高考要求了解理解掌握函数的单调性与奇偶性函数单调性与奇偶性的判断和证明C函数单调性与奇偶性的性质B复合函数的单调性A抽象函数的单调性与奇偶性A函数性质综合奇偶性与图像的对称性B周期性与图像的对称性A单调性、奇偶性、周期性的综合应用C基本初等函数及其图像指数与指数幂的运算B对数与对数运算B指数函数及其性质C对数函数及其性质C幂函数及其性质B初等函数的综合应用C1.函数单调性、奇偶性、周期性的概念与应用是重点也是难点.2.有理指数幂和对数的运算是重点3.指、对、幂函数的定义、性质与图像是重点4.掌握常见函数的图像，能够利用函数的定义域和值域确定函数图像
2、的范围，可以作出函数的草图（能反映出函数的单调性和对称性），并能够利用函数图像研究函数的性质是难点.函数的单调性与奇偶性一、函数的单调性1.定义及转换法判断函数的单调一般地，设是定义在上的函数，若对任意，当时，总有时，则称是上的严格增函数；若对任意，当时，总有时，则称是上的严格减函数.定义法判断函数单调性的其它形式：（1）设是定义在上的函数，若对任意，总有，则称是上的严格增函数；若对任意，总有，则称是上的严格减函数；（2）是定义在上的函数，若对任意，总有，则称是上的严格增函数；若对任意，总有，则称是上的严格减函数.2.图像法判断函数的单调性用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法.根据单调函数
3、的图像特征，若函数的图像在区间I上从左往右逐渐上升,则函数在区间I上是增函数；若函数图像在区间I上从左往右逐渐下降,则函数在区间I上是减函数.（1）对勾函数的单调性判断对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，形如的函数.对勾函数的图像是分别以和为渐近线的两支曲线.令，解得，那么当和时，为增函数；当和时，为减函数.（2）对勾函数单调性引申形如“”的函数可变形为，令，则原函数变为“”.令，解得，即，（），那么当，时，为增函数；当和时，为减函数.3.抽象函数单调性的判别方法如果一个函数没有给出具体解析式，那么这样的的函数叫做抽象函数.抽象函数没有具体的解析式，需充分提取题目条件给出的信息.（）
4、 凑差法：根据单调函数的定义，设法从题目中“凑出”“”的形式，然后比较与0的大小关系；（） 添项法：弄清题目中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以达到能判断“”与0大小关系的目的；（） 增量法：由单调性的定义出发，任取，设,然后联系题目提取的信息给出解答；（） 放缩法：利用放缩法，判断与的大小关系，从而得在其定义域内的单调性.2、 函数奇偶性与周期性1. 函数奇偶性的性质（1） 函数具有奇偶性的必要条件是“定义域关于原点对称”；（2） 是偶函数的图像关于y轴对称，是奇函数的图像关于原点对称；（3） 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性；（4） 若奇
5、函数的定义域包含0，则必有，换句话说定义在R上的奇函数必有.2. 判断函数奇偶性的方法（1） 定义法（略）及定义等价法：，；（2） 图像法（略）；（3）性质法：设，的定义域分别是和，那么在他们的公共定义域上；奇+奇=奇、偶+偶=偶、奇奇=偶、偶偶=偶、奇偶=奇.3. 函数周期性（1） 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；（2） 对于非零常数T，若函数满足，则函数必有一个周期为2T；（3） 对于非零常数T，若函数满足，则函数必有一个周期为2T；（4） 对于非零常数T，若函数满足，则函数必有一个周期为2
6、T.4. 函数对称性（1） 函数满足时，函数的图像关于直线对称；（2） 函数满足时，函数的图像关于点对称.5. 函数周期性与对称性（1）函数有两根对称轴，和时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期，即；（2）函数有两个对称中心，和时，该函数也是周期函数，且；（3）函数有一个对称中心和一个对称轴时，该函数也是周期函数，且；例1下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2（0，+），当x1x2时，都有f（x1）f（x2）的是（）Af（x）= Bf（x）=（x1）2 Cf（x）=ex Df（x）=ln（x+1）【答案】A【解析】对任意x1、x2（0，+），当x1x2时，都有
7、f（x1）f（x2），函数在（0，+）上是减函数；A、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+）上是减函数，故A正确；B、由于f（x）=（x1）2，由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数，故B不对；C、由于e1，则由指数函数的单调性知，在（0，+）上是增函数，故C不对；D、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（1，+），由于e1，则由对数函数的单调性知，在（0，+）上是增函数，故D不对；故选A练习1定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x1，x20，+）（x1x2），有，则（）A f（3）f（2）f（4） Bf（1）f（2）f（3）Cf（2）f（1）f（3） D
8、f（3）f（1）f（0）【答案】D【解析】若对任意的x1，x20，+）（x1x2），有，则函数f（x）满足在0，+）上单调递减，则f（3）f（1）f（0），故选D练习2下列函数中，是偶函数，且对任意的x1，x20，+）（x1x2）恒有的函数是（）Ay=x2 By=x1 Cy=x2 D【答案】A【解析】函数y=x2，既是偶函数，在区间（0，+） 上单调递减，故A正确；函数y=x1，是奇函数，在区间（0，+） 上单调递减，故B错误；函数y=x2，是偶函数，但在区间（0，+） 上单调递增，故C错误；函数，是奇函数，在区间（0，+） 上单调递增，故D错误；故选A此类题型考查的是简单函数单调性与奇偶性的
9、判断通常采用函数性质法进行求解，该方法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法函数性质法通常与我们常见的初等函数的单调性结合起来使用，对于一些常见的初等函数（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数）的单调性与奇偶性需要牢牢掌握例2已知函数y=f（x）在定义域（1，1）上是减函数，且f（2a1）f（1a），则实数a的取值范围是（）A B C（0，2） D（0，+）【答案】B【解析】函数y=f（x）在定义域（1，1）上是减函数，则有，解得，故选B练习1已知函数f（x）是定义在区间0，+）上的增函数，则满足f（2x1）f（）的x的取值范围是（）A（，） B，） C（，） D，）【答案】D【解
10、析】函数f（x）是定义在区间0，+）上的增函数，则满足f（2x1）f（），02x1，解得 x，故选D练习2. 已知函数f（x）=2x+sinx，不等式f（m2）+f（2m3）0（其中mR）的解集是（）A （3，1） B（1，3）C（，3）（1，+） D（，1）（3，+）【答案】A【解析】根据题意，函数f（x）=2x+sinx，则f（x）=2（x）+sin（x）=（2x+sinx）=f（x），f（x）为奇函数，又由f（x）=2+cosx0，则函数f（x）在R上为增函数，f（m2）+f（2m3）0f（m2）f（2m3）f（m2）f（32m）m232mm2+2m30，解可得3m1，即其解集为（3，1
11、），故选A此类题型考查的是利用函数性质（单调性和奇偶性）解不等式，通常从定义域、单调性、奇偶性入手首先利用函数的奇偶性将函数变形为的形式，在由抽象函数的定义域和函数单调性的定义列不等式进行求解即可例3若函数 为奇函数，则a=（）A B C D1【答案】A【解析】f（x）为奇函数，f（1）=f（1），=，1+a=3（1a），解得a=，故选A练习1若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=【答案】【解析】若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则f（x）=f（x），即ln（e3x+1）+ax=ln（e3x+1）ax，即2ax=ln（e3x+1）ln（e3x+1）=ln=ln=lne
12、3x=3x，即2a=3，解得a=，故答案为.此类题型考查的是函数奇偶性的定义，通常采用特征法进行求解例4已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x（，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）=【答案】12【解析】当x（，0）时，f（x）=2x3+x2，f（2）=12，又函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=12，故答案为12.练习1设f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（1）=（）A3 B1 C1 D3【答案】A【解析】因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+20+b=0，解得b=1，所以当x0时，f（x）=2x+2x1，又因
13、为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（1）=f（1）=（21+211）=3，故选A此类题型考查的是函数奇偶性的定义，可以直接根据函数奇偶性定义代值求解，也可以先求出函数解析式再代值例5函数f（x）定义在实数集R上，f（2x）=f（x），且当x1时f（x）=log2x，则有（）A f（）f（2）f（） Bf（）f（2）f（）Cf（）f（）f（2） Df（2）f（）f（）【答案】C【解析】x1时f（x）=log2x，f（x）在1，+）上单调递增，f（2x）=f（x），f（）=f（2）=f（），f（）=f（2）=f（），又12，f（）f（）f（2），即f（）f（）f（2），故选C练习1定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当3x1时，当1x3时，f（x）=x则f（1）+f（2）+f（3）+f（2012）=（）A335 B338 C1678 D2012【答案】B【解析】
