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1、第5讲 等差数列前n项和公式1.了解等差数列前n项和公式的推导过程;2.掌握等差数列前n项和公式;并会运用等差数列的前n项和公式；3.提高学生类比化归、数形结合的能力，熟悉等差数列的性质、公式与方程的联系.1.等差数列前n项和公式的推导和应用；2.等差数列前n项和与等差数列性质的综合运用；3.等差数列前n项和与函数的应用.等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）方法一：等差数列前n项和的推导：设等差数列前n项和为 ,则 两式相加得,，又，.方法二:同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理：两式相加得：,，又，.综上.例1.在等差数列an中，a
2、11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值【答案】(1)an=3-2n；(2)k=7【解析】(1)设等差数列an的公差为d，则an=a1+(n-1)d，由a1=1，a3=-3可得1+2d=-3，解得d=-2，从而，an=1+(n-1)(-2)=3-2n.(2)由()可知an=3-2n，所以，进而由Sk=-35可得2k-k2=-35，即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5，又kN*，故k=7为所求练习1.等差数列中，=100，求的值（ ）A.12 B.20 C.36 D.48【答案】B【解析】，所以，即练习2.已知等差数列中，=1，d=1，求该数
3、列前10项和.【答案】55【解析】，熟练掌握等差数列前n项和公式的灵活应用等差数列前n项和中的最值问题：方法1：将等差数列前n项和Sn化成（）的二次函数形式当d0时，Sn开口向上，Sn有最小值；当d0时，Sn开口向下，Sn有最大值（当对称轴为正整数数时，在对称轴处取最值；当对称轴为分数时，在离对称轴最近的正整数值处取最值）方法2：当a10，d0时，Sn有最小值，且在n满足an0，an+10时取最小值；当a10，d0时，Sn有最大值，且在n满足an0，an+10时取最小值（nN+）例2.已知等差数列an的前n项和为，a1=24,，问数列an的前多少项之和最大，并求此最大值.【答案】当n=13或n
4、=14时，取得最大值，且最大值为168【解析】解法1：，解得d=，当n=13或n=14时，取得最大值，且最大值为168解法2：，解得d=，令，解得13n14当n=13或n=14时，取得最大值，且最大值为168练习1.已知数列是一个等差数列，且，.（1）求的通项；（2）求前n项和的最大值.【答案】（1）（2）最大值为4.【解析】（1）由已知条件可得，.，所以当n=2时，取得最大值，且最大值为4练习2.等差数列中，问：数列前多少项之和最大，并求此最大值.【答案】n=13时，取得最大值，且【解析】解法1：由，得解得d=-2，所以当n=13时，取最大值，且.解法2：由，解得d=-2，令，得，又所以当n
5、=13时，取最大值，且.练习3.是等差数列，是其前项和，若,求使得最大的的值.【答案】n=8【解析】，所以当n=8时，取得最大值掌握等差数列前n项和与通项的关系，等差数列前n项与二次函数的关系等差数列性质与等差数列前n项和的综合应用1.2.，分别是等差数列的前n项和，前2n项和，前3n项和，则，-，-仍成等差数列.3.设等差数列和的前n项和分别为，则.4.非零等差数列中，设，则；.5.是以d为公差的等差数列，则是以为公差的等差数列.6.等差数列的前n项和为无常数项的二次函数（d0）.例3.在等差数列中，若，Sn是数列的前项和，则的值为（ ）A48 B54 C60 D66【答案】B【解析】，练习
6、1.等差数列中，其前n项和，则（ ）A9 B10 C11 D12 【答案】B【解析】，练习2.等差数列的前项和为，若（ ）A12 B10 C8 D6【答案】C【解析】练习3.【答案】250【解析】，又，例4.等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，,则=_【答案】【解析】，,，练习1.已知等差数列an、bn满足，（），且前n项和分别为，则的值为_【答案】【解析】由等差数列求和公式可知，所以例5.在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n之值是多少？【答案】5【解析】，又，即练习2.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为
7、30，则其公差为 ( )A5 B4 C3 D2【答案】B【解析】设等差数列为an，且前n项和为，由已知可得，所以5d=30-15，解得d=3例6.设是等差数列的前项和，若则 ( )A. B C D【答案】A【解析】解法1：，即解法2：由题意可得，-，-，-成等差数列，设=1，=3，则-=2，-=3，-=4，练习1.已知等差数列an的前n项和为，且，则()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得，-，-，-成等差数列,设，则-=2，-=3，-=4练习2.在等差数列中，已知前10项和为5，前20项和为15，则前30项和为（ ）A20 B25 C30 D35 【答案】C【解析】设等差数列为
8、an，且前n项和为，由已知可得，因为，-，-成等差数列，解之得例7.设等差数列的前n项和为，且满足，求它的通项公式.【答案】【解析】当n2时，所以当n2时，当n=1时，不满足上式练习1.设等差数列的前n项和公式是，求它的通项公式.【答案】【解析】当n2时，所以当n2时，当n=1时满足上式，掌握并会灵活应运等差数列性质在等差数列前n项和中的应用1.2.，分别是等差数列的前n项和，前2n项和，前3n项和，则，-，-仍成等差数列.3.设等差数列和的前n项和分别为，则.4.非零等差数列中，设，则；.5.是以d为公差的等差数列，则是以为公差的等差数列.6.等差数列的前n项和为（其中，）无常数项的二次函数（d0）7.前n项和与通项的关系.8.等差数列中的最值的求法：将等差数列前n项和Sn化成（）的二次函数形式，当d0时，Sn开口向上，Sn有最小值；当d0时，Sn开口向下，Sn有最大值（当对称轴为正整数数时，在对称轴处取最值；当对称轴为分数时，在离对称轴最近的正整数值处取最值）.
