《教培机构高中数学讲义][选修4-2 第7讲 线性变换与二阶矩阵] 演练方阵教师版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教培机构高中数学讲义][选修4-2 第7讲 线性变换与二阶矩阵] 演练方阵教师版.pdf（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高二数学 2018 春季 第 1页 演练方阵 第 7 讲线性变换与二阶矩阵 几类特殊线性变换及其二阶矩阵 考点说明 此节是基本考点 类型一 线性变换与矩阵的概念 易 1 把像 a 11 a12 这样只有一行的矩阵称为 把像 a11 a21 这样只有一列的矩阵称为 并用 希腊字母 来表示 答案 行矩阵列矩阵 解析 略 易 2 已知 A 1357 2468 则矩阵 A 是一个 行 列矩阵 a24 答案 二四8 解析 根据矩阵定义知 A 为一个二行四列矩阵 a24 8 易 3 在二阶矩阵 12 34 中 第二行 第一列的数是 答案 3 解析 a21 3 易 4 下列为列矩阵的有 只填正确答案的序号
2、00 0 0 a11 a21 a 11 a12 01 10 1 0 2 0 120 034 答案 解析 由列矩阵的定义知 为列矩阵 故填 高二数学 2018 春季 第 2页 易 5 对同一个直角坐标平面内的两个线性变换 如果对平面内任意一点 P 都有 P P 则称这两个线性变换相等 简记为 设 所对应的二阶矩阵分别为 A B 则 答案 A B 解析 略 中 6 用矩阵表示如图 1 中的直角 ABC 其中 A 4 0 B 0 2 C 1 0 图 1 答案 M 401 020 解析 因为直角 ABC 由点 A B C 惟一确定 点 A B C 可以分别用列向量 4 0 0 2 1 0 来表示 所以
3、 ABC 可以表示为 M 401 020 类型二 恒等变换 伸缩变换反射变换 易 1 直线 2x y 1 0 经矩阵 M 10 0 1 的变换后得到的直线方程为 答案 2x y 1 0 解析 由变换矩阵 M 知坐标变换公式为 x x y y 即 x x y y 代入直线方程 2x y 1 0 得 2x y 1 0 即 2x y 1 0 故选 D 易 2 恒等变换将直线 x 2y 1 0 变换为 答案 x 2y 1 0 解析 恒等变换保持原图形不变 高二数学 2018 春季 第 3页 易 3 如图 2 2 1 把 ABC 变成 A B C 的变换矩阵可能是 其中 A 0 1 B 1 0 C 0
4、1 A 0 1 B 2 0 C 0 1 图 2 2 1 答案 20 01 解析 注意到变换后三角形上的每个点的横坐标变为原来的 2 倍 而纵坐标保持不变 它可能对应的是沿 x 轴方向的伸压变换 对应的变换矩阵为 M 20 01 易 4 如何理解伸压变换 答案 略 解析 伸压变换是指沿着特定坐标轴方向伸长或者压缩的变换 我们不能简单地把伸压变 换理解为把平面上的点向下压 或者向上拉伸 以矩阵 10 0 1 2 为例 它所对应的变换是将坐 标平面上的点的横坐标保持不变 x 轴上方的点垂直向 x 轴压缩 纵坐标压缩为原来的一半 而 x 轴下方的点也垂直向 x 轴压缩 纵坐标压缩为原来的一半 又因为
5、x 轴上的点的纵坐标 都为 0 所以 原地不动 中 5 有一矩阵对应的变换把图中 ABO 变成 A B O 其中点 A 的象 点为 A 点 B 的象点为 B 则该矩阵为 答案 11 11 解析 设所求矩阵为 ab cd 则由 ab cd 1 2 1 3 ab cd 2 1 1 3 可得 a 2b 1 c 2d 3 2a b 1 2c d 3 高二数学 2018 春季 第 4页 由 解得 a 1 b 1 c 1 d 1 故所求矩阵为 11 11 中 6 在直角坐标系中 已知 ABC 的顶点坐标为 A 0 0 B 1 2 C 0 3 则 ABC 在矩阵 0 1 10 作用下变换所得到的图形的面积为
6、 答案 3 2 解析 设 A B C 在矩阵 0 1 10 的作用下的点为 A B C 0 1 10 0 0 0 0 0 1 10 1 2 2 1 0 1 10 0 3 3 0 A 0 0 B 2 1 C 3 0 S A B C 1 2 A C y B 1 2 3 1 3 2 中 7 求直线 y 4x 在矩阵 10 0 1 2 对应的变换作用下所得的图形 答案 直线 y 2x 解析 任意选取直线 y 4x 上的一点 P x0 y0 它在矩阵 10 0 1 2 对应的变换作用下变为 P x0 y0 则有 10 0 1 2 x0 y0 x0 1 2y 0 x0 y0 则有 x0 x0 1 2y 0
7、 y0 故 x0 x0 y0 2y0 又因为点 P 在直线 y 4x 上 所以 y0 4x0 即有 2y0 4x0 因此 y0 2x0 从而直线 y 4x 在矩阵 10 0 1 2 作用下变成直线 y 2x 高二数学 2018 春季 第 5页 中 8 1 若将 7 题变为 一直线 l 在矩阵 10 0 1 2 对应的变换作用下变成直线 y 2x 求该直线的方程 2 若 7 题变为 直线 y 4x 在二阶矩阵 M 对应的沿 y 轴方向伸压变换作用下变成了另一条 直线 y 2x 试求矩阵 M 答案 1 直线为 y 4x 2 10 0 1 2 解析 1 任意选取直线 l 上的一点 P x0 y0 它
8、在矩阵 10 0 1 2 对应的变换作用下变为 P x0 y0 则有 10 0 1 2 x0 y0 x0 1 2y 0 x0 y0 则有 x0 x0 y0 1 2y 0 又因为点 P x0 y0 在直线 y 2x 上 所以 y0 2x0 即有 1 2y 0 2x0 因此 y0 4x0 从而求得该直线为 y 4x 2 设 P x0 y0 为直线 y 4x 上的任意一点 P x0 y0 是 P x0 y0 在矩阵 M 对应的伸 压变换作用下得到的点 则此点在直线 y 2x 上 设伸压变换矩阵为 10 0k k 0 则有 x0 y0 10 0k x0 y0 x0 ky0 即 x0 x0 y0 ky0
9、 所以 x0 x0 y0 1 ky 0 将其代入 y 4x 中 得 4x 0 1 ky 0 即 y0 4kx0 又 y0 2x0 4k 2 得 k 1 2 所以所求矩阵为 10 0 1 2 中 9 求直线 y 6x 在矩阵 01 10 对应的变换作用下所得的图形的表达式 答案 直线 y x 6 高二数学 2018 春季 第 6页 解析 任意选取直线 y 6x 上的一点 P x0 y0 设它在矩阵 01 10 对应的变换作用下得 到的点为 P x 0 y 0 则有 01 10 x0 y0 x 0 y 0 所以 y0 x 0 x0 y 0 又因为点 P x0 y0 在直线 y 6x 上 所以 y0
10、 6x0 则有 x 0 6y 0 所以 y 0 x 0 6 从而可知直线 y 6x 在矩阵 01 10 对应的变换作用下变成直线 y x 6 中 10 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 y kx 在矩阵 01 10 对应的变换下得到的直线过 点 P 4 1 求实数 k 的值 答案 k 4 解析 设变换 T x y x y 则 x y 01 10 x y y x 即 x y y x 代入直线 y kx 得 x ky 将点 P 4 1 代入上式 得 k 4 类型三 旋转变换 切变变换 投影变换 易 1 如何理解旋转变换的矩阵表示及其几何意义 答案 略 解析 旋转变换所对应的矩阵表示为 cos s
11、in sin cos 这里 为一个实数 叫做旋 转角 旋转中心一般取作原点 当 0 时 旋转的方向是逆时针 当 0 时 旋转的方向则是顺时针 我们一般只讨论逆时针方向 易 2 线性变换对单位正方形表示的区域有哪些作用 答案 略 解析 1 恒等变换 关于 x 轴 y 轴的反射变换以及旋转变换 变换前后正方形区域的 形状都未发生改变 只是位置发生了变化 2 切变变换把原来的正方形区域变成了一边不动 另一边平移了的平行四边形 3 投影变换把正方形区域变成了线段 高二数学 2018 春季 第 7页 易 3 已知曲线 xy 1 将它绕坐标原点顺时针旋转 90 后会得到什么曲线 曲线方程 是什么 答案 略
12、 解析 将曲线 xy 1 绕坐标原点顺时针旋转 90 相当于逆时针旋转 270 故旋转变换矩阵为 M cos 270 sin 270 sin 270 cos 270 01 10 设 P x0 y0 为曲线 xy 1 上任意一点 在矩阵 M 作用下对应点为 P x0 y0 则 x0 y0 01 10 x0 y0 y0 x0 所以 x0 y0 y0 x0 故 x0 y0 x0y0 1 因此曲线 xy 1 在矩阵 M 的作用下变成曲线 xy 1 如图所示 易 4 旋转中心为坐标原点且逆时针旋转 4 的旋转变换的变换矩阵为 答案 2 2 2 2 2 2 2 2 解析 矩阵为 cos 4 sin 4 s
13、in 4 cos 4 2 2 2 2 2 2 2 2 中 5 设一个投影变换把直角坐标系 xOy 内的任意一点沿平行于直线 y x 的方向投影到 x 轴上 试求 1 点 A 3 2 在这个投影变换作用下得到的点 A 的坐标 2 这个投影变换对应的变换矩阵 高二数学 2018 春季 第 8页 答案 1 1 00 解析 1 如图所示 点 A 3 2 在这个投影变换作用下得到的点 A 的坐标为 1 0 2 设点 x y 是平面直角坐标系 xOy 内的任意一点 则它在这个投影变换作用下得到的点 为 x y 0 即 x y x y 0 从而可知所求的变换矩阵为 1 1 00 中 6 1 矩阵 10 00
14、 1 1 00 1 0 10 00 01 对应的变换的几何意义是什么 2 矩阵 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 对应的变换的几何意义是什么 答案 略 解析 1 10 00 对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于 x 轴的方向投影到 x 轴上 11 00 对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿平行于直线 x y 0 的方向投影到 x 轴 上 10 10 对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于 x 轴的方向投影到直线 y x 上 00 01 对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于 y 轴的方向投影到 y 轴上 2 1 2 1 2 1 2 1 2 对
15、应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线 x y 0 的方向投影 到直线 x y 0 上 高二数学 2018 春季 第 9页 1 2 1 2 1 2 1 2 对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线 y x 的方向投影到直线 y x 上 中 7 如图 2 2 2 所示 已知矩形 ABCD 试求在矩阵 13 01 对应的变换作用下的图形 并指出矩形区域 ABCD 在变换过程中的不变线段 图 2 2 2 答案 略 解析 因为矩阵 13 01 对应的是线性变换 只需研究矩形的端点的变换情况即可 而 13 01 1 1 2 1 13 01 1 1 4 1 13 01 2 1 1 1 13
16、 01 2 1 5 1 从而矩形 ABCD 在矩阵 13 01 作用下变成了平行四边形 A B C D 这里 A 2 1 B 4 1 C 1 1 D 5 1 即原图形上任意一点 x y 沿 x 轴方向平移 3y 个单位 而纵坐标不变 如图所示 线段 EF 为该切变变换下的不变线段 难 8 已知椭圆 x 2 y 2 1 4 1 试求该曲线绕逆时针方向旋转 90 后所得到的曲线 画 出示意图 高二数学 2018 春季 第 10页 答案 略 解析 设椭圆与坐标轴的交点分别为 A 1 0 B 0 1 2 C 1 0 D 0 1 2 如图 因为绕原点逆时针旋转 90 的变换所对应的矩阵为 M cos 90 sin 90 sin 90 cos 90 0 1 10 这样 0 1 10 1 0 0 1 0 1 10 0 1 2 1 2 0 0 1 10 1 0 0 1 0 1 10 0 1 2 1 2 0 点 A B C D 在旋转变换 M 的作用下分别变为点 A 0 1 B 1 2 0 C 0 1 D 1 2 0 从而椭圆曲线 x 2 y 2 1 4 1 在逆时针旋转 90 后所成的曲线为椭圆曲线
