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1、第3讲 导数的分类讨论1. 利用导数研究函数的综合性质；2. 根据函数性质，分析实际问题；3. 根据实际问题，提炼函数，解决问题.1.利用函数的性质分析问题；2.利用函数的导数分析函数特征；3.分类讨论的数学思想在导数中的应用.定义区间上的单调性分析1.函数在某个区间内可导（1）函数的单调性的充分条件若，则为增函数；若，则为减函数。（2）函数的单调性的必要条件若为增函数，则；若为减函数，则。2、求可导函数单调区间的步骤：（1）求（2）令解不等式，得的范围，就是递增区间。令解不等式，得的范围，就是递减区间。3、由函数的单调性，求参数的范围的步骤：（1）求（2）若为增函数时，令恒成立，解出参数的取
2、值范围。 若为减函数时，令恒成立，解出参数的取值范围。（3）检验参数的取值能否使恒等于0,若能恒等于0,则这个参数值应舍去。例1已知为自然对数的底数，则函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因，故当时，函数单调递增，应选答案A。练习2.定义在上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，且 ，又 时， ，即 ，函数 ，则 时是增函数，又 是偶函数， 时， 是减函数，结合函数的定义域为，且，所以函数的零点的个数为 ，故选C. 练习2. 已知函数的导函数为，且满足，则_【答案】【解析】由得：，即函数单调减，利用
3、导数研究函数的单调性，往往需要转化为不等式求解.例2若函数是在上单调递增，则实数的取值范围是_【答案】【解析】函数，对称轴为，根据二次函数单调性的判断法则函数在上单调递增，即实数的取值范围是： 练习1.若函数f(x)=ax3-12x+a的单调递减区间为(-2,2)，则a=_【答案】1【解析】f(x)=3ax2-12，由题知x=2是方程3ax2-12=0的解，故a=1.练习2. 函数有极值的充要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以，即，应选答案C。含参函数的单调性问题，需要转化为恒成立或者有解问题.极限类问题的导数讨论1.导数实际上是平均变化率的一种极限形式，即.2.
4、 注意单侧极限思想在选择填空题中的应用，主要用于判断函数图像的各种形态特征，或者对函数渐进线的分析.例3设为可导函数，且，求的值（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，所以应选答案B。练习1. 函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=2x+1，则limx0f(x0)-f(x0-x)x=（ ）A. -4 B. -2 C. 2 D. 4【答案】C【解析】由导数的定义可得limx0f(x0)-f(x0-x)x=f(x0)=2，应选答案C。练习2. 如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图像
5、大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】直线在绕过圆心前阴影面积增长的越来越快，过圆心后阴影面积增长的越来越慢了，故选D.分析函数的瞬时变化率，其实就是分析函数的导函数.从函数图像上讲，也就图像在某点处的切线斜率.例4已知函数，在下列命题中，其中正确命题的序号是_.（1）曲线必存在一条与轴平行的切线；（2）函数有且仅有一个极大值，没有极小值；（3）若方程有两个不同的实根，则的取值范围是；（4）对任意的,不等式恒成立；（5）若，则,可以使不等式的解集恰为；【答案】（1）（2）（4）（5）【解析】可得,令=0只有一根, （1）对令得， 在递增，同理在(1,+)上递减，只有一个极大值，
6、无极小值故（2）对；时0, 方程有两个不同的实根时故（3）错由的单调性可知的最大值为=，,故（4）对由的图像可知若，则,可以使不等式的解集恰为,故（5）对练习1. 已知在实数集R上的可导函数，满足是奇函数，且，则不等式的解集是（ ）A. （-，2） B. （2，+） C. （0，2） D. （-，1）【答案】A【解析】令,则,因,故,所以,函数是单调递减函数,又因为是奇函数,所以且,所以原不等式可化为,由函数的单调性可知,应选A.练习2.已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】要使对于任意的，不等式恒成立，只需当时，有由g=知，当
7、0时，g,所以(1)当时，易知当，不满足时，有，故不成立；(2)当时， ，此时，此时,当时，当时， ,所以,成立；(3)当时，由=，易知，由知，解得,综上可知.故选B利用极限的思想可以分析函数在特殊位置的函数性质，以及函数的图像特征.零点问题1.利用导数可以分析函数的零点，或者求方程的根，反之，根据函数的零点或者方程根的形式，可以求参数的取值范围.2.求函数零点，利用转化的思想，通常采取如下的步骤：例5若函数有极值，则导函数的图象不可能是 ( ）【答案】D【解析】因为函数在定义域上恰有三个单调区间，说明导数为零有两个不同的实数根，因，选A练习1. 若函数（）在上有2个零点，则的取值范围是_【答
8、案】【解析】转化为方程在上有2个实根，即函数与函数有两个不同的交点， ，当时， ，函数递增， 当时， ，函数递减，当时， ， 函数递增，所以当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，则根据函数的图像特征可以计算：， ， ，显然若函数与函数有两个不同的交点，则或.练习2. 已知函数，且对于任意实数，恒有（1）求函数的解析式；（2）函数有几个零点？【答案】（1）.（2）时，无零点；或时，有两个零点；时有三个零点；时，有四个零点. 【解析】（1）由题设得 ，则， 所以 所以对于任意实数恒成立.故.（2）令，则. 令，则，时，无零点；或时，有两个零点；时有三个零点；时，有四个零点.函数的零点问题，关
9、键是对函数进行适当的变形整理，注意化归与转化的数学思想。例6已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的定义域为，因为，当时， ，则函数在上单调递增，不满足条件；当时，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以为极小值点，要使有两个零点，即要，即，则的取值范围是，故选D.练习1. 若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，解得或，当时， ， 在上单调递减；当时， ， 在、上单调递增，故当时， 取极小值，当时， 取极大值，有三个不同零点，解得，实数的取值范围是，故选A.练习2. 已知函数f(x)=x2
10、-xlnx-k(x+2)+2在区间12,+)上有两个零点，则实数k的取值范围为（ ）A. (1,910+ln25 B. (1,910+ln24 C. (1,710+ln24 D. (1,710+ln25【答案】A【解析】函数求导可得f(x)=2x-lnx-1-k,f(x)=2-1x=2x-1x0，所以f(x)在12,+)上单调递增，f(1)=1-k，f(12)=ln2-k，当ln2-k0时，f(x)0恒成立，所以f(x)12,+)上在单调递增，不满足有两个零点，所以ln2-kln2，所以存在x012,+)，使得f(x0)=2x0-lnx0-1-k=0(1)式，同时f(x0)=x02-x0lnx
11、0-k(x0+2)+2-x02+x0+2，后面式子解得k910+15ln2，由于四个选左端点一样，所以选A.已知函数零点求参数的取值范围，分离变量是首选的数学方法.生活中的优化问题1.生活中经常遇到求利润最高，产量最大，成本最低，用料最省等实际问题，这些问题通常称为优化问题.解决优化问题的本质就是求函数的最值，因此，以函数为载体导数为工具，解决生活中的优化问题，是数学应用领域的一个重要课题. 2.利用导数解决生活中的优化问题的常规思路是：例7用一张长方形纸片，经过折叠以后，糊成了一个无盖的长方体形纸盒，这个纸盒的最大容积是_ .【答案】【解析】设剪下的四个正方形边长为，则，经过折叠以后，糊成的
12、长方体形纸盒是一个底面是长为宽为长方形，其面积为，长方体的高为 ，体积为,，由 得函数在 上递增，由得函数在上递减，所以这个纸盒的最大容积是,故答案为.练习1. 用一张16 10 长方形纸片，在四个角剪去四个边长为 x 的正方形(如图)，然后沿虚线折起，得到一个长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是_。【答案】144【解析】长方体的体积x，=0, （舍去），所以这个纸盒的最大容积为，故答案为：144练习2. 从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角上截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_【答案】144cm3【解析】设小正方形的变长为xcm(0x5)，则盒子的容积V=
13、(102x)(162x)x=4x352x2+160x(0x5)，V=12x2104x+160=4(3x20)(x2)，当0x0，当2x5时，V0，x=2时V取得极大值,也为最大值,等于(104)(164)2=144(cm3)，故答案为：144cm3.提炼数学问题，正确的表达翻译问题与模型，是解决优化问题的关键例8. 设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】在区间(0,4)上有三个零点，|lnx|ax=0在区间(0,4)上有三个不同的解，令；令, 则当0x1时, , 单调递增， 单调递减，的值域为(0,+)；当1x4时,a=在1,e上是增函数，0，在e,4)上是减函数，；故当a(,)时，有三个不同的解。练习1. 函数在上与轴有一个交点，则的范围为A. B. 2或C. D. 或【答案】D【解析】因为 ,所以 时 ; 时,因此 或或,选D.练习2.如图是一块地皮，其中， 是直线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点， 所在的直线是该抛物线的对称轴经测量， km， km， 现要从这块地皮中划一个矩形来建造草坪，其中点在曲线段上，点， 在直线段上，点在直线段上，设km，矩形草坪的面积为km2（1）求，并写出定义域
