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1、第11讲 空间直角坐标系1.了解空间直角坐标系的概念.2.理解特殊一些点和面的对称问题.3.掌握空间中两点间的距离公式.1.空间直角坐标系的概念和空间两点间距离公式是重点.2.空间中点和面的对称问题是难点.3.注意空间直角坐标系的建立.空间直角坐标系1. 空间直角坐标系的建立的基础上，通过原点，再作一条数轴，使它与轴，轴都垂直，这样它们中的任意两条都互相垂直.轴的方向通常这样选择：从轴的正方向看，轴的正半轴沿逆时针方向转能与轴的正半轴重合.这时，我们说在空间建立了一个空间直角坐标系，叫做坐标原点.说明：(1)在建立了一个空间直角坐标系中，轴、轴、轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面
2、，分别称为平面、平面、平面.(2)右手定则：右手握住轴，让右手拇指指向轴的正方向，则弯曲的四指方向依次经过轴正方向，轴正方向，如图.(3)在平面上画空间直角坐标系时，一般.2. 空间直角坐标系中点的坐标.如图，设为空间一个定点，过分别作垂直于轴、轴、轴的平面，依次交轴、轴、轴于点，设点在轴、轴、轴上的坐标分别是，那么点就对应唯一有序实数组，记作，其中也可以称为点的坐标分量.反之，任意三个实数构成的有序实数组都能确定空间中一个点的位置，我们可以在轴、轴、轴上依次各取坐标为的，过各做一个平面，分别垂直于轴、轴、轴，那么这三个平面唯一的交点就是有序实数组确定的点.这样，我们就在空间任意一点与三个有序
3、实数组（点的坐标）之间建立起一一对应的关系：.容易得到坐标平面及坐标轴有如下坐标形式：(1) 平面（通过轴和轴的平面）是坐标形如的点构成的点集，其中为任意实数；(2) 平面（通过轴和轴的平面）是坐标形如的点构成的点集，其中为任意实数；(3) 平面（通过轴和轴的平面）是坐标形如的点构成的点集，其中为任意实数；(4) 轴是坐标形如的点构成的点集，其中为任意实数；(5) 轴是坐标形如的点构成的点集，其中为任意实数；(6) 轴是坐标形如的点构成的点集，其中为任意实数.3. 三个坐标平面把空间分为八部分，每一个部分都称为一个卦限.在坐标平面上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第、第、第、第卦限
4、；在下方的卦限称为第、第、第、第卦限.在每个卦限内，点的坐标各分量的符号是不变的.例1.如图，已知三棱锥中，底面，请叙述如何建立空间直角坐标系.【答案】见解析【解析】因为底面，所以，又因为，所以以点为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图：练习1. 如图，四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱，请叙述如何建立空间直角坐标系.【答案】见解析【解析】因为是正方形所以，因为平面，所以，所以以为原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图：在建立空间直角坐标系时，关键是要找到从同一点出发的三条两两垂直的线段；在建系时，尽量让点的坐标为正值，有助
5、于后期的计算.例2. 已知棱长为2的正方体，建立如图不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标.【答案】图1各点坐标：，：图2各点坐标：，.【解析】对于图1，因为为原点，分别在轴、轴、轴的正半轴上，又正方体的棱长为2，所以，又因为点在平面上，它在轴、轴上投影分别为，所以，同理，.因为点在平面上的投影是，在轴上的投影是，所以；对于图2，都在平面的下方，所以其轴的坐标都是负的，都在平面上，所以其轴的坐标都是0.因为为坐标原点，分别在轴、轴的正半轴上，在轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以，同图1情况可得，.练习1. 已知长方体的边长，.以为原点，建立如图空间直角坐标系，试写出长方体各顶点
6、坐标.【答案】，.【解析】从原点出发，首先沿轴正方向移动4个单位，在沿与轴平行的方向向右平移6个单位，然后沿与轴平行的方向向上平移2个单位，即达到，故得到，同理可求得其它点的坐标.从原点出发沿轴正方向移动个单位，在沿与轴平行的正方向平移个单位，然后在沿与轴平行的正方向平移个单位，即得到点.例3 在空间直角坐标系中，对于点，一定有下列结论（ ）A在坐标平面内 B在坐标平面内 C在坐标平面内 D以上都不对【答案】C【解析】若，点在轴上；若，点的坐标为零，坐标大于零，坐标不为零，点在坐标平面内.综上所述，点一定在坐标平面内.练习1. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面上的射影点的坐标是（ ）A B C
7、 D【答案】D【解析】由题意可得：点在坐标平面上的射影坐标是，故选D坐标平面内任意一点的横坐标一定为，且包括轴及轴上的点，其它坐标平面亦是如此.空间两点的距离1.空间两点间的距离公式：如图，设，是空间中的两个点，过两点分别作三个与坐标平面平行的平面，则这六个面围成一个长方体.我们知道，长方体的体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.于是只要写出一个顶点的三条棱的棱长用坐标计算的表达式，就能导出两点间的距离公式：，特别地，点到原点的距离公式为2.空间距离问题常见思路：(1)空间两点的距离公式是平面两点距离公式的推广，公式的推导方法是通过构造辅助平面，将空间问题转化为平面问题处理.(2)空
8、间两点间的距离虽然与坐标系的建立无关，但坐标系的建立适当，可简化运算.例4.求以下两点的距离：(1)，；(2)，.【答案】(1)；(2)【解析】(1)根据空间两点间距离公式可得；(2)根据空间两点间距离公式可得.练习1. 若空间直角坐标系中，已知点，点在轴上，且，则点的坐标为（ ）A B C D【答案】B【解析】因为点在轴上，设，由点，所以由空间两点间距离公式知，解得，所以，故选B.熟练地使用空间两点距离公式求空间中两点的距离，是空间距离的问题的一个基本应用，要注意掌握.例5. (1)求证：以点，三点为顶点的三角形是等腰直角三角形；(2)已知三点，求证：，三点在同一条直线上.【答案】(1)见解
9、析；(2)见解析【解析】(1)由空间两点间距离公式可得，.所以且，所以为等腰直角三角形；(2) 由空间两点间距离公式可得，.所以，所以，三点在同一条直线上.练习1. 已知空间内中两定点与，在轴上有一点，它到，两点的距离相等，求点的坐标.【答案】【解析】设点的坐标为，由题意得，即，解得，所以点的坐标为.练习2. 在长方体中，.作于，求点到的距离.【答案】【解析】以为原点，建立如图空间直角坐标系.由题意，得，.设，在中，所以.在中，中，所以.在中，中，所以.所以，故.通过建立空间直角坐标系，使用坐标法解决立体几何和空间距离问题，是我们常用的一种方法.空间点的对称问题1.空间中点坐标公式：设，是空间
10、中的两个点，是线段的中点，则有，即.它是平面上中点坐标公式的推广.2.空间中点的对称问题.设为空间直角坐标系中的点，则(1)点关于原点对称的点的坐标为；(2)点关于轴对称的点的坐标为；(3)点关于轴对称的点的坐标为；(4)点关于轴对称的点的坐标为；(5)点关于平面对称的点的坐标为；(6)点关于平面对称的点的坐标为；(7)点关于平面对称的点的坐标为.求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆.如关于轴对称的点的坐标就是坐标不变，其余两个变为相反数；关于平面对称的点的坐标就是，坐标不变，变为原来的相反数.例6. 空间直角坐标系中，点与点的中点坐标是（ ）A B C D
11、【答案】C【解析】设点与点的中点坐标为，则，所以，两点的中点坐标为，选择C.练习1. 在空间直角坐标系中，已知两点，则线段的中点坐标是（ ）A B C D【答案】A【解析】设线段的中点坐标为，则，所以的中点坐标为，选择A.中点问题要注意中点坐标公式的应用.例7.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）A B C D【答案】B【解析】由于点关于轴对称后，坐标不变，其余两个坐标变为原来的相反数，所以所求对称点的坐标为，选择B.练习1. 点与点关于轴对称，则 ， .【答案】【解析】点与点关于轴对称，所以两点的坐标相等，坐标与坐标互为相反数，即，解得.对称点的问题，要注意用口诀“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来进行解题.1.空间直角坐标系的建立及空间点的坐标表示.2.空间两点间距离公式及其应用
