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1、第5讲 数列专题本讲模块高考考点高考要求了解理解掌握等差数列与等比数列等差数列通项及前项和以及性质B等比数列通项及前项和以及性质B数列的通项累和、累积及项和互化及求通项C递推数列求通项B数列求和倒序求和及错位相减求和C裂项求和及分组求和C1.等差数列及等比数列的性质是重点；2.错位相减求和时重点也是难点难点；3.裂项求和及分组求和是重点也是难点.等差数列通项公式及前项和以及性质数列专题等差数列与等比数列数列的通项等比数列通项公式及前项和以及性.yi累和累积及项和互化求通项.递推数列求通项倒序求和及错位相减求和数列的求和裂项求和及分组求和.等差数列与等比数列1.等差数列（1）通项公式：an=a1
2、+（n-1）d（2）前项和公式：Sn=n(a1+an)2=a1n+12nn-1d（3）等差数列的性质等差数列的任意连续项的和构成的数列仍为等差数列等差数列中，若，则两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列2.等比数列（1）通项公式：an=a1qn-1（2）前项和公式：Sn=a1(1-qn)1-q（3）和等比中项的概念等比中项:如果a,G,b成等差数列，那么G叫做a与b的等比中项，且有G=ab.（4）有关等差、等比数列的性质等比数列中，若，则等比数列an的任意连续项的和构成的数列仍为等比数列两个等比数列与的积、商、倒数的数列、仍为等比数列【教师备案】1.考点：等差数列与等比数列 2.意图与目的：本
3、部分核心在于不运用两个数列的通项公式求和公式及性质解决问题. 3.重难点：（1）两个数列性质的应用（2）公式的灵活应用4.知识层面：属于A难度的基础知识题目例1.莱因德纸草书（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两分之和，则最小的1份为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设等差数列的公差是，首项是，由题意得， ，则，解得，所以最小的一份为，故选C.练习1. 已知等差数列的前项和为，若，则=（）A. B. 1 C. D. 【答案】【解析】等差数列an中， ，故选练习
4、2. 设等差数列满足，公差，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，求该数列首项的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ， ， ，则，公差， ， ，则，而，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则，把代入后解不等式，选A.例2.在各项均为正数的对比数列中，公比，若， ，数列的前项和为，则当取得最大值时， 的值为（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】C【解析】为等比数列，公比为，且，则， 数列是以4为首项，公差为的等差数列数列的前项和为令当时， 当或9时， 取最大值.故选C练习1如图所示的程序框图运行的结果为（ ）A. 1022 B. 1024 C. 2044 D. 204
5、8【答案】A【解析】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，由于，故程序框图运行的结果为输出的值为，故选A.练习2. 设数列的前项和为，且 （1）求， ， 的值；（2）求证：数列是等比数列【答案】（1）， ， .（2）见解析【解析】（1）， ， . （2）因为，所以有成立. 两式相减得： . 所以 ，即. 所以数列是以为首项，公比为的等比数列.（1）在解决等差数列、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：一是利用基本量将多元问题简化为一元问题；二是利用等差数列、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差数列、等比数列问题的快捷方便的工具；（2）求等差数
6、列的前项和最值的两种方法：函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解；邻项变号法：当时，满足的项数使得取得最大值为；当时，满足的项数使得取得最小值为.数列求通项1、累加法一般地，对于型如an+1=an+f(n)的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解；（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+n-1d.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由an+1=an+f(n) 得：当n1时，有 an=an-1+f(n-1) an-1=an+f(n-2) a3=a2+f(2) a2=a1+f(1)所以
7、各式相加得an-a1=fn-1+fn-2+f2+f(1)2.累乘法对于型如：由an+1=anf(n)类的通项公式，当f(1)f(2)f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。（1） 当f(n)为常数，即：an+1an=q（其中q是不为0的数），此时，数列为等比数列，an=a1qn-1.（2） 当f(n)为n的函数时，用累乘法。由an+1an=f(n)得n1时，anan-1=f(n-1)an=anan-1an-1an-2a2a1a1=f(n)f(n-1)f(2)f(1)a13.利用项和互化求通项： an=S1,n=1Sn-Sn-1,n24. 辅助数列法（构造法或待定系数法）这种方法类似于换元法, 主
8、要用于形如an+1=pan+q,(p0)的已知递推关系式求通项公式.（1）若时，数列为等差数列;（2）若时，数列为等比数列;（3）若且时，数列为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求.【教师备案】1.考点：数列求通项公式问题 2.意图与目的：本部分核心是把数列通过化简变形为等差数列或等比数列求解. 3.重难点：由递推公式求通项公式问题 4.知识层面：属于C难度的基础知识灵活应用例3. 已知等差数列的前n项和为， ， ，数列满足： ， ， ，数列的前项和为（1）求数列的通项公式及前项和；（2）求数列的通项公式及前项和；（3）记集合，若的子集个数为16，求实数的取值范围.【答案】（1）， （2
9、）（3）【解析】（1）设数列的公差为，由题意知： 解得， （2）由题意得： 当时又也满足上式，故故 得： （3）由（1）（2）知： ，令则， ， ， ， 当时， 集合的子集个数为16 中的元素个数为4的解的个数为4 练习1.为数列的前项和，已知， （1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求证： 【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1） ， 两式作差得： ， 成等差数列又当时， （2）由可知则故练习2. 已知数列满足： （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】（1），以上式子相乘得，代入，得，又符合上式，故数列的通项公式为（2），两式相减，得例
10、4. 已知数列满足，设.（I）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；（II）设，数列的前项和，求证： .【答案】（I）；（II）证明见解析.【解析】（I）由已知易得，由得即； 又,是以为首项，以为公比的等比数列. 从而即，整理得即数列的通项公式为. （II） ， ， ， . 练习1已知数列满足， ，数列且是等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列中位于中的项的个数记为，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意可知； ，是等差数列， ，.（2）由题意可知, ,练习2. 已知数列， .以后各项由给出.（1）写出数列的前项；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）见解析（2）【解
11、析】（1）；（2）故，故，当时，此通项公式也成立.1.判断数列是否备an+1-an=f(n)具的形式应用累和法求得通项公式;2.判断数列是否备an+1=anf(n)具的形式由累积法求得通项，注意不能丢掉首项;3.当数列提供与之间的递推关系时，常规方法是把原式中的替换为得到另一个式子，然后两式作差，从而把与的关系转化为 与的关系，然后在求通项公式;4.对于递推数列，需要借助辅助数列，构造成等差数列或者等比数列，或者是构造成累和法或累乘法求通项.数列求和（1）公式法 等差数列的前n项和公式 等比数列的前n项和公式（2）倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广（3
12、）裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项（4）分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解（5）错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广【教师备案】1.考点：数列求和 2.意图与目的：本部分核心在于运用几种求和法求数列的前项和等问题. 3.重难点：错位相减求和以及裂项求和. 4.知识层面：属于C难度的综合应用例5. 已知数列满足，数列的前项和为， .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为所以当时， ，两式相减得，即，又因为满足上式，所以，当时， ，又因为满足上式，所以数列的通项公式为.（2）由，得，相减得，所以数列是以3为首项2为公比的等比数列，所以所以，所以 作差可得，所以.练习1已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，写出关于的表达式，并求满足时的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），-得上式对也成立.（2）由（1）知-由，知，由当时， ，故.练习2. 已知函数为奇函数， ，若，则数列的前项和为( )A. 2017 B. 2016 C. 2015
