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1、第1讲 三角函数的概念1.理解任意角与象限角的概念.2.理解弧度制的意义，掌握角度制和弧度制的互化，会利用弧度制解决具体问题.3.掌握任意角三角函数的定义（包括三角函数值在各象限内的符号）.4.牢记特殊角的三角函数值.5.掌握三角函数线的概念.6.掌握同角三角函数基本关系式.7.理解并掌握诱导公式的内含及结构特征.1.“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义是重点.2.任意角的三角函数定义（包括三角函数值在各象限内的符号）是重点.3.同角三角函数基本关系式是重点.4.诱导公式的推导和应用是重点.5.正弦、余弦、正切线的应用是难点.6.如何应用三角函数基本关系式对三角式进行化简和证明是难
2、点.7.相关边角的几何关系及诱导公式结构特征的认识是难点.任意角的概念与弧度制一、角的概念的推广1、角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；射线没有作任何旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角2、象限角与轴线角：使角的顶点与原点重合，角的始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限就称为第几象限角若终边落在坐标轴上，认为这个角不属于任何象限，称为轴线角或象限界角（1）第一象限角的集合为：；（2）第二象限角的集合为：；（3）第三象限角的集合为：；（4）第四象限角的集合为：；（5）终边在轴正半轴上的角的集合为
3、：；（6）终边在轴负半轴上的角的集合为：；（7）终边在轴正半轴上的角的集合为：；（8）终边在轴负半轴上的角的集合为：；（9）终边在轴上的角的集合为：；（10）终边在轴上的角的集合为：；（11）终边在坐标轴上的角的集合为：.3、终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角本身组成一个集合，这个集合可记为：.（1）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同;（2）终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍.二、弧度制和弧度制与角度制的互化1、弧度制的概念：我们把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号表示，读作弧度用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制；用角度作为单位来度量角的制度
4、叫做角度制.2、 弧度制的性质（1）半圆所对的圆心角为，整圆所对的圆心角为；（2）正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零；（3）角的弧度数的绝对值.3、角度与弧度的互化（1）将角度化为弧度：；.（2）将弧度化为角度：；.4、角度与弧度对应表：角度弧度5、扇形的弧长与面积公式（1）弧长公式：因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以1的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长.在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，和都不带单位“度”.在弧长公式中，已知中的任意两个量，都可以求出第三个量.（2）扇形面积公式：如图所示，阴影部分的面积就是半径为圆心角为的扇
5、形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1的扇形面积是 ，由此得圆心角为的扇形面积的计算公式是。又因为扇形的弧长，扇形面积可以写成，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：.例1. 给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；第二象限角是钝角；小于180的角是钝角、直角或锐角；三角形的内角一定是第一、二象限角；钝角不一定是第二象限角.其中正确命题的序号为_(把正确命题的序号都写上) 【答案】【解析】锐角是大于0且小于90的角，终边落在第一象限，所以正确330角是第一象限角，但它是负角，所以不正确480角是第二象限角，但它不是钝角，
6、所以不正确0角小于180角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故不正确当三角形内角为90时，不是第一象限也不是第二象限.钝角是大于90且小于180的角，所以钝角一定是第二象限角.练习1.下列说法中正确的序号是_不相等的角，终边一定不相同；第一象限角必是锐角；小于90的角一定是锐角；钝角一定是第二象限角【答案】【解析】90和450角不相等但是终边相同，所以错.380角是第一象限角，但不是锐角.380小于90，但是380是第一象限角，所以错.钝角一定是第二象限角.练习2.下列说法正确的是()A终边与始边重合的角是零角B钟表的时针旋转而成的角是正角C. 第二象限角不一定是钝角D. 终边相等的角一定是
7、相等角【答案】C【解析】A：零角是不做任何旋转的角，所以错.B：钟表是顺时针旋转，所以旋转而成的角是负角，所以错.C：480角是第二象限角，且不是钝角,所以对.D：90和450角是终边相等的角，但是它们不相等，所以错.本节重点是理解任意角、象限角和轴线角的定义.例2. 与角终边相同的角的集合是()ABCD【答案】C【解析】457角与97角终边相同，又97角与263角终边相同，又263角与k360263角终边相同，应选C练习1.在范围内与终边相同的角有_【答案】、【解析】与终边相同的角令,解得，而,.当时，；当时，；当时，.故在范围内与终边相同的角有三个，分别是、.练习2.若角与的终边在一条直线
8、上，则与的关系是_【答案】k180，kZ【解析】由于、在一直线上，因此、角终边相同或互为反向延长线，它们相差180的整数倍所以k180，kZ，k180，kZ.区分锐角、终边相同的角和相等角的概念是本节的重点，利用终边相同的角的概念解题是本节的难点.例3. 已知是第四象限角，则是()A第二象限角B第一或第二象限角C第二或第三象限角D第二或第四象限角【答案】D【解析】解法一：是第四象限角，当为偶数时，是第二象限角；当为奇数时，是第四象限角解法二：等分象限法：将平面直角坐标系中的每一个象限进行二等分，从x轴右上方开始在每一等份依次标数字，如图所示，是第四象限角，图中标有数字4的位置即为的终边所在位置
9、，故是第二或第四象限角练习1.若是第四象限角，则180是()A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角【答案】C.【解析】由是第四象限角知，270k360360k360(kZ)，由此可得180k3601802)，弧长为l，由题意得，解得圆心角(rad)故这个扇形的半径为3，圆心角的弧度数为 rad.练习2.(2015山东临沂市高一期末测试)已知扇形的圆心角的弧度数为2，其弧长也是2，则该扇形的面积为()A1 B2 Csin1 D2sin1【答案】A【解析】设扇形的半径为R，则2，R1.故该扇形的面积SlR211.角度制和弧度制的互化是重点，扇形弧长公式和面积公式的应用是易错点，学生
10、应理解记忆扇形弧长公式和面积公式.任意角的三角函数1、 三角函数的定义：在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点P（除了原点）的坐标是，它与原点的距离为，那么：（1）比值叫做的正弦，记做，即；（2）比值叫做的余弦，记做，即；（3）比值叫做的正切，记做，即；（4）比值叫做的余切，记做，即.说明：的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有标明一定是正角或负角，以及的大小，只标明与的终边相同的角所在的位置.根据相似三角形的知识，对于确定的角，六个比值不以点在终边上的位置的改变而改变大小.当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于零，所以无意义；同理，当时，的终边在轴上，终边上任意一点的纵坐标都
11、等于零，所以无意义.除以上两种情况外，对于确定的值，比值、和分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切和余切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.2、三角函数值对应表：度弧度无无3、三角函数的定义域和值域函数定义域值域RRR4、三角函数值的符号由三角函数的定义以及各象限内点的坐标符号，可以得知：（1）正弦值对于一、二象限为正（），对于三、四象限为负（）；（2）余弦值对于一、四象限为正（），对于二、三象限为负（）；（3）正切值对于一、三象限为正（），对于二、三象限为负（）.（4）当终边落在轴线上，可以通过三角函数定义求值.5、三角函数线（1）单位圆：在平面直角坐标系上，圆心为原点，半径为单位长
12、度的圆.（2）有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标轴方向相反时为负.（3）三角函数线的定义：设角的顶点在坐标原点O，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过点P做轴的垂线，垂足为M；过点A（1,0）做单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交于点T. 由四个图可以看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有：； ；，我们分别称有向线段、为正弦线、余弦线和正切线.说明：三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上，正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中，两条在单位圆内，一条在单位圆外.三条有向线段的方向：正弦线有垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点.三条有向线段的正负：三条有向线段与轴或轴同向的为正，反向的为负.三条
