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1、 第8讲 空间向量1. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4. 理解空间向量的基本定理，了解空间向量形式与坐标形式的转化.1. 判断向量的共线与垂直是重点.2. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法.3. 空间向量的基本定理的理解是难点.空间向量的基本概念 1空间向量的有关概念(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量(2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模(3)表示法：几何表示法：空间向量用有向线段表示.字母
2、表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或2几类特殊向量特殊向量定义表示法零向量长度为0的向量0单位向量模为1的向量|a|1或|1相反向量与a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量a相等向量方向相同且模相等的向量ab或 3.空间向量的加法和减法运算(1)空间向量的加法运算 ab(2)空间向量的减法运算 ab例1. 下列说法中正确的是()A若|a|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B若向量a是向量b的相反向量，则|a|b|C空间向量的减法满足结合律D在四边形ABCD中，一定有【答案】B【解析】|a|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的
3、相反向量ba，故|a|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有，只有在平行四边形中才能成立故选B.练习1. 给出下列命题：零向量没有确定的方向；在正方体ABCDA1B1C1D1中，；两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；空间中任意两个单位向量必相等其中正确命题的序号是_【答案】【解析】正确；正确，因为与的大小和方向均相同；错误，当两向量起点相同，终点相同时两向量相等，但两向量相等不一定起点相同，终点相同；错误，单位向量只是它们的模相等，方向不一定相同综上可知，正确命题为.(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)
4、的模相等是两个向量相等的必要不充分条件(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键例2. 在六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中，化简，并在图中标出化简结果的向量【答案】在六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以. 同理，所以，如图【解析】结合六棱柱的性质将转化为，将向量的减法运算统一转化为加法运算，再运用向量加法的多边形法则，首尾衔接，和向量由起点指向终点。练习1. 在六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中，底面ABCDEF为正六边形，化简，并在图中标出化简结果的向量【答案】因为六边形
5、ABCDEF是正六边形，所以BCEF，BCEF，又因为E1F1EF，E1F1EF，所以BCE1F1，BCE1F1，所以BCE1F1是平行四边形，所以.【解析】先运用空间向量的减法法则计算，结合六棱柱的底面ABCDEF为正六边形，得出四边形BCE1F1是平行四边形，再运用向量加法的平行四边形法则化简。化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化空间向量的基本定理1. 空间向量的数乘运算(1)定义：实数与空间向量a的乘积 a仍然是一个向量，称为向量的数乘(2)几何意义：0时，a与向量a的
6、方向相同；0时，a与向量a的方向相反；0时，a0，其方向是任意的；a的长度是a的长度的|倍。(3)空间向量的数乘运算律设，是实数，则有：分配律：(ab)ab；结合律：(a)()a.2共线、共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使pxayb.推论如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上
7、的充要条件是存在实数t，使ta，其中a叫做直线l的方向向量，如图所示若在l上取a，则式可化为 t如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy ，或对空间任意一点O来说，有xy3.空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使xyz.4.空间向量的数量积运算（1）向量a与b的夹角已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作a，b，则角AOB叫做
8、向量a与b的夹角，记作a，b.通常规定0a，b180，且a，bb，a，如果a，b90，则称a与b互相垂直，记作ab.（2）向量a，b的数量积定义空间两个非零向量a、b，ab|a|b|cosa，b叫做向量a、b的数量积(或内积)（3）空间两个向量的数量积运算律：(a)b(ab)；(交换律)abba；(分配律) (ab)cacbc .例3. 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线【答案】与共线【解析】因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以.又因为，以上两式相加得2，所以，即与共线练习
9、1. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E在A1D1上，且2，点F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线【答案】证明：设a，b，c.2，b，()()abc.abc.又bcaabc，.又EFEBE.E，F，B三点共线.【解析】要证明E，F，B三点共线，就是要能够用向量线性表示，结合所给图形，找到实数，使成立即可。三点共线通常转化为向量共线，判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数，使ab(b0)成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出ab，从而得出ab.例4.已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足.(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断M是
10、否在平面ABC内【答案】 (1)3，()()，向量，共面(2)由(1)知向量，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，M，A，B，C共面，即M在平面ABC内【解析】(1)判断，三个向量是否共面关键是从已知条件出发，找到实数x，y使得x y；(2)直接根据(1)的结论判断。练习1. 已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式xyz(其中xyz1)的点P与点A，B，C是否共面？ 【答案】四点共面【解析】xyz1，x1yz，又xyz，(1yz)yz，y()z()，yz，点P与点A，B，C共面四点共面通常转化为向量共面，证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用
11、定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)空间向量的坐标运算1空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底(2)空间向量的坐标表示：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3.把x，y，z称作向量p在
12、单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p（x，y，z）2空间向量的加减和数乘的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)；(2)ab(a1b1，a2b2，a3b3)；(3)a(a1，a2，a3) (R)；(4)若b0，则abab(R) a1b1，a2b2，a3b33空间向量数量积的坐标表示及夹角公式若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则：(1)aba1b1a2b2a3b3；(2)|a|；(3)cos；(4)aba1b1a2b2a3b304空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(
13、a2，b2，c2)(1)(a2a1，b2b1，c2c1)；来源:学.科.网(2)dAB|例5. 已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底？【答案】，能作为空间的一个基底【解析】假设，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使xy成立e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.e1，e2，e3是空间的一个基底，e1，e2，e3不共面，此方程组无解，即不存在实数x，y，使xy成立,，不共面故，能作为空间的一个基底练习1. 设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底给出下列向量组：a，b，x；x，y，z；b，c，z；x，y，abc其中可以作为空间的基底的向量组有_个【答案】3.【解析】如图所设a，b，c，则x，y，z，abc.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面同理可知b，c，z和x，y，abc也不共面，可以作为空间的基底因xab，故a，b，x共面，故不能作为基底判
