《教培机构高中数学讲义][必修四 第2讲 三角函数的图像与性质]讲义教师版 (2).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教培机构高中数学讲义][必修四 第2讲 三角函数的图像与性质]讲义教师版 (2).docx（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2讲 三角函图像与性质1. 能够画出、和的图像2. 借助图像理解正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性、奇偶性、最大值、最小值、对称轴和对称中心3. 理解函数的实际意义,掌握用“五点法”画出函数的简图4. 掌握中A、和的意义，理解三个参数对图像的影响5. 借助图像理解函数的单调性、奇偶性、最大值和最小值、对称轴、对称中心等6. 掌握三角函数的图像变换，能够通过变换方法写出函数解析式以及通过两个函数图像写出变换方法1. 五点法作出正弦函数和余弦函数在上的图像是重点2. 利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在上的图像是难点3. 学会应用三角函数图像求解正弦函数、余弦函数和正切函数的性质，将数形结合思想
2、运用到具体问题上是难点4. 结合具体实例理解的实际意义,用“五点法”画出函数的简图是重点5. 掌握中A、和的意义以及理解三个参数对图像的影响是重点6.求解函数的单调性、奇偶性、最大值和最小值、对称轴、对称中心等是重点7. 三角函数的图像变换是重点也是难点，要求学生做到可以通过变换方法写出函数解析式以及通过两个函数图像写出变换方法正弦、余弦函数的图像与性质一、正弦函数和余弦函数的图像1、用单位圆中的三角函数线作出正弦函数和余弦函数的图像（1）正弦函数的图像第一步：在直角坐标系的轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与轴的交点A起把圆分成n(这里)等份.把轴上从0到这一段分成n(这里)等份第二步
3、：在单位圆中画出对应于角、.的正弦线（等价于“列表”）把角、.的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与轴上相应的点重合，则正弦线的终点就是正弦函数图像上的点（等价于“描点”）第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数，的图像把，的图像，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为，就得到,的图像，叫做正弦曲线（2）余弦函数的图像以正弦函数图像为基础，根据诱导公式，通过适当的图形变换得到余弦函数线由诱导公式得：，将正弦函数图像向左平移个单位长度即可得到余弦函数，的图像2、 用五点法作出正弦函数和余弦函数的简图（1）正弦函数，的图像正弦函数的五个点关键点是：(0,0)
4、、(,1)、(p,0)、(,-1)、(2p,0)，将这五个点用平滑曲线连接，得到在上的简图把，的图像，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为，就得到，的图像，叫做正弦曲线（2）余弦函数的五个点关键点是：(0,1)、(,0)、(p,-1)、(,0)、(2p,1)，将这五个点用平滑曲线连接，得到在上的简图把，的图像，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为，就得到，的图像，叫做正弦曲线二、函数的周期性观察正弦函数的图像可知正弦函数有规律的不断重复出现，且每隔个单位重复出现一次，这一规律由诱导公式：可以说明，像这样按照一定规律不断重复出现的函数叫周期函数周期函数定义：对于函数，
5、如果存在一个非零常数，使得当取定义域内每一个值时，都有成立，那么函数就叫做周期函数，非零常数就叫做这个函数的周期，如果函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期三、 正弦函数和余弦函数图像的性质函数性质 图像定义域值域最值当时，；当 时， 当时；当时，周期性奇偶性奇函数偶函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数对称性对称中心；对称轴.对称中心；对称轴.例1作出函数的图像【答案】见解析【解析】方法一：化简为 即： 其图像如图：方法二：化简为， 先画出的图像，在根据图像的翻折变化，将x轴下部分图像翻折上去，并去掉轴下部分图像，即可得到的图像练习1
6、用五点法作y = 2sin2x的图像时，首先应描出的五点的横坐标可以是()A0、2 B0、C0、2、3、4 D0、【答案】B【解析】由2x0、2，得x0、，故选B练习2函数f (x) =1sinx，的大致图像是()【答案】B【解析】当x0时，f(0)1sin01，排除C、D；当x时，f ()1sin110，排除A，故选B也可以利用图像的平移变化求解正弦函数和余弦函数的图像是重点，考点较为单一，解题时可采用特值法或图像平移等方法求解 例2比较下列各组数的大小（1）和；（2）和【答案】（1）；（2）【解析】（1）， ，从而， 即（2），又，在上是减函数，即练习1比较和的大小【答案】【解析】， 而在
7、内递增 练习2判断下列两个三角函数值的大小： _ 【答案】sin(3) sin(2)【解析】(1)ysinx在上是减函数，32sin(2)（1）比较同名的三角函数值的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小（2）比较不同名的三角函数的大小时，应先化为同名三角函数，然后再进行比较例3求解下列函数的值域（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 【答案】（1） ；（2） ；（3）；（4）； （5） 【解析】（1）令，原式化为，当时，取最大值5；当时，取最小值1，（2） 令，原式化为，当时，取最大值4；当时，取最小值1，（3） 令，原式化
8、为，由三角函数有界性得（4）令,，即，原式化为，由图像可得：当时，取最小值1，当时，取最大值2， （5）令，原式化为，对称轴，又，且二次函数开口向上，当时，取最小值；当时，取最大值5，练习1函数的值域是()A. B C D【答案】B【解析】令，即，原式化为，由图像可得：当时，取最小值，当时，取最大值1， 练习2函数ycos2x2sinx2的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】ycos2x2sinx2sin2x2sinx1(sinx1)2，1sinx1，y4,0函数ycos2x2sinx2的值域为4,0 求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要得利用sinx与cosx的有界性，
9、复合函数的有关性质以及换元法进行求解.常见的三种模型有：（1） ；（2）；（3）.正切函数的图像和性质1、 正切函数的图像第一步：在直角坐标系的轴上任取一点，以为圆心作单位圆第二步：在单位圆中画出对应于角、 、的正切线（等价于“列表”） 把角、 、的正切线向右平行移动，使得正切线的起点与轴上相应的点重合，则正切线的终点就是正切函数图像上的点（等价于“描点”） 第三步：连线.用光滑曲线把这些正切线的终点连结起来，就得到正切函数，的图像根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且的图像，称“正切曲线”二、正切函数的性质函数性质 图像定义域值域最值既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇
10、函数单调性在上是增函数对称性对称中心,无对称轴.例1下列命题中正确的是()Aytanx是增函数Bytanx在第一象限是增函数Cytanx在区间(k，k)上是增函数Dytanx在某一区间内是减函数【答案】C【解析】令x1，x2，tanx1，tanx2，x1tanx2，故函数ytanx在第一象限内不是增函数，排除A、B，由正切函数的图像知，函数ytanx在某一区间内不可能是减函数，排除D，故选C练习1下列不等式中，正确的是()Atantan Btantan()Dtan()tan()【答案】C【解析】(0，)，(，)，tan0，tantan；tan()tantan(2)tan，tan()tantan
11、(2)tan，0 ，tantan()，故选C练习2在区间(，)内，函数ytanx与函数ysinx的图像交点的个数为()A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】在同一坐标系中画出函数ytanx与函数ysinx在区间(，)内的图像，如图所示由图像可知选C正切函数的图像和性质是考察重点.函数的图像一、 振幅、周期、频率、相位、初相当函数yAsin(x)(其中A0，0，)表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离于平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间T，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数f= = ，它叫做振动的频率；x叫做相位，叫做初相位 (即当x0时的相位)
12、二、五点法画图用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设，由z取0，来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像第一步：求值其中 ，分别解得、.第二步：列表00A0-A0第三步：描点作图三、 A、对函数yAsin(x)图像的影响1、对函数yAsin(x)图像的影响在同一坐标系下，作出函数和的简图，并指出它们与图像之间的关系第一步求值：函数的周期为，我们作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图设，那么，当Z取、和时，x取所对应的五点是函数图像上起关键作用的点第二步列表：对于函数列表如下：x0010-10类似地，对于函数，可列出下表：x0010-10第三步描点连线：由图可以看出的图像可以看作是把的图像上所有的点向左平行移动个单位而得到的，的图像可以看作是把的图像上所有的点向右平行移动个单位得到的结论：对ysin(x)，的图像的影响如下：对于函数ysin(x)(0)的图像，可以看作是把ysinx的图像上所有的点向左 (当0时)或向右 (当0时)平行移动个单位长度得到的推广：将函数的图像沿x轴方向平移个单位后得到函数的图像当
