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1、演练方阵第5讲 双曲线及其方程双曲线的定义类型一:轨迹问题考点说明：概念辨析是常考考型【易】1.下列命题是真命题的是 （将真命题的序号都填上）已知定点，则满足的点P的轨迹为双曲线；已知定点则满足的轨迹为两条射线；到定点的距离之差的绝对值等于7的点的轨迹为双曲线；若点P到定点的距离差的绝对值等于点到点的距离，则点P的轨迹为双曲线.【答案】【解析】，故P的轨迹是双曲线的一支；因为，所以点P的轨迹是分别以、为端点的两条射线；的距离之差的绝对值等于7，而，故点P的轨迹不存在；到点的距离为，故点P的轨迹是以为焦点的双曲线.【易】2.平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是( )A双
2、曲线 B一条直线 C一条线段 D两条射线【答案】D【解析】由题可知，所以该轨迹是E、F为端点的两条射线；【易】3.动点P到点及点的距离之差为2，则点P的轨迹是（ ）A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线【答案】D【解析】由已知,所以点P的轨迹是以N为端点的射线.【易】4.方程所表示的曲线是（ ）A.双曲线 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分【答案】C【解析】依据题意，方程可化为，所以方程表示双曲线的一部分；【中】5.动与圆和圆都想切，则动员圆心的轨迹方程（ ）A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线【答案】A【解析】设动圆半径为其圆心为,圆心为,圆心为，由题
3、意得，有双曲线的定义可知，动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.【中】6.一动圆过定点,且与定圆B:相外切，则动圆圆心的轨迹方程为 【答案】【解析】设动圆的圆心为,由题意得；由双曲线的定义可知，点的轨迹是以为焦点，且的双曲线的左支，其方程为.类型二:双曲线定义的应用考点说明：定义的应用是常考考点【易】1.已知点和，曲线上的动点到距离之差为6，则曲线方程为( )A B.C.或 D.【答案】D【解析】由双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：.【易】2.双曲线上一点到点的距离为15，那么该点到的距离为（ ）A.7 B.23 C.5或25 D.7或23【答案】D【解析】和都是
4、双曲线的焦点，或.【易】3.如图所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）A.9 B.16 C.18 D.27【答案】C【解析】设右焦点双曲线上的与关于y轴对称.，.【中】4.已知双曲线的左、右焦点分别为，在左支上过的弦的长为5，若那么的周长是( )A16 B18 C21 D26【答案】D【解析】，的周长为.【中】5.已知为双曲线左、右焦点，若,则 【答案】【解析】，.【难】6.设P为双曲线上的一点，是双曲线的两个焦点，若,则的面积 【答案】12【解析】由已知异得，由双曲线的定义可得,又由余弦定理三角形为直角三角形,.双曲线的几何性质类型一:顶点、焦点、实轴、虚轴、焦距考
5、点说明：区分好焦点坐标在什么轴上，从而区分实轴、虚轴。【易】1.双曲线的实轴长 【答案】4【解析】由题可知，则，即实轴长.【易】2.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于焦距的倍，且一个顶点坐标，则双曲线的标准方程（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】即,即即一个顶点坐标，.【易】3.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的值为 【答案】【解析】有双线方程可知，则双曲线可化为，则，即又实轴长是虚轴长的2倍，.【中】4.已知双曲线方程，焦距为6，则k的值 【答案】6或-6【解析】若焦点在x轴上，则方程可化为，,若焦点在y轴上，则方程可化为，.【中】5.椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线的实轴长 【答案
6、】2【解析】由双曲线的方程可知焦点在x轴上，且由椭圆方程可知，即，解得或（舍）所以实轴长.【中】6.双曲线的焦距 【答案】8【答案】由题可知，则，所以焦距.类型二:双曲线的离心率考点说明：离心率是考试中比较重点内容。【易】1.双曲线的离心率 【答案】【解析】由知，双曲线的焦点在轴上，则，根据，即.【易】2.已知双曲线的离心率为2，焦点是，则双线方程 【答案】【解析】由题可知，根据离心率，则根据，即双曲线的方程为.【易】3.顶点在轴上，两顶点间的距离为8，离心率的双曲线为 【答案】【解析】由顶点在轴上可知，焦点坐标在轴上，即两顶点距离，,根据离心率，则，.【中】4.设双曲线的离心率，则实数的取值
7、范围是 【答案】【解析】由题可知，即.【中】5.已知双曲线的实轴长、虚轴长、焦距等成等差数列，则双曲线的离心率为（ ）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】根据等差数列性质可知整理得解得或（舍）.【难】6.双曲线的两个焦点为，若为其上一点，则双曲线离心率的取值范围为 【答案】【解析】由题意可知在双曲线上存在一点,使得，如图所示又，即在双曲线右支上恒存在点使得，即.，又，即.类型三:双曲线的渐近线方程考点说明：概渐近线方程比较重要，要熟练掌握。【易】1.双曲线的渐近线 【答案】【解析】由知，双曲线的焦点在轴上，则，所以渐近线方程为【易】2.若双曲线的渐近线方程为，一个焦点，则双曲线方程 【
8、答案】【解析】设方程为，即，即，解得，故双曲线方程为：.【易】3.设双曲线的渐近线方程，则的值( )A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】的渐近线方程即，.【易】4.双曲线的顶点到渐近线的距离等于 【答案】【解析】的顶点坐标，渐近线方程，代入到点的距离公式.【中】5.已知双曲线的一条渐近线平行于直线l:,双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程 【答案】【解析】依据题意可知 所以，所以双曲线方程.【难】6.已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线方程 .【答案】【解析】由双曲线的渐近线方程与圆相切得，再由，解得，所以双曲线方程.直线与双曲线的位置关系类型一:直线与
9、双曲线的位置关系考点说明：要牢牢掌握如何判断直线与双曲线的位置关系。【易】1.直线与交与两点，求斜率k的取值范围 【答案】【解析】直线与双曲线联立，消y得，所以即.【易】2.直线与交与左支两点，求斜率k的取值范围 【答案】【解析】直线与双曲线联立，消y得，由题可知 即 解得：【易】3.已知双曲线，过点P的直线与双曲线由一个公共点，则满足上述条件的直线共有 条.【答案】2【解析】因为双曲线的渐近线方程,点P在渐近线上，双曲线顶点为，所以过点P且与双曲线相切得切线只有一条，过P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线两条.【中】4.等轴双曲线与直线(a0)没有公共点，则a的取值
10、范围是 【答案】【解析】等轴双曲线的渐近线方程为yx，若直线(a0)与等轴双曲线没有公共点，则.【中】5.已知双曲线与直线有交点，则双曲线的离心率的取值范围是 【答案】【解析】用数形结合法解决较为简单，由图分析可知，只有当渐近线斜率时，才能保证与双曲线有公共点，即.【中】6.设双曲线与直线相交于不同的点A、B，求双曲线的离心率的取值范围 .【答案】且【解析】将代入双曲线中得，由题设条件知且，解得且，又双曲线的离心率且.类型二:弦长公式和中点弦问题考点说明：弦长和中点弦问题在双曲线里难度比较大。【易】1. 过双曲线的左焦点，作倾斜角为的弦= 【答案】3【解析】双曲线的焦点，直线方程：，代入双曲线
11、方程，得，设，.【易】2.求直线被双曲线截得的弦长 ；【答案】【解析】将代入双曲线中消得到，则.【中】3.已知斜率为2的直线被双曲线截得的弦长为，求直线的方程 【答案】【解析】设直线方程，与双曲线交与两点，设，将代入方程中消得到：，即或，所以直线方程为.【中】4.等轴双曲线截直线所得弦长为，则双曲线的实轴长是( )A.3 B. C. D【答案】A【解析】直线与双曲线联立消y得，所以双曲线与直线的交点坐标，所以，解得，即.【易】5.已知直线与抛物线交于A，B两点，那么线段AB的中点的坐标为 【答案】【解析】由得，从而，因此根据中点坐标公式可知线段AB的中点的坐标为.【中】6.已知椭圆C：，直线过点P（1,1）交椭圆C于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程.【答案】【解析】设，则，.点P在椭圆内部，直线与椭圆恒有两个交点，点M的轨迹方程为：.
