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1、第10讲 计数原理专题复习1.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.重点掌握排列和排列的基本公式、组合和组合数的基本公式.3.重点学会应用计数原理和排列组合解决实际中的几种典型问题. 1.准确理解记忆计数原理和排列组合的基本公式.2.会灵活的运用所学到的基本原理和公式进行实际问题的解决._分类计数原理与分步计数原理的基本概念1.分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2 +mn种不同的方法.注意：(1)分类计数原理又称为加法原理；(2)弄清楚完成“一件事”的含
2、义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容；(3)解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成；(4)每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重).2.分步计数原理: 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法.注意：(1)分步计数原理又称为乘法原理；(2)弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤；(
3、3)解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性；(4)每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代.例1.王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？【答案】50种【解析】从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类，第一英：从左边口袋取一张英语单词卡片，有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取
4、一张英语单词卡片，有20种不同的取法，上述任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片的事件，应用分类计数原理，所以从口袋里任取一张英语单词卡片有30+20=50种不同取法.练习1.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,不同的支付方法有()种A.3 B.5 C.9 D.12【答案】【解析】只用一种币值有2张10元,4张5元,20张1元,共3种;用两种币值的有1张10元,2张5元;1张10元,10张1元;3张5元,5张1元;2张5元,10张1元;1张5元,15张1元,共5种;用三种币值的有1张10元,1张5元,5张1元,共1种.由分类计数原理得,共有3+5+1=9种.练习2.把10个苹果分成三
5、堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有（）A.4种B.5种C.6种D.7种【答案】A【解析】按每堆苹果的数目可分为4类,即1,4,5；2,3,5；3,3,4；2,4,4，且每类中只有一种分法.1.应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；2.分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数例2.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？【答案】6种【解析】从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成.先选1
6、名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数原理，所求的不同的选法数是：N=32=6.练习1.有四名同学同时参加了学校的100 m, 800 m, 1 500 m三项跑步比赛,则获得冠军(无并列名次)的可能性有()A.43 B.34 C.12 D.24【答案】【解析】第一步,100 m冠军有4种可能;第二步,800 m冠军也有4种可能;第三步,1500 m冠军有4种可能,根据分步计数原理,共有444=43种可能.练习2.将5封信投入3个邮筒中,不同的投法有()种A.53 B.35 C.15 D.5【答案】【解析】第1封信有3种投法,第2封信也有3种投法第5封
7、信同样有3种投法,完成5封信投入3个邮筒这件事,按分步计数原理共有33333=35种方法.1. 应用乘法原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所用步骤依次相继完成，这件事才算完成2. 分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数排列组合的概念1.排列与组合的概念:(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意：如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序
8、排列”.从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.在定义中规定mn，如果m=n，称作全排列.在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列.(2)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个不同元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.注意：如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关.当
9、两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合.组合与排列问题的共同点，都要“从n个不同元素中，任取m(mn)个不同元素”；不同点：前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”.根据定义区分排列问题、组合问题.例3.判断下列问题是不是排列，为什么？(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.【答案】(1)是排列问题；(2) 不是排列问题.【解析】(1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关.(2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的
10、活动与顺序无关.练习1.判断下列问题是不是排列，为什么？(1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.(2)集合M=1，2，9中，任取相异的两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程和多少个焦点在x轴上的双曲线方程【答案】(1)是排列问题；(2)第一问不是第二问是.【解析】(1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果不同，即与顺序有关.(2)第一问不是第二问是.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有ab，a，b的大小一定；在双曲线中，不管ab还是ab，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列.练习2.判断下
11、列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？(3)设集合A=a，b，c，d，e，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(4)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？【答案】(1) 是排列问题；（2）是组合问题；（3）是组合问题；（4）是组合问题.【解析】(1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.(3)因为本问题与元素顺序无关，故
12、是组合问题.(4)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.判断是排列问题和组合问题的关键是看是否和顺序有关，如果和顺序有关是排列，否则是组合. 例4.判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A=a，b，c，d，e，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？【答案】(1) 是组合问题；（2）是组合问题.【解析】(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲
13、站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.练习1.判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？【答案】(1) 是排列问题；（2）是组合问题.【解析】(1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.排列数和组合数的定义和性质1.排列数与组合数：(1)排列数的定义:一般地，我们把从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素
14、中取出m个元素的排列数，用符号表示.(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.2.排列数公式与组合数公式：(1)排列数公式：其中m，n，且mn.(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示.全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列.阶乘：自然数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示，即由此排列数公式所以(3)组合数公式:(4)组合数的两个性质:性质1：性质2：例5.计算下列各式.(1)(2) (3) (4) 【答案】见解析【解析】(1)76543=2520；(2)=1312=156；(3)7654321=5040.练习1.乘积m(m+1)(m+2)(m+20)可表示为()A. B. C. D.【答案】D【解析】排列的顺序为由小到大，故n=m+20，而项数是21故可表示为练习2.计算【答案】161700【解析】原式能利用计数原理推导排列公式、组合公式并要准确记忆，熟练掌握排列、组合的性质.计数原理和排列组合的综合应用主要可以归纳总结为以下几种问题(1) 队列问题；（2）分配问题；（3）组数问题；（4）涂色问题.例6. 3个女生和5个男生排成一排.(
