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1、第5讲 等差数列的前n项和公式1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.2.会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值.3.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.1.熟练掌握等差数列的求和公式.灵活应用求和公式解决问题.2.熟练利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值.等差数列前n项和的公式及其应用一、等差数列an的前n项和公式的两种不同形式当已知首项
2、和末项时，用 ；当已知首项和公差时，用 .二、等差数列的前n项和公式的推导1等差数列的前项和公式1：证明： +： 由此得： 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2 等差数列的前项和公式2： 用上述公式要求必须具备三个条件： 但 代入公式1即得： 此公式要求必须已知三个条件： 例1.已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a16，a3a50，则S6_【答案】6【解析】设等差数列an的公差为d，因为a3a50，所以62d64d0，解得d2，所以S666(2)36306.练习1.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7()A13 B35 C49 D63【答案】C【解析】
3、设等差数列an的公差为d，则解得所以S771249.针对等差数列的求和公式一定要理解并能灵活运用。例2.在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11_.【答案】88【解析】因为数列an为等差数列，所以S11.根据等差数列的性质，若pqmn，则apaqaman，得a1a11a4a816.所以S1188.练习1.已知n是公差为1的等差数列，Sn为n的前n项和，若S84S4，则10()A. B. C10 D12【答案】B【解析】由S84S4，公差d1，得8114，解得1，1019d.练习2.等差数列an中，a2a7a1224，则S13_.【答案】104【解析】因为a1a13a2a12
4、2a7，又a2a7a1224，所以a78.所以S13138104.a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用等差数列的前n项和的性质及其应用1、 等差数列的前m项和为数列为则Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列，公差为m2d.2、 若是等差数列，则也成等差数列，其首项与的首项相同，公差是的公差的 3、 两个等差数列，的
5、前n项和，之间的关系为4、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，当项数为偶数2n时，S偶S奇nd，；当项数为奇数2n1时，S奇S偶an，.例3.设等差数列n的前n项和为Sn，且S510，S1030，则S15()A60 B70 C90 D40【答案】A【解析】因为数列n为等差数列，所以S5，S10S5，S15S10也成等差数列，设S15x，则10，20，x30成等差数列，所以22010(x30)，所以x60，即S1560.练习1.设等差数列的前n项和为，且12，45，则_.【答案】114【解析】因为是等差数列，所以，成等差数列，所以2()()，即2(12)12(45)，解得3.又2
6、()()()，即2(453)(312)(45)，解得114.一定谨记等差数列的前m项和为数列为则Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列，公差为m2d.这个和的性质的使用方法。例4.在等差数列中,=-2012,其前n项和为,若=2,则的值等于_.【答案】-2012【解析】解析由(A、B为常数),知,数列是等差数列,又=2,的公差为1,又其首项为=-2012,=-2012+(2012-1)1=-1,故=-2012.练习1.设等差数列的前n项和为,若=-2,=0,=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】数列为等差数列,且前n项和为,数列也为等差数列.,即解得m=5,经检验
7、为原方程的解.故选C. 灵活使用等差数列前n项和的性质这条，比较特殊。例5.等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于A. B. C. D.【答案】A【解析】.练习1.两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为()A2 B3 C. D.【答案】B【解析】设这两个数列的前n项和分别为Sn，Tn，则3，故选B.重点是理解如何推导出来的这个公式的使用方法，只有记住性质的推导过程和公式的使用才能更好的解决问题。例6.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A5 B.4 C3 D2【答案】选C【解析】由题意得S偶S奇5d15，d3.或由解方程组
8、求得d3，故选C.练习1.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是_，项数是_【答案】117【解析】设等差数列an的项数为2n1，S奇a1a3a2n1(n1)an1，S偶a2a4a6a2nnan1，解得n3，项数2n17，S奇S偶an1，即a4443311为所求中间项等差数列的前n项和的性质应用，注重对公式的理解和灵活运用。重点是公式的理解。等差数列的前n项和与通项的关系已知数列an的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：(1) 当n1时，a1S1. (2)当n2时，根据Sn写出Sn1，化简anSnSn1.(3)如果a1也满足当n2时，anSnSn1的
9、通项公式，那么数列an的通项公式为anSnSn1；如果a1不满足当n2时，anSnSn1的通项公式，那么数列an的通项公式要分段表示为an。例7.已知下面各数列an的前n项和Sn的公式，求an的通项公式（1）Sn2n23n； (2)Sn3n2.【答案】（1）an4n5.（2）an【解析】(1)当n1时，a1S1212311；当n2时，Sn12(n1)23(n1)2n27n5，则anSnSn1(2n23n)(2n27n5)2n23n2n27n54n5.此时若n1，an4n54151a1，故an4n5.(2)当n1时，a1S13121；当n2时，Sn13n12，则anSnSn1(3n2)(3n12
10、)3n3n133n13n123n1.此时若n1，an23n123112a1，故an练习1.设数列an的前n项和为Sn，点(n，)(nN*)均在函数y3x2的图象上求数列an的通项公式【答案】an6n5(nN*)【解析】依题意得，3n2，即Sn3n22n.当n2时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5，因a1S11，满足an6n5，所以an6n5(nN*)只要研究此类问题就要坚持分类讨论的数学思想，一定要抓住注意要点。例8.已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn1(n2)(1)求证：数列是等差数列；(2)求Sn和an.【答案】（1）见解析（2）an【解析】(
11、1)证明：当n2时，anSnSn12SnSn1.S1a10，由递推关系知Sn0(nN*)由式得2(n2)，是等差数列，其中首项为2，公差为2.(2) 由(1)知22(n1)2n，Sn.当n2时，anSnSn1，当n1时，a1不适合上式，an练习1.已知数列an的前n项和Sn2n2n2.(1)求an的通项公式；(2)判断an是否为等差数列？【答案】（1）an（2）an不是等差数列【解析】(1)Sn2n2n2，当n2时，Sn12(n1)2(n1)22n25n1，anSnSn1(2n2n2)(2n25n1)4n3.又a1S11，不满足an4n3，数列an的通项公式是an(2)由(1)知，当n2时，a
12、n1an4(n1)3(4n3)4，但a2a15164，an不满足等差数列的定义，an不是等差数列（1） 已知Sn求an，其方法是anSnSn1(n2)，这里常常因为忽略条件“n2”而出错（2） 在书写an的通项公式时，务必验证n1是否满足an(n2)的情形如果不满足，则通项公式只能用an表示。等差数列的前n项和与函数的关系求等差数列的前n项和Sn的最值通常有两种思路(1)将Snna1dn2(a1)n配方转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足的项数n使Sn取最大值当a10时，满足的项数n使Sn取最小值例9.已知an是一个等差数列，且a21，a55.(1)求an的通项an；(2)求an前n项和Sn的最大值【答案】（1）ana1(n1)d2n5.（2）n2时，Sn最大，且最大值为4.【解析】(1)设an的公差为d，由已知条件，得解得a13，d2.所以ana1(n1)d2n5.(2)S
