《教培机构高中数学讲义][必修四 第2讲 三角函数的图像与性质]讲义学生版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教培机构高中数学讲义][必修四 第2讲 三角函数的图像与性质]讲义学生版.pdf（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高一数学 2017 秋季 第 1页 第 2 讲三角函图像与性质 1 能够画出xysin xycos 和xytan 的图像 2 借助图像理解正弦函数 余弦函数和正切函数的单调性 奇偶性 最大值 最小值 对称 轴和对称中心 3 理解函数 sin xAy的实际意义 掌握用 五点法 画出函数 sin xAy的简 图 4 掌握 sin xAy中A 和 的意义 理解三个参数对图像的影响 5 借助图像理解函数 sin xAy的单调性 奇偶性 最大值和最小值 对称轴 对称 中心等 6 掌握三角函数的图像变换 能够通过变换方法写出函数解析式以及通过两个函数图像写出 变换方法 1 五点法作出正弦函数和余弦函数在
2、2 0上的图像是重点 2 利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在 2 0上的图像是难点 3 学会应用三角函数图像求解正弦函数 余弦函数和正切函数的性质 将数形结合思想运用 到具体问题上是难点 4 结合具体实例理解 sin xAy的实际意义 用 五点法 画出函数 sin xAy 的简图是重点 5 掌握 sin xAy中A 和 的意义以及理解三个参数对图像的影响是重点 高一数学 2017 秋季 第 2页 6 求解函数 sin xAy的单调性 奇偶性 最大值和最小值 对称轴 对称中心等是 重点 7 三角函数的图像变换是重点也是难点 要求学生做到可以通过变换方法写出函数解析式以 及通过两个函数图像写出变换
3、方法 高一数学 2017 秋季 第 3页 高一数学 2017 秋季 第 4页 正弦 余弦函数的图像与性质 一 正弦函数和余弦函数的图像 1 用单位圆中的三角函数线作出正弦函数和余弦函数的图像 1 正弦函数xysin 的图像 第一步 在直角坐标系的x轴上任取一点 1 O 以 1 O为圆心作 从这个圆与x轴的 交点A起把圆分成n 这里12 n 等份 把x轴上从0到 2这一段分成n 这里12 n 等份 第二步 在单位圆中画出对应于角0 6 3 2 2的正弦线 等价于 列表 把角0 6 3 2 2的正弦线向右平行移动 使得正弦线的起点与x轴上相应的 点重合 则正弦线的终点就是正弦函数图像上的点 等价于
4、 描点 第三步 连线 用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来 就得到正弦函数xysin 2 0 x的图像 把xysin 2 0 x的图像 沿着x轴向右和向左连续地平行移动 每次移动的 距离为 2 就得到xysin Rx 的图像 叫做正弦曲线 高一数学 2017 秋季 第 5页 2 余弦函数xycos 的图像 以正弦函数图像为基础 根据诱导公式 通过适当的图形变换得到余弦函数线 由诱导公式得 2 sin cos xx 将正弦函数图像向左平移 2 个单位长度即可得到 余弦函数xycos 2 0 x的图像 2 用五点法作出正弦函数和余弦函数的简图 1 正弦函数xysin 2 0 x的图像 正弦函数xy
5、sin 的五个点关键点是 将这五 个点用平滑曲线连接 得到xysin 在 2 0 x上的简图 把xysin 2 0 x的图像 沿着x轴向右和向左连续地平行移动 每次移动的 距离为 2 就得到xysin Rx 的图像 叫做正弦曲线 2 余弦函数xycos 的五个点关键点是 将 这五个点用平滑曲线连接 得到xycos 在 2 0 x上的简图 把xycos 2 0 x的图像 沿着x轴向右和向左连续地平行移动 每次移动的 距离为 2 就得到xycos Rx 的图像 叫做正弦曲线 高一数学 2017 秋季 第 6页 二 函数的周期性 观察正弦函数xysin 的图像可知正弦函数有规律的不断重复出现 且每隔
6、 2个单位 重复出现一次 这一规律由诱导公式 可以说明 像这样按照一定规律不 断重复出现的函数叫周期函数 周期函数定义 对于函数 xf 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内每一 个值时 都有 成立 那么函数 xf就叫做周期函数 非零常数T就叫做 这个函数的 如果函数 xf的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小的 正数就叫做 xf的最小正周期 三 正弦函数和余弦函数图像的性质 sinyx cosyx 图像 定义域 值域 最值 周期性 奇偶性 单调性 对称性 函 数 性 质 高一数学 2017 秋季 第 7页 例 1 作出函数 xy 2 cos1 的图像 练习 1 用五点法作y 2si
7、n2x的图像时 首先应描出的五点的横坐标可以是 A 0 2 3 2 2 B 0 4 2 3 4 C 0 2 3 4 D 0 4 3 2 2 3 练习 2 函数f x 1 sinx 2 0 x的大致图像是 高一数学 2017 秋季 第 8页 例 2 比较下列各组数的大小 1 194sin和 160cos 2 4 7 sin和 3 5 cos 练习 1 比较 8 3 sin sin 和 8 3 sin cos 的大小 练习 2 判断下列两个三角函数值的大小 3sin 2sin 高一数学 2017 秋季 第 9页 例 3 求解下列函数的值域 1 3sin2 xxf 2 2 6 3sin2 xxxf
8、3 6 2sin 2 xxf 4 3 6 6 2sin 2 xxxf 5 3sinsin 2 xxxf 练习 1 函数 3 2 3 6 sin xxxf的值域是 A 2 1 2 1 B 1 2 1 C 2 1 2 3 D 1 2 3 练习 2 函数y cos2x 2sinx 2的值域是 A 0 B 0C 4 0D 0 4 高一数学 2017 秋季 第 10页 正切函数的图像和性质 一 正切函数的图像 第一步 在直角坐标系的x轴上任取一点 1 O 以 1 O为圆心作单位圆 第二步 在单位圆中画出对应于角0 6 4 3 3 4 6 的正切线 等 价于 列表 把角0 6 4 3 3 4 6 的正切线
9、向右平行移动 使得 正切线的起点与x轴上相应的点重合 则正切线的终点就是正切函数图像上的点 等价于 描 点 第三步 连线 用光滑曲线把这些正切线的终点连结起来 就得到正切函数 xytan 2 2 x的图像 根据正切函数的周期性 把上述图像向左 右扩展 得到正切函数Rxxy tan 且 zkkx 2 的图像 称 正切曲线 高一数学 2017 秋季 第 11页 二 正切函数的性质 tanyx 图像 定义域 值域 最值 周期性 奇偶性 单调性 对称性 函 数 性 质 高一数学 2017 秋季 第 12页 例 1 下列命题中 正确的是 A y tanx是增函数 B y tanx在第一象限是增函数 C
10、y tanx在区间 k 2 k 2 Zk 上是增函数 D y tanx在某一区间内是减函数 练习 1 下列不等式中 正确的是 A tan4 7 tan3 7 B tan2 5 tan 15 8 D tan 13 4 0 0 0 x 表示一个振动量时 A就表示 这个量振动时离于平衡位置的最大距离 通常把它叫做这个振动的 往复振动一次所 需要的时间T 它叫做振动的周期 单位时间内往复振动的次数f 它叫做 振动的频率 x 叫做 叫做 即当x 0时的相位 高一数学 2017 秋季 第 13页 二 五点法画图 用 五点法 作y Asin x 的简图 主要是通过变量代换 设 xz 由z 取 来求出相应的x
11、 通过列表 计算得出五点坐标 描点后得出图像 第一步 求值 其中 2 2 3 2 0 x x x x x 分别解得 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 第二步 列表 x 0 2 x 3 x 4 x 5 x x y 第三步 描点作图 三 A 对函数y Asin x 图像的影响 1 对函数y Asin x 图像的影响 在同一坐标系下 作出函数 3 sin xy和 4 sin xy的简图 并指出它们与 yx sin 图像之间的关系 第一步求值 函数 3 sin xy的周期为 2 我们作这个函数在长度为一个周期的 闭区间上的简图 设Zx 3 那么Zxsin 3 sin 3 Zx 当Z取0 2 2
12、3 和 2时 x取 所对应的五点是函数 3 sin xy图像上起关键作用的点 第二步列表 对于函数 3 sin xy列表如下 高一数学 2017 秋季 第 14页 3 x x sin 3 x 类似地 对于函数 4 sin xy 可列出下表 4 x x sin 4 x 第三步描点连线 由图可以看出 3 sin xy的图像可以看作是把yx sin的图像上所有的点向 平行移动 个单位而得到的 4 sin xy的图像可以看作是把xysin 的图像上所 有的点向 平行移动 个单位得到的 结论 对y sin x Rx 的图像的影响如下 对于函数y sin x 0 的 图像 可以看作是把y sin x的图像
13、上所有的点向 当 0 时 或向 当 0 对y sin x Rx 的图像的影响如下 函数y sin x 的图像 可以看作是把y sin x 的图像上所有点的横坐标 当 1时 或 当 0 0 对y Asin x Rx 的图像的影响如下 函数y Asin x 的图像 可以看作是把y sin x 的图像上的所有点的纵坐标 当A 1时 或 当 0 A1 或缩短 当0 A0 0 0 0 0 0 的部分图像如图所示 则 f 0 的值是 例 4 函数y sinax a 0 的最小正周期为 则a的值为 A 2B 2C 2D 1 2 练习 1 设函数f x sin x 2 Rx 则f x 是 A 最小正周期为 的
14、奇函数B 最小正周期为 的偶函数 C 最小正周期为 4 的奇函数D 最小正周期为 4 的偶函数 练习 2 函数y 2sin 1 3x 4 的最小正周期为 高一数学 2017 秋季 第 22页 例 5 求函数3 3 2cos 2 xy的对称中心坐标 对称轴方程 练习 1 2015 河北正定中学高一月考 函数y sin 2x 6 的图像向左平移 4个单位 所得 图像的一条对称轴方程是 A x 12 B x 6 C x 3 D x 12 练习 2 2015 河南新乡高一期末测试 函数f x sin x 4 的图像的一条对称轴方程是 A x 4 B x 2 C x 4 D x 2 高一数学 2017 秋季 第 23页 例 6 求函数y 2sin x 4 的单调区间 练习 1 函数f x 4 tan x的单调递增区间为 A 2 2 kk Zk B kk Zk C 4 4 3 kk Zk D 4 3 4 kk Zk 练习 2 2015 潮州高一期末测试 已知f x sin 2x 4 则 f x 的最小正周期和一个单调 增区间分别为 A 4 4 B 8 3 8 C 2 4 3 4 D 2 4 4 高一数学 2017 秋季 第 24页
