《教培机构高中数学讲义][选修2-1 第5讲 双曲线及其方程 讲义教师版].pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教培机构高中数学讲义][选修2-1 第5讲 双曲线及其方程 讲义教师版].pdf（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高二数学 2017 秋季 第 1页 第 5 讲双曲线及其方程 1 学生掌握双曲线的定义及标准方程 2 能够掌握并运用双曲线的性质 3 熟练掌握直线与双曲线的位置关系 1 双曲线的方程及性质是重点 2 直线与双曲线的位置关系是难点 高二数学 2017 秋季 第 2页 双曲线的定义 一 1 第一定义 当 1212 2 PFPFaFF 时 P的轨迹为双曲线 当 1212 2 PFPFaFF 时 P的轨迹不存在 当 2121 2 FFaPFPF 时 P的轨迹为以 21 FF 为端点的两条射线 例 1 已知双曲线两个焦点的坐标为 5 0和 5 0 双曲线上一点到两焦点的距离之 差的绝对值等于 6 则其标
2、准方程 答案 2 2 y 1 916 x 解析 双曲线的焦点在 y 轴 设它的标准方程为 1 2 2 2 2 b x a y 0 0a b 102 6a2 c 5 3 ba 16 35 222 b 双曲线方程为 1 169 2 2 x y 练习 1 设点 P 是双曲线 1 169 2 2 x y 上任意一点 F1 F2分别是其左 右焦点 若 10 1 F P 则 2 PF 答案 16 2 F P或 4 解析 由双曲线的标准方程得4 3 ba于是5c 22 ba 1 若点P在双曲线的左支上 1 169 2 2 x y 则 6a2 12 F P F P 6 12F P F P 2 若点P在双曲线的
3、右支 则6 21 F P F P 46 12 F P F P 对双曲线的定义有个初步的了解 并且熟练应用 例 2 已知 A 0 5 B 0 5 aPBPA2 当 a 3 或 5 时 P 的轨迹 A 双曲线和一条直线 B 双曲线和两条直线 C 双曲线的一支和一条直线 高二数学 2017 秋季 第 3页 D 双曲线的一支和一条射线 答案 D 解析 当3a 时 6a2 此时10 AB P 的轨迹为双曲线的一支 当5 a时 10a2 此时10 AB P 的轨迹为射线 是以 B 为端点向上的一条射线 练习 1 已知两定点 0 3 1 F 0 3 2 F 在满足下列条件的平面内动点 P 的轨迹中 是双曲
4、线的是 A 5 21 F P F PB 6 21 F P F P C 7 21 F P F PD 0 21 F P F P 答案 A 解析 因为6 21 FF 所以 5 2121FFF P F P 动点 P 的轨迹是双曲线 故 A 正确 要牢牢区分双曲线的概念 灵活运用 并且掌握 双曲线的标准方程及其性质 标准方程 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 性质 焦点 0 0 cc 0 0 cc 焦距c2 范围 Ryax Rxay 顶点 0 0 aa 0 0 aa 对称性关于 x 轴 y 轴和原点对称 离心率 1 c e a 渐近线 x a b
5、 y x b a y a b c 的关系 cb 222 a 高二数学 2017 秋季 第 4页 例 3 双曲线的焦距是实轴长的 5倍 且一个顶点的坐标 2 0 则双曲线的标准方 程为 答案 1 164 2 2 x y 解析 由双曲线的一个该双曲线的焦点坐标在 x 轴上 则2a 5c 52a 16420 b 222 ac 该双曲线方程1 164 2 2 x y 练习 1 双曲线的实轴与虚轴之和等于焦距的2倍 且一个顶点坐标为 2 0 则双曲线方 程 答案 1 44 y 2 2 x 解析 由题意可知2a 且cb2a 又 bac 222 联立得2a b 顶点在 y 轴上 方程1 44 y 2 2 x
6、 实轴 虚轴 焦距经常出一些小的题型 例 4 若双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长 则双曲 线的离心率为 A 2B 3C 5D 2 答案 C 解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长 故ab2 51 2 2 2 2 2 a b a c e 所以5 e 练习 1 已知椭圆方程1 34 x 2 2 y 双曲线的焦点是椭圆的顶点 顶点是椭圆的焦点 则双 曲线的离心率为 A 2B 3C 2D 3 高二数学 2017 秋季 第 5页 答案 C 解析 椭圆的焦点为 1 0 顶点为 2 0 即双曲线中 a 1 c 2 所以双曲线的离心率为 2 1 2 a c
7、e 练习 2 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点 且与 C 的一条对称轴垂直 l 与 C 交于 A B 两点 AB为实轴长的 2 倍 则 C 的离心率为 答案 3 解析 以焦点在 x 轴上分析 设双曲线的标准方程为1 x 2 2 2 2 b y a 0 ba 焦点 0 CF 将cx 代入1 x 2 2 2 2 b y a 可得 a b 2 4 2 y a a b AB222 2 abaca 222222 3 2 b 3e 2 2 a c a c 双曲线的离心率问题在考试中是比较重要的一部分 要灵活运用 例 5 已知双曲线的渐近线方程是 2 x y 焦点在坐标轴上且焦距是 10 则此双曲线 的
8、方程为 答案 22 1 205 xy 或1 205 22 xy 解析 设双曲线方程为 22 4yx 当0 时 化为1 4 22 yx 2010 4 5 2 当0 时 化为1 4 22 yy 2010 4 5 2 综上 双曲线方程为 22 1 205 xy 或1 205 22 xy 练习 1 求中心在坐标原点 对称轴为坐标轴 经过点 3 2 且一条渐近线的倾斜角为 6 的双曲线的方程 高二数学 2017 秋季 第 6页 答案 1 3 y 2 2 x 解析 渐近线方程为x 3 3 y 设双曲线方程为 y2 2 3 x 将 3 2 代入求得 3 所以双曲线方程为1 3 y 2 2 x 练习 2 双曲
9、线1 124 2 2 y x 的焦点到渐近线的距离 答案 32 解析 16164 c 222 ba 设右焦点为 0 4 1 F 令0 124 2 2 y x 得其中一条渐近 线方程为x3y 点 0 4 1 F 到直线03 yx的距离为32 13 034 d 要掌握焦点在 x 轴和 y 轴上的渐近线方程 直线与双曲线的位置关系 一 直线与双曲线的位置关系的判断 设直线 0 mmkxyl 双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 联立解得 02 222222222 bamamkxaxkab 若0 222 kab即 a b k 直线与双曲 线 渐 近 线 平 行 直 线 与 双 曲
10、线 相 交 于 一 点 若0 222 kab即 a b k 4 2 222222222 bamakabmka 0 直线与双曲线相交 有两个交 点 0 直线与双曲线相切 有一个交点 0 直线与双曲线相离 无交点 直 线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件 二 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线 l y kx n 圆锥曲线 F x y 0 它们的交点为 P1 x1 y1 P2 x2 y2 且由 nkxy yxF0 高二数学 2017 秋季 第 7页 消去y得到 0 0a 2 acbx x 设 2211 yxByxA a b xx 21 a c xx 21 则 弦长公式为 21
11、2 21 2 4 1 xxxxkAB 若联立消去x得y的一元二次方程 0 0 2 acbyay 设 2211 yxByxA 则 21 2 21 2 4 1 1 yyyy k AB 三 中点弦 点差法即设直线与圆锥曲线的交点 弦的端点 坐标为 11 yxA 22 yxB 将这两 点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差 得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子 可 以大大减少运算量 我们称这种代点作差的方法为 点差法 例 6 过点 7 5 P与双曲线 1 257 2 2 y x 有且只有一个公共点的直线有几条 分别求 出它们的方程 答案 7x 和 5 7 10 7 yx 解析 若直线的斜率不存在时 则
12、7x 此时仅有一个交点 7 0 满足条件 若直 线 的 斜 率 存 在 时 设 直 线 的 方 程 为5 7 yk x 则57ykxk 22 57 1 725 xkxk 22 257 57 7 25xkxk 222 257 7 2 57 57 7 250kxkxkk 当 5 7 7 k 时 方程无解 不 满足条件 当 5 7 7 k 时 2 5 71075x 方程有一解 满足条件 当 2 25 7 k 时 令 222 14 57 4 257 57 165 0kkkk 化简得 k无解 所以不满足条 件 练习 1 已知双曲线方程为1 4 x 2 2 y 过的直线 l 与双曲线只有一个公共点 则 l
13、 的条数 为 A 4B 3C 2D 1 答案 B 高二数学 2017 秋季 第 8页 解析 数形结合知 过点 0 1P有一条直线 l 与双曲线相切 有两条直线与渐近线平行 这三条直线与双曲线只有一个公共点 练习 2 已知双曲线1 412 x 2 2 y 的右焦点为 F 若过 F 的直线与双曲线的右支且有一个交点 则直线斜率的取值范围 答案 3 3 3 3 k 解析 由题意知 0 4 F 双曲线的两条渐近线方程为x 3 3 y 当过 F 点的直线与渐近线平行时 满足与右支只有一个交点 画出图形 通过图形可知 3 3 3 3 k 1 注意如何判断直线与双曲线的位置关系 2 会利用数形结合的解题方法
14、处理双曲线问题 例 7 求直线1yx 被双曲线 2 2 1 4 y x 截得的弦长 答案 2 3 8 解析 由 2 2 1 4 y x 和1yx 联立消y得04 1 x 4 2 2 x得0523 2 x x 设 方 程0523 2 x x 的 解 为x1x2 3 2 21 x x 3 5 x21 x 则 有 得 2 3 8 3 20 9 4 24 21 2 22d 2121 xxxxxx 练习 1 已知双曲线3 x 3 2 2 y 直线 l 过右焦点 F2 且倾斜角为 45 与双曲线交于 A 高二数学 2017 秋季 第 9页 B 两点 试问并求弦 AB 的长 答案 6 解析 3 2 1a c
15、b又直线 L 过点 2 0 2 F 且斜率1 45 tank o L 的方程为2y x由3 x 3 2 2 y与2y x联立消去 y 并整理得074 x 2 2 x 设 yA 1 1 x yB 2 2 x 2 x21 x 2 7 x21 x xxxxkxxk AB 2 2 2 21 2 1 4 21 11 6 2 7 4 2 2 2 重点掌握直线与位置关系和弦长公式 经常配合韦达定理进行出题 例 8 过椭圆1 416 22 yx 内一点 1 2 M引一条弦 使弦被M点平分 求这条弦所 在直线的方程 答案 042 yx 解析 设直线与椭圆的交点为 11 yxA 22 yxB 1 2 M为AB的中
16、点 4 21 xx 2 21 yy 又A B两点在椭圆上 则164 2 1 2 1 yx 164 2 2 2 2 yx 两式相减得 0 4 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 于是0 4 21212121 yyyyxxxx 2 1 24 4 4 21 21 21 21 yy xx xx yy 即 2 1 AB k 故 所 求 直 线 的 方 程 为 2 2 1 1 xy 即042 yx 练习 1 求过定点 0 1 的直线被双曲线 2 2 1 4 y x 截得的弦中点轨迹方程 答案 04 2 2 yy x 解析 设弦的两个端点坐标为 11 yxA 22 yxB 弦中点为 yxP 则 22 11 22 22 44 44 xy xy 22 40 xyy 高二数学 2017 秋季 第 10页 两式作差得 12121212 4 xxxxyyyy yy xx xx yy 21 21 21 21 4 4 1 yx xy 即04 2 2 yy x 练习 2 已知直线2xy 与抛物线 2 4yx 交于 A B 两点 那么线段 AB 的中点的坐标 为 答案 4 2 解析 由 2 2 4 xy yx
