《教培机构高中数学讲义][必修五 第9讲 数列通项的几种求法（数列章末提升） ]讲义教师版 (2).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教培机构高中数学讲义][必修五 第9讲 数列通项的几种求法（数列章末提升） ]讲义教师版 (2).docx（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第9讲 数列通项的几种求法1.了解数列通项公式的不同类型的特点。2.能够熟练掌握四种典型类型的数列通项的求解方法。1.归纳观察法和已知Sn求通项是重点。2.累加（乘）法和构造法是本节课的难点。3.常见的典型类型通项公式要熟练记忆。归纳观察法一、等差、等比数列（1）若为等差数列，则an=a1+（n1）d；（2）若为等比数列，则an=a1qn1。二、分式形式数列（1）把约分后的分式还原后观察；（2）观察分母间关系和分子间关系；（3）观察分子与分母间的关系。三、“归九法”求数列通项公式（1）整数类型“归九法”形如9，99，999，9999形式的数列的通项公式为an=10n-1。形如8，88，888，
2、8888形式数列先用“归九法”归纳成的形式，再写出通项公式。（2）小数类型“归九法”形如0.9，0.99，0.999，0.9999形式的数列的通项公式an=1-10-n。形如0.7，0.77，0.777，0.7777形式数列先用“归九法”归纳成的形式，再写出通项公式。四、摆动数列（1）正负号用(-1)n或(-1)n+1来调节。（2）两个循环的数列是0，1，0，1，通项公式是an=1+(-1)n+1（3）两个循环的数列是0，1，0，1的变形。可以拆成一个常数列b，b，b，b与0，a-b，0，a-b的和，分别写通项然后相加再化简。例1. 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1
3、)1， (2)，2，8，【答案】（1）an，nN*。（2）an，nN*。【解析】(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an，nN*。(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以它的一个通项公式为an，nN*。练习1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)，；(2)，；【答案】(1)an，nN*.(2) an，nN*.【解析】(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以，它的一个通项公式为an，nN*.(2)这个数列的前4项的分母都是比序号
4、大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为an，nN*.要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系。例2. 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)9，99，999，9999 (2)2，0，2，0【答案】（1）an10n1，nN*。（2）an(1)n+11，nN*。【解析】(1)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an10n1，n
5、N*。(2)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an(1)n11，nN*。练习1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）7，77，777，7 777（2）0.8，0.88，0.888【答案】（1）an79(10n1)，nN*（2 an=89（10.1n），nN*【解析】(1)这个数列的前4项可以变为9，99，999，9 999，即(101)，(1001)，(1 0001)，(10 0001)即(101)，(1021)，(1031)，(1041)，所以它的一个通项公式为an(10n1)，nN*.（2）0.9=10.1，0.9
6、9=10.12，0.999=10.13，0.9999=10.14数列的通项公式为an=89（10.1n）对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整，可代入验证归纳的正确性已知Sn求通项一、由Sn求an的步骤：(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段函数的形式二、易错警示：利用anSnSn1求通项时，应注意n2这一前提条件，易忽视验证n1致误例3. 已知下面数列an的前n项和Sn2
7、n23n；，求an的通项公式：【答案】an4n5【解析】a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5由于a1也适合此等式，an4n5练习1. (2017石家庄质检(二)已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an4(nN*)，则an()A2n1B2nC2n1D2n2【答案】A【解析】由Sn2an4可得Sn12an14(n2)，两式相减可得an2an2an1(n2)，即an2an1(n2)又a12a14，a14，所以数列an是以4为首项，2为公比的等比数列，则an42n12n1，故选A.利用anSnSn1求通项时，应注意n2这一前提条件，易忽视验证n1致误例4
8、. 已知数列an的前n项和Sn3nb，求an的通项公式。【答案】当b1时，an23n1；当b1时，an【解析】a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1当b1时，a1适合此等式当b1时，a1不适合此等式.当b1时，an23n1；当b1时，an 练习1. 一个数列的前n项和的公式是Sn=an2+bn+c（a，b，c为常数），如果此数列是等差数列，求通项公式。【答案】an=2an+ba【解析】此数列是等差数列充要条件为c=0，a1=a+b，当n2时，an=SnSn1=an2+bna（n1）2+b（n1）=2an+ban=1时成立an=2an+ba利用anSnSn1求通项时
9、，应注意n2这一前提条件，易忽视验证n1致误，涉及到字母时应该分类讨论。累加、累乘法一、累加法形如an1anf(n)的递推公式，可以利用a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an(n2，nN*)求通项公式。二、累乘法:形如f(n)的递推公式，可以利用a1an(n2，nN*)求通项公式例5. 已知数列an满足：a11，an1an2，求通项an；【答案】an2n1.【解析】n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(n1)12n1.a11也适合上式，所以数列an的通项公式是an2n1.练习1. 若在数列中，求通项。【答案】=【解析】由得，所以，将以上各式相加得：，又所以 =对于形
10、如型，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加即可得到通项公式。例6. 已知数列an满足：a11，(n2，nN*)，求通项an.【答案】an【解析】n2时，ana11.a11也适合上式，所以数列an的通项公式是an.练习1. 在数列中，（），求通项。【答案】=【解析】由已知，又，所以=对于形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相乘即可得到通项公式。构造法一、形如,其中)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列为等差数列；（2）若d=0时，数列为等比数列；（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法
11、构造辅助数列来求，具体求解方法如下：设,得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以 即：规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式二、形如型（构造新的等比数列）(1)若一次函数(k,b是常数，且)，则可以用待定系数法。(2)若(其中q是常数，且n0,1)若p=1时，即：，累加即可若时，即：，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即： ,令，则,然后用累加求通项。ii.两边同除以，目的是把所求数列构造成等差数列。 即： ,令,则可化为.然后转化为（一）中的类型来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列
12、构造成等差数列设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。三、迭代法(其中p,r为常数)型，常采用迭代法求解。四、倒数法形如型，常采用取倒数的方法求解。例7. 已知数列中，求数列的通项公式。【答案】【解析】 又是首项为2，公比为2的等比数列 ，即练习1. 已知数列an中，a1=1，an+1=2an+4(nN*)，求通项公式an【答案】an=52n-1-4【解析】a1=1，an+1=2an+4(nN*)，an+1+4=2（an+4），a1+4=5数列an+4是以5为首项，以2为公比的等比数列an+4=52n-1即an=52n-1-4故答案
13、为52n14本题主要考查了由形如an+1=pan+q型的数列递推公式求解通项公式，解题的关键是构造等比数列例8. 若数列中，=3且（n是正整数），求它的通项公式是。【答案】【解析】由题意知0，将两边取对数得：，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， 即练习1. 已知数列满足，求数列的通项公式。【答案】【解析】因为，所以又，所以数列的通项公式为。(其中p,r为常数)型，常采用迭代法求解（也可以采用取对数的方法）。例9. 已知数列满足，求数列的通项公式。【答案】【解析】求倒数得为等差数列，首项，公差为，练习1. 已知数列an的首项a1，a3=89，an+1=2anan+1（n=1，2，）（1）求a1；（2）证明：数列1an-1是等比数列；（3）求数列通项公式an【答案】（1）a1=23；（2）见解析（3）an=2n2n+1【解析】（1）解：a3=89，an+1=2a
