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1、 第11讲 高一（上）期中总复习类型一 集合及其运算考点说明：集合的运算和子集关系式重点例1.（2017惠州模拟）若集合B=x|x0，且AB=A，则集合A可能是（）A1，2Bx|x1C1，0，1DR【答案】A.【解析】解：集合B=x|x0，且AB=A，故AB，故A答案中1，2满足要求例2.设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1x）的定义域为B，则AB=（）A（1，2）B（1，2C（2，1）D2，1）【答案】D【解析】解：由4x20，解得：2x2，则函数y=的定义域2，2，由对数函数的定义域可知：1x0，解得：x1，则函数y=ln（1x）的定义域（，1），则AB=2，1）例3.集合A=x|2x
2、5，集合B=x|m+1x2m1（1）若BA，求实数m的取值范围；（2）当xR时，没有元素x使xA与xB同时成立，求实数m的取值范围【答案】解：（1）若BA，B=时，m+12m1，m2，满足BA；B时，则，解得2m3；综上所述，当m3时有BA；即实数m的取值范围为（，3；（2）由题意知，AB=；B=时，m+12m1，m2；B时，则，解得：m4；实数m的取值范围为（，2）（4，+）【解析】（1）根据BA讨论B=和B两种情况，B=时容易求得m2，B时，m需满足，解该不等式组求出m的范围，然后并上m2即得实数m的取值范围；（2）由题意知：AB=，B=时，由（1）求得m2B时，m需满足，解该不等式组，所
3、得解并上m2即可例4.已知二次函数f（x）=x24x+b的最小值是0，不等式f（x）4的解集为A（1）求集合A；（2）设集合B=x|x2|a，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围【答案】解：（1）二次函数f（x）=x24x+b的最小值是0，=0，解得b=4，不等式f（x）4的解集为A，解不等式x24x+44，得A=x|0x4（2）当a0时，集合B=A符合题意，当a0时，集合B=x|2ax2+a，集合B是集合A的子集，解得0a2，综上：a的取值范围是（，2【解析】（1）由二次函数f（x）=x24x+b的最小值是0，得b=4，由此利用不等式f（x）4的解集为A，能求出集合A（2）当a0时，集合B
4、=A符合题意，当a0时，集合B=x|2ax2+a，由此利用集合B是集合A的子集，列出不等式组，能求出结果类型二 函数及其性质考点说明：函数的解析式、单调性、奇偶性、对称性、周期性等，难度较大。是函数部分的基础。对后面章节的影响多。例5.（2017春陆川县校级期末）奇函数y=f（x）（x0），当x（0，+）时，f（x）=x1，则函数f（x1）的图象为（）ABCD【答案】D【解析】解：奇函数y=f（x）（x0），当x（0，+）时，f（x）=x1设x0，则x0，f（x）=x1，f（x）=x1，f（x）=x+1综上可得，f（x）=，故 f（x1）=例6.求函数的最大值，以及此时x的值【答案】解：，x0
5、，当且仅当，即即x=时，等号成立，此时【解析】利用基本不等式即可得出f（x）的最大值及其对应的x的值例7.已知函数（1）判断并证明函数的单调性；（2）求此函数的最大值和最小值【答案】解：由题可知y=+1（1）函数y=在3，6上单调递减证明如下：任取x1、x23，6，不妨设x1x2，则=，由于x1x20，且x120，x220，所以0，即函数y=在3，6上单调递减，所以函数y=在3，6上单调递减（2）由（1）可知，当x=3时y取最大值=6，当x=6时y取最小值=【解析】变形可知y=+1（1）利用定义法判断即可；（2）结合（1）可知当x=3时y取最大值，当x=6时y取最小值，进而计算可得结论例8.下
6、列四组函数中，表示相等函数的一组是（）Af（x）=|x|，B，C，g（x）=x+1D，【答案】A【解析】解：A函数g（x）=|x|，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数B函数f（x）=|x|，g（x）=x，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数C函数f（x）=x+1的定义域为x|x1，两个函数的定义域不相同，不是相等函数D由，解得x1，即函数f（x）的定义域为x|x1，由x210，解得x1或x1，即g（x）的定义域为x|x1或x1，两个函数的定义域不相同，不是相等函数类型三 基本初等函数考点说明：指数函数、对数函数、幂函数图像和性质的研究遵循相似的规律。例9.（1）计算（）1+3
7、0 （2）计算lg100+lg【答案】解：（1）原式=9+8+1=18，（2）原式=21=1【解析】根据对数的运算性质和指数幂的运算性质计算即可例10.已知函数y=2x（0x3）的值域为A，函数y=lg（x+a）（xa2）（其中a0）的定义域为B（1）当a=4时，求AB；（2）若AB，求正实数a的取值范围【答案】解：（1）函数y=2x（0x3）的值域为A，可得A=（1，8），函数y=lg（x+a）（xa2）（其中a0）的定义域为B，当a=4时，可得B=x|（x+4）（x42）0=x|4x6=（4，6），即有AB=（1，6）；（2）AB，且B=x|（x+a）（xa2）0=x|axa+2，可得a1
8、，且8a+2，且a0，即有a6，则正实数a的取值范围为6，+）【解析】（1）运用指数函数的单调性，可得A，由对数的真数大于0，结合二次不等式的解法可得B，再由交集的定义即可得到所求；（2）由AB，可得a1，且8a+2，且a0，解不等式即可得到所求范围例11.设a=20.1，b=ln，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）AabcBacbCbacDbca【答案】A【解析】解：a=20.120=10=ln1b=lnlne=1c=log31=0abc例12.已知f（x）=9x23x+4，x1，2（1）设t=3x，x1，2，求t的最大值与最小值；（2）求f（x）的最大值与最小值【答案】解：（1）设
9、t=3x，x1，2，函数t=3x 在1，2上是增函数，故有 t9，故t的最大值为9，t的最小值为（2）由f（x）=9x23x+4=t22t+4=（t1）2+3，可得此二次函数的对称轴为 t=1，且 t9，故当t=1时，函数f（x）有最小值为3，当t=9时，函数f（x）有最大值为 67【解析】（1）设t=3x，由 x1，2，且函数t=3x 在1，2上是增函数，故有 t9，由此求得t的最大值和最小值（2）由f（x）=t22t+4=（t1）2+3，可得此二次函数的对称轴为 t=1，且 t9，由此求得f（x）的最大值与最小值类型四 函数综合考点说明：函数的零点、二分法、函数实际应用等综合题。例13.实
10、数a，b，c是图象连续不断的函数y=f（x）定义域中的三个数，且满足abc，f（a）f（b）0，f（c）f（b）0，则y=f（x）在区间（a，c）上的零点个数为（）A2B奇数C偶数D至少是2【答案】D.【解析】解：由根的存在性定理，f（a）f（b）0，f（c）f（b）0，则y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点，在（b，c）上至少有一个零点，而f（b）0，所以y=f（x）在区间（a，c）上的零点个数为至少2个例14.已知函数f（x）=|x+|+|xm|，（m0）（1）若函数f（x）的最小值为5，求实数m的值；（2）求使得不等式f（1）5成立的实数m的取值范围【答案】解：（1）由m0，有f
11、（x）=|x+|+|xm|x+（xm）|=|+m|=+m，当且仅当（x+）（xm）0时，取等号，所以f（x）的最小值为+m，由题意可得+m=5，解得m=1或4；（2）f（1）=|1+|+|1m|（m0），当1m0，即m1时，f（1）=1+（m1）=+m；由f（1）5，得+m5，化简得m25m+40，解得m1或m4，所以m4；当1m0，即0m1时，f（1）=1+（1m）=2+m，由f（1）5，得2+m5，即m2+3m40，解得4m1，即为0m1综上，当f（1）5时，实数m的取值范围是（0，1）（4，+）【解析】（1）运用绝对值不等式的性质：|a|+|b|ab|，当且仅当ab0取得等号，可得f（x
12、）的最小值；（2） 求得f（1），讨论当1m0，当1m0，去掉绝对值，解m的不等式，即可得到所求m的范围例15.已知关于x的函数y=（m+6）x2+2（m1）x+m+1恒有零点（1）求m的范围；（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为4，求m的值【答案】解：（1）当m+6=0时，m=6，函数为y=14x5显然有零点当m+60时，m6，由=4（m1）24（m+6）（m+1）=36m200，得m当m且m6时，二次函数有零点综上可得，m，即m的范围为（，（2）设x1，x2是函数的两个零点，则有 x1+x2=，x1x2=+=4，即=4，=4，解得m=3且当m=3时，m+60，0，符合题意，m的值为3
13、【解析】（1）当m+6=0时，即m=6时，满足条件当m+60时，由0求得m且m6综合可得m的范围（2）设x1，x2是函数的两个零点，由条件并利用一元二次方程根与系数的关系求得m的值例16.某产品生产厂家根据以往销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为g（x）（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）；销售收入R（x）（万元）满足：假设该产品产销平衡，试根据上述资料分析：（1）要使工厂有盈利，产量x应控制在什么范围内；（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？（3）当盈利最多时，求每台产品的售价【答案】解：（1）由题意，g（x）=x+2，设利润函数为f（x），则f（x）=R（x）g（x）=，由f（x）0得，1x5或5x8.2，故1x8.2，故要使工厂有盈利，产量x应控制在100台到820台内（2）当0x5时，f（x）=
