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1、第8讲 解析几何（二）本讲模块高考考点高考要求了解理解掌握不用韦达定理的圆锥曲线解答题不用韦达定理的椭圆解答题C不用韦达定理的双曲线抛物线解答题B参数求解问题与椭圆有关的参数问题与双曲线抛物线有关的参数问题C圆锥曲线的相关证明定点、定直线问题C定值问题问题C1.不用韦达定理的圆锥曲线大题是重点也是难点；2.圆锥曲线的参数问题是难点；3.定点、定值、定直线是重点也是难点.不用韦达定理的椭圆解答题解析几何（二）不用韦达定理的圆锥曲线解答题参数求解问题不用韦达定理的双曲线抛物线解答题.yi与椭圆有关参数求解问题.yi与双曲线和抛物线有关参数求解问题定点定直线证明问题圆锥曲线的相关证明定值的证明问题.
2、yi不用韦达定理的圆锥曲线解答题1.椭圆的标准方程(1) ，焦点，其中(2) ，焦点，其中2.双曲线的标准方程(1) ，焦点，其中(2) ，焦点，其中3抛物线的标准方程(1) 对应的焦点分别为：.【教师备案】1.考点：圆锥曲线解答题 2.意图与目的：本部分核心在于不使用韦达定理，通过解方程解决问题. 3.重难点：（1）圆锥曲线与直线的位置关系的应用（2）通过对方程求解解决几何问题4.知识层面：属于C难度的能力题目例1. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），
3、直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.【答案】 （1）， .（2），或.【解析】（）设的坐标为.依题意，解得，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.练习1. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程
4、.【答案】 （1）， .（2），或.【解析】（）设的坐标为.依题意，解得，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.练习2. 已知椭圆： ，曲线上的动点满足：.（1）求曲线的方程；（2）设为坐标原点，第一象限的点分别在和上， ，求线段的长.【答案】(1) ;(2) .【解析】（1）由已知，动点到点， 的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，而， ，所以，故椭圆的方程为. （2）解： 两点
5、的坐标分别为，由及（1）知， 三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为.将代入中，得，所以，将代入中，得，所以，又由，得，即，解得，故例2. 设点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程；（2）设曲线上一点的横坐标为，过的直线交于一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】(1)过点作直线垂直于直线于点，由题意得，所以动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.所以抛物线得方程为.(2)由题意知，过点的直线斜率存在且不为，设其为，则，当，则.联立方程，整理得： .即，解得或， ，而，所以直线斜率为， ，联立方程，整
6、理得： ，即，解得，或.而抛物线在点的切线斜率， ， 是抛物线的切线， ，整理得，解得（舍去），或.练习1. 已知双曲线的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点。(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，求的长。【答案】（1）（2）【解析】（1）因为双曲线的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，所以，即（2）经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线 与双曲线联立方程组消y得 ，由弦长公式解得 练习2. 已知椭圆的方程为，双曲线的一条渐近线与轴所成的夹角为，且双曲线的焦距为.(1)求椭圆的方程；(2)设分别为椭圆的左，右焦点，过作直线 (与轴不重合)交椭
7、圆于， 两点，线段的中点为，记直线的斜率为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)一条渐近线与轴所成的夹角为知，即，又，所以，解得， ，所以椭圆的方程为.(2)由(1)知，设， ，设直线的方程为.联立得，由得，又，所以直线的斜率.当时， ；当时， ，即.综合可知，直线的斜率的取值范围是.圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.参数求解问题圆锥
8、曲线的参数求解问题：通常应用转化与化归思想，将问题转化为参数的方程，在某给定范围内有解的问题，或挖掘题设的约束条件，将问题转化为与参变量相关的存在性问题，然后综合应用方程、不等式和函数等基础知识求得参变量的取值范围.【教师备案】1.考点：圆锥曲线中有关的求参数问题 2.意图与目的：本部分核心方程思想与圆锥曲线综合. 3.重难点：直线与圆锥曲线有关的参数问题 4.知识层面：属于C难度的综合应用例3. 已知圆，圆心为，定点， 为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足（）求点的轨迹的方程；（）为坐标原点， 是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不同的两点当且满足时，求面积的取值范围【答案】（）
9、；（） .【解析】（）为线段中点为线段的中垂线由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆的标准方程为， 则， ，.点的轨迹的方程为。（）圆与直线相切，即，由，消去.直线与椭圆交于两个不同点，将代入上式，可得，设， ，则， ， ，解得.满足。又，设，则. ，故面积的取值范围为。练习1. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设椭圆的长半轴为 ，双曲线的实半轴为 ，（ ），半焦距为 ，由椭圆和双曲线的定义可知，设 椭圆和双曲线的离心率分别为 ，则由余弦定理可得 ，在椭圆中，化简
10、为即 ，在双曲线中，化简为即 ， 由柯西不等式得 故选B练习2. 已知，动点满足，其中分别表示直线的斜率，为常数，当时，点的轨迹为；当时，点的轨迹为（1）求的方程；（2）过点的直线与曲线顺次交于四点，且，是否存在这样的直线，使得成等差数列？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）不存在这样的直线满足题意，理由见解析【解析】（1）设，即，化简得，此即为的方程；（2）如（1）易得，假设存在这样的直线，则由题可知，由得，故，易得，故，令，则可得，令，则，故，因此无解，所以不存在这样的直线满足题意例4. 已知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点M到y轴的距离等于，且椭圆与抛物线的
11、交点Q满足（I）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于、 两点，设线段AB的中点为，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）抛物线上的点到轴的距离等于，点M到直线的距离等于点到焦点的距离，得是抛物线的准线，即，解得，抛物线的方程为；可知椭圆的右焦点，左焦点，由得，又，解得，由椭圆的定义得，又，得，椭圆的方程为（2）显然， ，由，消去，得，由题意知，得，由，消去，得，其中，化简得，又，得，解得，设，则0，由，得，的取值范围是练习1. 已知双曲线的渐近线方程为: ，右顶点为.（）求双曲线的方程；（）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点为，当时，求的
12、值。【答案】（1） （2）【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为: ，所以 ，又右顶点为，所以，即 （2）直线与双曲线联立方程组消y得 的值为练习2. 设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】点在椭圆的外部,则，解得，即。由椭圆的定义得 ，,恒成立，解得，即.所以椭圆离心率的取值范围是.选D.在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(
13、3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围圆锥曲线的相关证明1.定点与定值问题的解决，一般通过取极端位置(即特定位置)探索出定点或定值，然后再进行一般性证明.2.解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.【教师备案】1.考点：与圆锥曲线有关的证明 2.意图与目的：本部分核心在于运用方程的思想证明定点、定值等问题. 3.重难点：定点定值的探索. 4.知识层面：属于C难度的综合应用例5. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.【答案】（1）；（2）定点【解析】（1）拋物线的焦点 ，直线的方程为: .联立方程组，消元得: ，. 解得.抛物线
