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1、演练方阵第6讲 等比数列的概念、性质等比数列的概念类型一:等比数列通项公式的应用考点说明：利用通项公式求基本量是等比数列中最常见、也是最简单的考点【易】1.若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D.6【答案】B 【解析】9823n-1=13，23n-1=827=233，n=4.【易】2.已知等比数列前3项为12，-14，18，则其第8项是 .【答案】-1256【解析】a1=12，a2=a1q=12q=-14，q=-12，a8=a1q7=12-127=-1256.【易】3.已知等比数列的前三项为4，-8，16，则第4项和第5项分别为
2、多少？【答案】-32和64【解析】由题可知，该等比数列的首项a1=4，公比q=-84=-2，a4=a1q3=4-23=-32，a5=a4q=-32-2=64.【中】4.已知等比数列an中，a1=127，a7=27，求an.【答案】an=3n-4或an=-3n-4【解析】由a7=a1q6，得27=127q6，q6=272=36，q=3. 当q=3时，an=a1qn-1，当q=-3时，an=a1qn-1=127-3n-1=-3-3-3n-1=-3n-4. 故an=3n-4或an=-3n-4.【中】5.各项都是正数的等比数列an的公比q1，且a2，12a3，a1成等差数列，则a3+a4a4+a5的值
3、为（ ）A.1-52 B.5+12 C.5-12 D. 5+12或5-12【答案】C 【解析】a2，12a3，a1成等差数列，a3=a2+a1，an是公比为q的等比数列，a1q2=a1q+a1，q2-q-1=0，q0，q=5+12.a3+a4a4+a5=a3+a4a3+a4q=1q，=5-12【中】6已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是( )ABC或D【答案】A【解析】设d和q分别为公差和公比，则413d且4(1)q4，d1，q22，【难】7.已知等比数列an为递增数列，且a52=a10，2an+an+2=5an+1，则数列an的通项公式an= .
4、【答案】b6与数列an第63项相等【解析】设数列an的公比为q，则由2an+an+2=5an+1，得2q2-5q+2=0，解得q=2或q=12，又a52=a10=a1q90，所以a10，又数列an递增，所以q= 2. 所以，由a52=a10，即a1q42=a1q9，得a1=q=2，所以an=2n.【难】8.已知等差数列an满足a1+a2=10，a4-a3=2.（1）求数列an的通项公式；（2）设等比数列bn满足b2=a3，b3=a7.问：b6与数列an的第几项相等？【答案】2n【解析】（1）设等差数列an的公差为d.因为a4-a3=2，所以d=2.又因为a1+a2=10，所以2a1+d=10，
5、故a1=4.所以an=4+2n-1=2n+2(n=1,2,) .(2) 设等比数列bn公比为q.因为b2=a3=8，b3=a7=16，即b1q=8，b1q2=16，所以q=2，b1=4.所以b6=426-1=128.由128=2n+2得n=63.所以b6与数列an第63项相等.类型二:等比中项的应用考点说明：等比中项是等比数列问题中的高频考点【易】1.已知-1，x，-4成等比数列，则x的值为（ ）A. 2 B.-52 C. 2或-2 D.2或-2【答案】C【解析】由题意，得x2=4，x=2【易】2.已知等差数列an的公差为2，若a3是a1与 a4的等比中项，则a2= （ ）A.-4 B.-6
6、C. -8 D.-10【答案】B【解析】由题意，得a32=a1a4，即a1+42=a1a1+6，解得a1=-8 ，a2=a1+d=-8+2=-6.【易】3. 在等比数列an中，已知a1=19，a5=9，则a3=（ ）A. 1 B. 3 C. 1 D. 3【答案】A【解析】由等比数列等比中项定义可知a3是a1和a5的等比中项，所以a32=a1a5=1，且a3与a1和a5同号，即a3=1.【中】4. 若正数组成等比数列，则一定是 （ ）A. 等差数列 B.既是等差数列有是等比数列 C. 等比数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列【答案】A【解析】设公比为q，因为a,b,c组成等比数列，则b2=a
7、c，log2a+log2c=log2ac= log2aaq2=log2a2q2=2log2aq=2log2b，所以log2a，log2b，log2c成等差数列.【中】5.若成等差数列，而和都分别成等比数列，则的值为（ ）A16 B15 C14 D12【答案】D【解析】因为a，b，c成等差数列，而和都分别成等比数列，所以2b=a+cb2=a+1cb2=ac+2，计算得出a=8，b=12，c=16，所以D为正确答案.【中】6.等比数列an的前三项的和为168，a2-a5=42，求a5、a7的等比中项.【答案】3【解析】设该等比数列的公比为q，首项为a1，a2-a5=42，q1，由已知，得a1+a1
8、q+a1q2=168a1q-a1q4=42,a11+q+q2=168a1q1-q3=42 1-q3=1-q1+q+q2，由得q1-q=14，q=12，a1= 4212-124=96.令G是a5、a7的等比中项，则应有G2=a5a7=a1q4a1q6=a12q10=9621210=9 ，a5、a7的等比中项是3.【难】7.已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为（ ）A. -110 B. -90 C. 90 D. 110【答案】D【解析】a7是a3与a9的等比中项，公差为-2，所以a72 =a3a9，所以a72=（a7+8）（a7
9、-4），所以a7=8，所以a1=20，所以S10= 1020+1092(-2)=110，故选D.【难】8.在数列an中，an0，a1=12，如果an+1是1与2anan+1+14-an2的等比中项，那么 a1+a222+a332+a442+a1001002的值是 .【答案】100101【解析】由题意可得，an+12=2anan+1+14-an22an+1+anan+1+12an+1-anan+1-1=0，2an+1-anan+1-1=0，由2-an0,an+1=12-anan+1-1=an-12-an，又可知an1，1an+1-1=1an-1-1，1an-1是以1a1-1为首项，-1为公差的等
10、差数列，1an-1=112-1-n-1=-n-1an=nn+1ann2=1nn+1=1n-1n+1，a1+a222+a332+a442+a1001002=1-12+12-13+13-14+1100-1101=100101 .【难】9.在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数.【答案】2 ，1，12 或-2，1，-12【解析】此等比数列共5项，a3是a1与a5的等比中项，因此a3=a1a5=1.a2是a1与a3的等比中项，a4是a3与a5的等比中项.因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a3=1 ，a2=a1a3=2，a4=a3a5=12.因此，插入的3项依次为2 ，1，
11、12 或-2，1，-12.类型三:等比数列的判定考点说明：关于等比数列的判定是高考高频考点之一，通常以解答题形式出现.【易】1. 已知数列an的通项公式为an=134n-1，试问这个数列是等比数列么？【答案】是等比数列【解析】考查等比数列的定义因为当n2时，anan-1=134n-134n-2=4，所以数列an是等比数列.【易】2.在数列an中，an=（3n-1）2n-2，设bn=an3n-1，证明：bn是等比数列.【答案】见解析【解析】an=3n-12n-2，bn=an3n-1=2n-2，bn+1bn=2n-12n-2=2.又b1=a131-1=12，数列bn是首项为12，公比为2的等比数列
12、.【易】3. 已知等比数列an的前n项和Sn=2an+1nN*.求证：数列an是等比数列.【答案】见解析【解析】Sn=2an+1nN*，Sn-1=2an-1+1n2，两式相减，得an=2an- 2an-1，an=2an-1，即anan-1=2n2. 故数列an是等比数列.【中】4已知数列an的前n项和为Sn=4an-3(nN*)，证明：数列an是等比数列【答案】见解析【解析】Sn=4an-3nN*，Sn-1=4an-1-3n2，两式相减，得an=4an- 4an-1，an=43an-1，即anan-1=43n2. 故数列an是等比数列.【中】5. 已知数列an的首项a1=5，前n项和Sn，且S
13、n+1=2Sn+n+5nN*.求证数列an+1是等比数列.【答案】见解析【解析】Sn+1=2Sn+n+5nN*，Sn=2Sn-1+n+4n2，两式相减，得an+1=2an+1，an+1+1=2an+1，an+1+1an+1=2n2.S2=2S1+6=2a1+6=16，a1+a2=16，a2=16-a1=11. a2+1=12=2a1+1. an+1+1an+1=2nN*，又a1+1=6，即数列an+1是首项为6，公比为2的等比数列.【难】6.设数列an的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=n+2nSn,n=1,2,3.求证：数列Snn是等比数列.【答案】见解析【解析】an+1=Sn+1-
14、Sn ， an+1=n+2nSn ，n+2Sn=nSn+1-Sn .整理得nSn+1=2n+1Sn， Snn+1=2Snn , 故Snn是以2为公比的等比数列.【难】7. 设数列an的首项a1=a14，且an+1=12an n为偶数an +14n为奇数，记bn=a2n-1-14,n=1，2，3（1）求a2，a3；（2）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论.【答案】见解析【解析】（1）a2=a1+14=a+14，a3=12a2=12a+18；（2）a4=a3+14=12a+18，所以a5=12a4=14a+316，所以b1=a1-14=a-14，b2=a3-14=12a-14 ，猜想：bn是公比为12的等比数列.证明如下：因为bn+1=a2n+1-14=12a2n-14=12a2n-1-14=12bn(nN*)，所以bn是首项为a-
