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1、第8讲 对数与对数函数1.熟练掌握对数的运算公式和运算律2.熟练做出对数函数的大体图像3.能利用对数函数的图像解决对数相关的综合题1.对数运算是基本功和一切对数部分的基础2.对数函数的图像及其简单性质是重点3.利用对数函数的图像解决大小判断、性质综合题目是难点对数的运算1. 对数的概念如果（且），那么我们把叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数2. 对数的性质对数（且）具有下列性质：（1）零和负数没有对数，即；（2）的对数为零，即；（3）底的对数等于，即3.对数的运算对数有哪些运算性质： 如果且，那么： （1）；（积的对数等于对数的和） 推广（2）；（商的对数等于对数的差）（3）
2、（）；（幂的对数等于底数的对数乘以幂指数）4.换底公式换底公式：（，）例1.【例题1】.将下列指数式化为对数式，（1）；（2）；【答案】（1）；（2） ；【解析】根据定义变形即可。练习1.将下面指数式化为对数式；【答案】；【解析】根据定义变形即可。形式转化是理解对数运算的基础。可以适当的多找些题目反复练习。例2.将下列对数式化为指数式：（1）；（2）；（3） 【答案】（1）；（2）；（3）【解析】根据定义变形即可。练习1.指数式（，且）所对应的对数式是（ ）A. B. C. D. 【答案】.【解析】根据定义变形即可。练习2.下列指数式和对数式互化不正确的是（ ）A.与 B.与C.与 D.与【答
3、案】.【解析】正确答案是与 例3.计算下列各式的值：（1） =_；（2）=_；（2） （3）=_【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】根据对数的性质2、3去变形求值。练习1.计算下列各式的值：（1）=_； （2）_； （3）_； 【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】根据对数的性质2、3去变形求值。练习2. 计算下列各式的值：（1） _； （2），则_【答案】（1）;(2) .【解析】根据对数的性质2、3去变形求值。本题目中的10做底数时，后面需要化简成对应的简写形式。注意“e”的近似值2.718281828.例4.化简下列各式：（1）=_； （2）=_； （3）=_； 【答案】（1）；（
4、2）；（3）；【解析】（1）；（2）；（3）；练习1.用换底公式证明下面结论：； ； 【答案】见解析.【解析】证明：用换底公式；练习2.计算下列各式：=_；=_.【答案】；【解析】；练习3. 化简下列各式：（1） =_; （2）=_; （3） =_; （4）=_. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）略；（2）；（3）；（4）.公式和运算律要反复加强记忆。计算速度达不到上面题目10分钟搞定的，一定要加强练习。对数函数及其性质1.对数函数的定义我们把函数（且）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域，值域为实数集2.对数函数的性质图象定义域值域性质（1）函数图象过定点，即当时，
5、（2）在上是减函数（2）在上是增函数（3）当时，；当时，（3）当时，；当时，（4）与关于轴对称。（5）越接近于，图象越靠近轴（5）越大，图象越靠近轴例5.若函数是对数函数，则_【答案】.【解析】是对数函数，解方程得：.练习1.在M=log（x3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为（）A（，3B（3，4）（4，+）C（4，+）D（3，4）【答案】B【解析】解：由函数的解析式可得 ，解得3x4，或x4练习2.下列函数表示式中，是对数函数的有（）y=logax（aR）；y=log8x；y=lnx；y=logx（x+2）；y=2log4xA1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】解：由于形如
6、y=logax（a0，且a1）的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有、，其他的均不符合对数函数的定义也是重视形式和参数的取值范围。例6.函数y=log2x与y=x2的图象的交点个数为（）A0B1C2D3【答案】C【解析】解：在坐标系中分别作出函数y=log2x与y=x2的图象，由图象可知两个函数的交点为2个练习1.如图所示曲线是对数函数y=logax的图象，已知a的取值为，则相应图象C1，C2，C3，C4中的a的值依次为（）A BCD【答案】C.【解析】解：在第一象限不同底数的图象逆时针按其底数从大到小排列则图象C1，C2，C3，C4中的a的值由大到小应为C2，C1，C3，C4又a的取值
7、为故C1，C2，C3，C4中的a的值分别为对数函数的图像，在第一象限，从下至上底数越来越大。对数函数的性质综合例7.如果log5alog5b0，那么a，b之间的大小关系是（）A0ab1B1abC0ba1D1ba【答案】D【解析】解：由于函数y=log5x 在定义域（0，+）上是增函数，且log5alog5b0，ab1.练习1.比较下列各题中两个值的大小：_； _； _； _；_； _； _； _.【答案】；.【解析】根据图像特点数形结合解决问题.练习2.已知a=1.70.3，b=0.93.1，c=log20.9，下列关系正确是（）AcabBacbCcbDabc【答案】D【解析】解：a=1.70
8、.3，b=0.93.1，c=log20.9，a1，0b1，c0abc比较大小需要结合对数函数的图像。换成同底数或是同真数。也可以选中间值。一般是0或1进行大小比较。例8.已知函数f（x）=|logx|的定义域为a，b，值域为0，2，则|ba|的最小值为（）AB3C4D【答案】D.【解析】解：函数f（x）=|logx|的定义域为a，b，值域为0，2，故1a，b，a=，或b=4，当a=，b=1时，|ba|=满足条件，此时|ba|取最小值练习1.已知f（x）为R上的偶函数，当x0时f（x）=ln（x+2）（1）当x0时，求f（x）的解析式（2）当mR时，试比较f（m1）与f（3m）的大小、【答案】解
9、：（1）设x0，则x0，当x0时f（x）=ln（x+2），f（x）=ln（2x），f（x）为R上的偶函数，f（x）=f（x）=ln（x+2）（2）当m=2时，f（m1）=f（3m），当m2时，m1+2m3+2=m11，而当x0时，f（x）=ln（x+2）单调递增，f（m1）f（3m），同理可得：当m2时，f（m1）f（3m）【解析】（1）利用偶函数的定义即可得出；（2）对m分类讨论：当m=2时，f（m1）=f（3m）；当m2时，m1+2m3+2=m11，利用f（x）=ln（x+2）单调性质即可得出f（m1）f（3m），同理可得：当m2时，f（m1）f（3m）函数的奇偶性、单调性在对数函数的综合题目中依然适用。综合题目考察学生对知识的运用的熟练程度。1.对数的运算律和公式：（1）零和负数没有对数，即；（2）的对数为零，即；（3）底的对数等于，即（4）如果且，那么：； 推广（5）；（6）（）；（7）换底公式：（，）2.对数函数的图像：图象
