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1、第1讲 集合的含义与表示 1. 理解并熟练运用集合和元素的概念及集合的分类;2. 掌握集合中元素的三个基本特征:确定性、互异性、无序性;3. 熟练掌握集合的表示法;1. 集合和元素的概念的理解是解决一些阅读形压轴题的关键;2. 集合中元素的三个基本特征:互异性、特定性、无序性是常考考点;3. 集合的表示法是难点; 集合与元素的概念1. 一般地,一定范围内某些确定的,不同的对象的全体构成一个集合,简称集。2. 集合中每一个对象称为该集合的元素。(教师)如所有的三角形可以组成集合,每个三角形都是这个集合的元素;所有的直角三角形也可以组成集合,每个直角三角形都是集合的元素;由1,2,3,4组成的集合
2、1,2,3,4。1,2,3,4就是这个集合的元素 。类似“与2非常接近的全体实数”,“高个子”这样模糊的说法就不能确定集合。特别提醒:1、集合是一个“整体”。一些对象一旦组成了集合,那么这个集合就是这些对象的全体,而非个别对象。2、集合具有两个方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符合条件。3、集合通常用大写的字母表示,如;元素通常用小写的字母表示,如。例1.判断下列各组对象能否组成一个集合:(1)9以内的正偶数;(2)篮球打得好的人;(3)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员;(4)高一(1)班所有高个子同学【答案】(1)能(2)不能(3)能(4)不能【解析】(
3、2)中的“篮球打得好”,(4)中的“高个子”标准不明确,即对象不确定,所以不能构成集合对于(1)、(3),其中的对象都是确定的,所以能构成集合练习1.有下列4组对象:某校2015级新生;(2)小于0的自然数;(3)所有数学难题;(4)接近1的数其中能构成集合的是_【答案】(1)(2)集合的概念的理解,进而引出集合的性质.例2.下列各组对象中,不能组成集合的是()A所有的正数B所有的老人C不等于零的数 D我国古代四大发明【答案】B【解析】从集合的概念,老也是个不确定的概念,其它选项都符合集合的定义练习1.能够组成集合的是( )A与2非常接近的全体实数;B很著名的科学家的全体;C某教室内的全体桌子
4、; D与无理数相差很小的数【答案】C【解析】某教室特指“确定”的某个个体.全体是指“集”到一起。所以C选项符合题意.集合的概念的理解,进而引出集合的性质.作为老师定义一定要理解透彻,并能一字不差的说出来.集合中元素的特征1、确定性:设是一个给定的集合,是某一具体的对象,则或者是的元素,或者不是的元素,二者必居其一,不能模棱两可2、互异性: 对于一个给定的集合,它的任意两个元素是不能相同的。集合中相同的元素只能算是一个。如方程有两个重根,其解集只能记为,而不能记为。3、无序性:集合中的元素是不分顺序的如和表示同一个集合特别提醒:集合和点的坐标是不同的概念,在平面直角坐标系中,点(l,0)和点(0
5、,l)表示不同的两个点,而集合1,0和0,1表示同一个集合。例3.集合A是含有两个不同实数a3,2a1的集合,求实数a的取值范围【答案】aR,a2.【解析】根据题意可知A中有两个元素,由集合中元素的互异性,可得a32a1,所以a2.即实数a的取值范围为aR,a2.练习1.若一个集合中的三个元素a,b,c是ABC的三边长,则ABC一定不是()A锐角三角形B等腰三角形C钝角三角形 D直角三角形【答案】B【解析】根据集合的互异性去思考,一定不能有两个相同的元素集合的互异性是集合的一个重要性质。一般会和具体的某些图形做结合.例4.已知集合A含有三个元素1,0,x,若x2A,则实数x_.【答案】-1【解
6、析】根据集合的互异性,求解,并排除增根.练习1.已知集合A中含有三个元素m1,3m,m21,若1A,求实数m的值【答案】【解析】根据题意:且.练习2.已知集合M含有三个元素1,2,x2,则x的值为_【答案】x1,且x【解析】根据集合的互异性去思考,一定不能有两个相同的元素集合的互异性是集合的一个重要性质。注意排除增根.元素与集合的关系1.一般地,如果是集合的元素,就说属于,记作;如果不是集合的元素,就说不属于,记作。2.集合的分类:按照集合中元素的个数是有限还是无限,集合可分为:有限集和无限集。(1)有限集:含有有限个元素的集合; (2)无限集:含有无限个元素的集合(3)空集:特别地,不含任何
7、元素的集合叫做空集,记作空集是个特殊的集合,空集归入有限集。如:。 按照集合中元素的形式,性质及属性,集合可分为:(1)单元素集:只含一个元素的集合;如,。(2)数集:有一些数字组成的集合;(3)点集:由符合某一条件的点,组成的集合; (4)解集:由方程或方程组,不等式或不等式组的解组成的解的集合,简称解集。如:方程的解集是:。例5.已知集合Ax|x(x2)0,那么()A0AB2AC2A D0A【答案】A【解析】元素与集合的关系练习1.若集合A含有两个元素0,1,则()A1A B0AC0A D2A 【答案】B【解析】考定义,注意符号表示和实际意义“属于”号与“不属于”号,使用时不可反过来写,“
8、A6”与“A 8”的写法是错误的;2、根据集合中元素的确定性,或,这两种情况必有一种成立;3、集合和元素是两个不同的概念,它们之间是个体与整体的关系,并且这种关系是相对的。如:集合相对于集合而言,是的一个元素;元素与集合之间不存在大小与相等的关系,如与,只能是,不能写成。4、符号和是表示元素和集合之间关系的,不能用来表示集合之间的关系,如:的写法是错误的,而的写法是正确的。例6.已知集合A由a2,(a1)2,a23a3三个元素构成,且1A,求实数a的值【答案】0【解析】若a21,则a1,此时A中有1,0,1,不符合要求;若(a1)21,则a0或2.当a0时,A中有2,1,3,符合要求;当a2时
9、,A中有0,1,1,不符合要求;若a23a31,则a1或2.当a1时,A中有1,0,1,不符合要求;当a2时,A中有0,1,1,不符合要求综上所述,实数a的值为0.练习1.已知集合Ax|ax23x20,aR,若A中只有一个元素,则a的值是()A0 B C0或 D【答案】C【解析】分类讨论,一个是a=0,一个是不等于0.集合中元素的三个性质:互异性、无序性的考察难度比确定性更大.注意增根问题.集合的表示法1.常用数集的关系及记法2.列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合。如,由方程的所有解组成的集合,可以表示为-1,1特别提醒:1、元素间用分隔号“,”;2、元素不重复;3、不考
10、虑元素顺序;4、适用于表示元素较少的集合;对于含有较多元素的集合,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号。如:从51到100的所有整数组成的集合:51,52,53,100;所有正奇数组成的集合:1,3,5,7,3.描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。格式:;含义:它表示集合由具有性质的所有元素构成的。其中为该集合中元素的代表形式,它表明了该集合中的元素是“谁”,是“什么样”;表明了的范围;为该集合中元素所具有的特征。如:不等式的解集可以表示为:或。特别提醒:1、写清楚该集合中元素的代号;2、说
11、明该集合中元素的特征;3、不能出现未被说明的字母;4、多层描述时,应当准确使用“或”、“且”、“非”;5、所有描述的内容都要写在大括号内;6、用于描述的语言要力求简明、确切。7、错误表示法: 实数集或 全体实数;正确的表示方法为:4.韦恩图法:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。如:集合可用韦恩图表示为:例7.用,填空 _; _; _; 【答案】;【解析】熟练掌握常用数集的表示【解析】常用数集练习1.用,填空(1) _;(2)_; (3)_;(4)_【答案】; 【解析】常用数集反复强化练习常用数集的特殊的符号要掌握清楚,老师可以反复提问。例8.用列举法表示下列集合(1); (2) 【答
12、案】(1) (2) 【解析】解析:(1) , (2) 或或 练习1.用列举法表示下列集合方程的所有实数根组成的集合为:_【答案】【解析】注意格式和计算.练习2.用列举法表示集合=_.【答案】1,2,3,4列举法和描述法是集合最常见的两种表示方法.【知识讲解】集合的概念:通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的 “ 属于 ” 关系 针对具体问题,能够在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合 在具体情境中,了解全集与空集的含义【核心素养】数学抽象:能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则 能够解释数学概念和规则的含义,了解数学命题的条件与结论 能够了解用数学语言表达的推理和论证直观想象
13、:能够通过图形直观认识数学问题 能够用图形描述和表达数学运算:能够了解运算法则及其适用范围,正确进行运算1、下列各组对象中,不能形成集合的是()A连江五中全体学生B连江五中的必修课C连江五中2012级高一学生D连江五中全体高个子学生【答案】D2、下列全体能构成集合的有()我校高一年级数学成绩好的学生比2小一点的所有实数大于1但不大于2的实数方程x2+2=5的实数解ABCD都不能【答案】C3、对于集合A2,4,6,若aA,则6aA,那么a的值是_【答案】2或4 4、M=xR|(1+k2)xk4+4,对任意的kR,总有()A2M,0MB2M,0MC2M,0MD2M,0M【解析】分别将x=0,2带入不等式看不等式是否成立即可【答案】B5、下列关系正确的是()A0B0=C0=0D【解析】解:中不含有任何元素,0显然不对,而对于B,0是元素,是集合,两者不相等,对于C应是00,对于D,本题中右边集合只有一个元素是,故是正确的【答案】D6、 用,填空 _; _; _; _; _; _; _【答案】; 7、已知集合P0,1,2,3,4