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1、演练方阵第7讲 等比数列前n项和等比数列前n项和公式类型一:等比数列前n项和的基础运用考点说明:概念和公式是常见考点【易】1.等比数列中,公比q为整数,则此等比数列的前8项和为( )A.514 B.513 C.512 D.510【答案】D【解析】由等比数列,可得,将两式相除得,化简得,即,因式分解得,考虑到q时整数和,所以q=2,将q=2代入得,所以由等比数列前n项和公式得故本题正确答案为D.【易】2.等比数列的各项均为正数,且,如果前3项和为21,则等于 ( )A.168 B.567 C.-567 D.57【答案】A【解析】设数列的公比为q,则由题意得,解得q=-3或2,因为数列各项均为正数
2、,所以q=2,则,故本题的正确答案为A.【易】3.数列满足,其前n项和为,则=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,所以数列是以q=2为公比的等比数列,所以,故本题正确答案为B.【易】4.已知为公比q1的等比数列,求数列的通项公式及前n项和.【答案】;【解析】设等比数列的公比为q,则,所以,即,解得,又因为q1所以,因为所以,所以,故,【易】5.如果等比数列的首项、公比之和为1,且首相是公比的2倍,那么它的前n项和为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得,解得,所以故本题的正确答案为D.【中】6.设等比数列的前n项和为,且满足,则公比q等于( )A. B. C.
3、-1 D.1【答案】D【解析】当q=1时,所以,满足题意;当时,代入已知条件得,移项整理得,故此时无解,综上q=1,故本题正确答案为D.【中】7.已知等比数列满足,前n项和为,且,则公比为( )A.2 B.-3 C.2或-3 D.2或3【答案】A【解析】由已知等比数列,有,故,化简得,解得q=2或q=-3,由于,所以q0,所以q=2,故本题正确答案为A.【中】8.等比数列的前4项和为1,前8项和为17,则它的公比为( )A.2或-2 B.-2 C.2 D.2或-1【答案】A【解析】由题意,由等比数列的性质,解得q=2或-2,故本题正确答案为A.【中】9.设为正项等比数列的前n项和,q1,且,则
4、等于( )A.63 B.48 C.42 D.36【答案】A【解析】由已知中q1,且,联立的方程组化简得解得q=2或(舍),代入有,故本题正确答案为A.【中】10.设为等比数列的前n项和,已知,则公比q等于( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】因为,两式相减可得,所以,故本题的正确答案为B.【中】11.设为等比数列的前n项和,若,则等于( )A.-27 B.10 C.27 D.80【答案】B【解析】设公比为q,首项为,则,可得q=3,因,故本题的正确答案为B.【中】12.等比数列中,若,前3项和,则数列的公比为( )A.1 B. C.1或 D.1或【答案】D【解析】根据等比数列性
5、质,我们设公比为q,首项为,所以可得,则,解得或q=1,故本题的正确答案为D.【中】13.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于( )A.31 B.33 C.35 D.37【答案】B【解析】因为,所以,即由+得,即,故本题的正确答案为B.【中】14.已知等比数列公比为2,前4项和是1,则前8项和是( )A.15 B.17 C.19 D.21【答案】B【解析】由题意,因为,所以,故本题正确答案为B.【中】15.设是由正数组成的等比数列,为其前n项和,已知,则=( )A.15 B.17 C.31 D.33【答案】C【解析】正数组成的等比数列,则q0,且,所以,又因为,即解得或不
6、符合题意,舍去,则,所以,所以,故本题的正确答案为C.【难】16.设实数等比数列,则数列中( )A.任意一项都不为零 B.必有一项为零 C.至多有有限项为零 D.可以有无数项为零【答案】D【解析】设等比数列的公比为q,则,当q=1时,当时,若q=-1则数列的偶数项为0,所以数列中,可以有无数项为零,故本题正确答案为D.【难】17.从2014年到2017年期间,甲计划每年6月6日都到银行存入a元的一年定期储蓄,若年利率q保持不变,且每年到期的存款本息均自动转成为新的一年定期储蓄,若到2017年6月6日,甲去银行不再存款,而是将所有存款的本息全部取回,则取回的金额是( )元A. B. C. D.【
7、答案】C【解析】因为本金为a元,利率为q,且每年到期的存款本息均自动转成为新的一年定期储蓄,2014年的存款到2017年的本息共计元,2015年的存款到2017年的存款本息共计,2016年的存款到2017年的存款本息共计,所以2017年取回的金额为+即故本题正确答案为C.【难】18.已知等比数列的公比q0,其前n项和为,则与的大小关系为( )A. B. C.= D.不能定【答案】B【解析】当公比q=1时,则;当公比,且q0时,则所以,故本题正确答案为B.【难】19.在等比数列中,它的前n项和为,若数列也是等比数列,则的值为( )A. B3n C. D.【答案】C【解析】由题意可得,又因为也是等
8、比数列,所以,即,解得q=1,所以,所以故本题正确答案为C.【难】20.已知数列既是等差数列又是等比数列,则这个数列的前n项和为( )A.0 B.n C. D.【答案】C【解析】因为数列既是等差数列有事等比数列,设公差为d,公比为q,则,即,解得,所以,则q=1,d=0,所以数列是的常数列,前n项和为,故本题正确答案为C.【难】21.等比数列前n项积为,若是一个确定的常数,那么数列,中也是常数的项是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】已知,所以为固定常数,由题意为常数,所以,解得n=17,故本题的正确答案为C.【难】22.已知数列是首项为32的等比数列,是其前n项和,且,则数列前10
9、项和为( )A.58 B.56 C.50 D.45【答案】A【解析】根据题意,所以,所以,因为首项为32,所以,所以,所以,因此数列前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58,故本题的正确答案为A.【难】23.设是公比为q的等比数列,是其前n项和,若数列是等差数列,则q等于( )A.1 B.0 C.1或0 D.-1【答案】A【解析】因为,又数列是等差数列,所以为定值,即为常数列,所以,故本题的正确答案为A.【难】24.设各项均为正数的等比数列,为的前n项和,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】当q=1时,当时,由知,所以恒成立,故本题的正确答案为B.【难】25.在
10、等比数列中,若,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比数列的求和公式可知,对比等式两边可得,q=2,解得,所以可以推出数列是首项为1,公比为4的等比数列,所以,故本题的正确答案为A.类型二 等差数列与等比数列前n项和的综合应用考点说明:等差数列与等比数列前n项和的综合应用是易错点和难点【易】1.数列是首项为1的等差数列,且公差不为零,成等比(1)求数列的通项公式(2)若等比数列满足:,且,求正整数k的值.【答案】(1)(2)4【解析】(1)设数列的公差为d,因为,成等比,所以,所以,解得d=3或d=0(舍),所以(2)数列的首项,公比,所以,解得k=4,故正整数k的值为4.【中
11、】2.已知等差数列满足,(1)求数列的通项公式(2)若,求数列的前n项和【答案】(1)(2)【解析】(1)设等差数列的首项为,公差为d,则由,得,解得,d=2,所以(2) 由得,.【中】3.已知等差数列中,前10项和(1)求通项(2)将数列的第2项,第4项,第8项,第项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列的前n项和【答案】(1)(2)【解析】(1)因为,所以,解得,d=3则(2)【难】4.已知时等比数列的前n项和,成等差数列(1)求等比数列的公比q(2)判断,,是否成等差数列?若成等差数列,且给出证明;若不成等差数列,请说明理由.【答案】(1)q=1或(2)当q=1时,,不成等差数列,当时,,成等差数列【解析】由题意有:,所以,因为,所以,即解得或,所以q=1或(2)当q=1时,因为,所以当q=1时,,不成等差数列;当时,知,所以,所以,当时,,成等差数列,综上,当q=1时,,不成等差数列,当时,,成等差数列.类型三 等比数列前n项和性质考点说明:等比性质与前n项和公式的综合应用是常考点和重点【易】1.设为正项等比数列的前n项和,,,则的值为( )A.150 B.170 C.190 D.210【答案】D【解析】由等比数列前n项和性质可得,成等比数列,即,即,解得,故本题正确答案为D.【易】2.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为,若,则=( )A.80 B.30 C