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1、第1讲 集合的含义与表示 1. 理解并熟练运用集合和元素的概念及集合的分类；2. 掌握集合中元素的三个基本特征：确定性、互异性、无序性；3. 熟练掌握集合的表示法；1. 集合和元素的概念的理解是解决一些阅读形压轴题的关键；2. 集合中元素的三个基本特征：互异性、特定性、无序性是常考考点；3. 集合的表示法是难点； 集合与元素的概念1. 一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。2. 集合中每一个对象称为该集合的元素。（教师）如所有的三角形可以组成集合，每个三角形都是这个集合的元素；所有的直角三角形也可以组成集合，每个直角三角形都是集合的元素；由1，2，3，4组成的集合
2、1，2，3，4。1，2，3，4就是这个集合的元素 。类似“与2非常接近的全体实数”，“高个子”这样模糊的说法就不能确定集合。特别提醒：1、集合是一个“整体”。一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象。2、集合具有两个方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件。3、集合通常用大写的字母表示，如；元素通常用小写的字母表示，如。例1.判断下列各组对象能否组成一个集合：(1)9以内的正偶数；(2)篮球打得好的人；(3)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员；(4)高一(1)班所有高个子同学【答案】（1）能（2）不能（3）能（4）不能【解析】(
3、2)中的“篮球打得好”，(4)中的“高个子”标准不明确，即对象不确定，所以不能构成集合对于(1)、(3)，其中的对象都是确定的，所以能构成集合练习1.有下列4组对象：某校2015级新生；(2)小于0的自然数；(3)所有数学难题；(4)接近1的数其中能构成集合的是_【答案】(1)(2)集合的概念的理解，进而引出集合的性质.例2.下列各组对象中，不能组成集合的是()A所有的正数B所有的老人C不等于零的数 D我国古代四大发明【答案】B【解析】从集合的概念，老也是个不确定的概念，其它选项都符合集合的定义练习1.能够组成集合的是（ ）A与2非常接近的全体实数；B很著名的科学家的全体；C某教室内的全体桌子
4、； D与无理数相差很小的数【答案】C【解析】某教室特指“确定”的某个个体.全体是指“集”到一起。所以C选项符合题意.集合的概念的理解，进而引出集合的性质.作为老师定义一定要理解透彻，并能一字不差的说出来.集合中元素的特征1、确定性：设是一个给定的集合，是某一具体的对象，则或者是的元素，或者不是的元素，二者必居其一，不能模棱两可2、互异性： 对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。集合中相同的元素只能算是一个。如方程有两个重根，其解集只能记为，而不能记为。3、无序性：集合中的元素是不分顺序的如和表示同一个集合特别提醒：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0
5、，l）表示不同的两个点，而集合1，0和0，1表示同一个集合。例3.集合A是含有两个不同实数a3,2a1的集合，求实数a的取值范围【答案】aR，a2.【解析】根据题意可知A中有两个元素，由集合中元素的互异性，可得a32a1，所以a2.即实数a的取值范围为aR，a2.练习1.若一个集合中的三个元素a，b，c是ABC的三边长，则ABC一定不是()A锐角三角形B等腰三角形C钝角三角形 D直角三角形【答案】B【解析】根据集合的互异性去思考，一定不能有两个相同的元素集合的互异性是集合的一个重要性质。一般会和具体的某些图形做结合.例4.已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2A，则实数x_.【答案】-1【解
6、析】根据集合的互异性，求解，并排除增根.练习1.已知集合A中含有三个元素m1,3m，m21，若1A，求实数m的值【答案】【解析】根据题意：且.练习2.已知集合M含有三个元素1,2，x2，则x的值为_【答案】x1，且x【解析】根据集合的互异性去思考，一定不能有两个相同的元素集合的互异性是集合的一个重要性质。注意排除增根.元素与集合的关系1.一般地，如果是集合的元素，就说属于，记作；如果不是集合的元素，就说不属于，记作。2.集合的分类：按照集合中元素的个数是有限还是无限，集合可分为：有限集和无限集。（1）有限集：含有有限个元素的集合； （2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：特别地，不含任何
7、元素的集合叫做空集，记作空集是个特殊的集合，空集归入有限集。如：。 按照集合中元素的形式，性质及属性，集合可分为：（1）单元素集：只含一个元素的集合；如，。（2）数集：有一些数字组成的集合；（3）点集：由符合某一条件的点，组成的集合； （4）解集：由方程或方程组，不等式或不等式组的解组成的解的集合，简称解集。如：方程的解集是：。例5.已知集合Ax|x(x2)0，那么()A0AB2AC2A D0A【答案】A【解析】元素与集合的关系练习1.若集合A含有两个元素0,1，则()A1A B0AC0A D2A 【答案】B【解析】考定义，注意符号表示和实际意义“属于”号与“不属于”号，使用时不可反过来写，“
8、A6”与“A 8”的写法是错误的；2、根据集合中元素的确定性，或，这两种情况必有一种成立；3、集合和元素是两个不同的概念，它们之间是个体与整体的关系，并且这种关系是相对的。如：集合相对于集合而言，是的一个元素；元素与集合之间不存在大小与相等的关系，如与，只能是，不能写成。4、符号和是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系，如：的写法是错误的，而的写法是正确的。例6.已知集合A由a2，(a1)2，a23a3三个元素构成，且1A，求实数a的值【答案】0【解析】若a21，则a1，此时A中有1,0,1，不符合要求；若(a1)21，则a0或2.当a0时，A中有2,1,3，符合要求；当a2时
9、，A中有0,1,1，不符合要求；若a23a31，则a1或2.当a1时，A中有1,0,1，不符合要求；当a2时，A中有0,1,1，不符合要求综上所述，实数a的值为0.练习1.已知集合Ax|ax23x20，aR，若A中只有一个元素，则a的值是()A0 B C0或 D【答案】C【解析】分类讨论，一个是a=0,一个是不等于0.集合中元素的三个性质：互异性、无序性的考察难度比确定性更大.注意增根问题.集合的表示法1.常用数集的关系及记法2.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为-1，1特别提醒：1、元素间用分隔号“，”；2、元素不重复；3、不考
10、虑元素顺序；4、适用于表示元素较少的集合；对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号。如：从51到100的所有整数组成的集合：51，52，53，100；所有正奇数组成的集合：1，3，5，7，3.描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。格式：；含义：它表示集合由具有性质的所有元素构成的。其中为该集合中元素的代表形式，它表明了该集合中的元素是“谁”，是“什么样”；表明了的范围；为该集合中元素所具有的特征。如：不等式的解集可以表示为：或。特别提醒：1、写清楚该集合中元素的代号；2、说
11、明该集合中元素的特征；3、不能出现未被说明的字母；4、多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”；5、所有描述的内容都要写在大括号内；6、用于描述的语言要力求简明、确切。7、错误表示法： 实数集或 全体实数；正确的表示方法为：4.韦恩图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。如：集合可用韦恩图表示为：例7.用，填空 _； _； _； 【答案】；【解析】熟练掌握常用数集的表示【解析】常用数集练习1.用，填空(1) _；(2)_； (3)_；(4)_【答案】； 【解析】常用数集反复强化练习常用数集的特殊的符号要掌握清楚，老师可以反复提问。例8.用列举法表示下列集合（1）； （2） 【答
12、案】（1） （2） 【解析】解析：（1） ， （2） 或或 练习1.用列举法表示下列集合方程的所有实数根组成的集合为：_【答案】【解析】注意格式和计算.练习2.用列举法表示集合=_.【答案】1,2,3,4列举法和描述法是集合最常见的两种表示方法.【知识讲解】集合的概念：通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的 “ 属于 ” 关系 针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合 在具体情境中，了解全集与空集的含义【核心素养】数学抽象：能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则 能够解释数学概念和规则的含义，了解数学命题的条件与结论 能够了解用数学语言表达的推理和论证直观想象
13、：能够通过图形直观认识数学问题 能够用图形描述和表达数学运算：能够了解运算法则及其适用范围，正确进行运算1、下列各组对象中，不能形成集合的是（）A连江五中全体学生B连江五中的必修课C连江五中2012级高一学生D连江五中全体高个子学生【答案】D2、下列全体能构成集合的有（）我校高一年级数学成绩好的学生比2小一点的所有实数大于1但不大于2的实数方程x2+2=5的实数解ABCD都不能【答案】C3、对于集合A2，4，6，若aA，则6aA，那么a的值是_【答案】2或4 4、M=xR|（1+k2）xk4+4，对任意的kR，总有（）A2M，0MB2M，0MC2M，0MD2M，0M【解析】分别将x=0，2带入不等式看不等式是否成立即可【答案】B5、下列关系正确的是（）A0B0=C0=0D【解析】解：中不含有任何元素，0显然不对，而对于B，0是元素，是集合，两者不相等，对于C应是00，对于D，本题中右边集合只有一个元素是，故是正确的【答案】D6、 用，填空 _； _； _； _； _； _； _【答案】； 7、已知集合P0，1，2，3，4
