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1、 高三数学二轮 2018 春季 第 1 页 演练方阵 第 8 讲 解析几何 二 类型一类型一 不用韦达定理的不用韦达定理的椭圆椭圆解答题解答题 考点说明 重点考察椭圆标准方程及直线与椭圆的位置关系 中 1 已知 P 是椭圆 2 2 1 4 x y 上的一点 12 F F是椭圆上的两个焦点 1 当 0 12 60FPF 时 求 12 FPF的面积 2 当 12 FPF 为钝角时 求点P横坐标的取值范围 答案 1 3 3 2 2 62 6 33 x 解析 1 由椭圆的定义 得 12 4PFPF 且 12 3 0 3 0FF 在 12 FPF中 由余弦定理得 222 121212 2cos60FFP
2、FPFPFPF 由 得 12 4 3 PF PF 所以 1 2 1212 13 sin 23 PF F SPFPFFPF 2 设点 P x y 由已知 12 FPF 为钝角 得 12 0PF PF 即 3 3 0 xyxy 又 2 2 1 4 x y 所以 2 3 2 4 x 解得 2 62 6 33 x 不用韦达定理的圆锥曲线解答题 高三数学二轮 2018 春季 第 2 页 所以点P横坐标的取值范围是 2 62 6 33 x 中 2 如图 在平面直角坐标系xOy中 椭圆 22 22 1 0 xy Eab ab 的左 右焦点分别 为 1 F 2 F 离心率为 1 2 两准线之间的距离为 8 点
3、P在椭圆E上 且位于第一象限 过 点 1 F作 直线 1 PF的垂线 1 l 过点 2 F作直线 2 PF的垂线 2 l 1 求椭圆E的标准方程 2 若直线E的交点Q在椭圆E上 求点P的坐标 答案 1 22 1 43 xy 2 4 7 3 7 77 解析 1 设椭圆的半焦距为 因为椭圆 的离心率为 1 2 两准线之间的距离为 8 所以 1 2 c a 2 2 8 a c 解得2 1ac 于是 22 3bac 因此椭圆E的标准方程是 22 1 43 xy 2 由 1 知 1 1 0 F 2 1 0 F 设 00 P xy 因为点P为第一象限的点 故 00 0 0 xy 当 0 1x 时 2 l与
4、 1 l相交于 1 F 与题设不符 当 0 1x 时 直线 1 PF的斜率为 0 0 1 y x 直线 2 PF的斜率为 0 0 1 y x 因为 11 lPF 22 lPF 所以直线 1 l的斜率为 0 0 1x y 直线 2 l的斜率为 0 0 1x y F1 O F2 x y 第 17 题 高三数学二轮 2018 春季 第 3 页 从而直线 1 l的方程 0 0 1 1 x yx y 直线 2 l的方程 0 0 1 1 x yx y 由 解得 2 0 0 0 1 x xxy y 所以 2 0 0 0 1 x Qx y 因为点Q在椭圆上 由对称性 得 2 0 0 0 1x y y 即 22
5、 00 1xy 或 22 00 1xy 又P在椭圆E上 故 22 00 1 43 xy 由 22 00 22 00 1 1 43 xy xy 解得 00 4 73 7 77 xy 22 00 22 00 1 1 43 xy xy 无解 因此点P的坐标为 4 7 3 7 77 难 3 设椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 右顶点为A 离心率为 1 2 已知A是 抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点 F到抛物线的准线l的距离为 1 2 I 求椭圆的方程和抛物线的方程 II 设l上两点P Q关于x轴对称 直线AP与椭圆相交于点B B异于点A 直线 BQ与x轴相交于点D 若AP
6、D 的面积为 6 2 求直线AP的方程 答案 1 2 2 4 1 3 y x 2 4yx 2 3630 xy 或3630 xy 解析 设F的坐标为 0 c 依题意 1 2 c a 2 p a 1 2 ac 解得1a 1 2 c 2p 于是 222 3 4 bac 所以 椭圆的方程为 2 2 4 1 3 y x 抛物线的方程为 2 4yx 高三数学二轮 2018 春季 第 4 页 解 设直线AP的方程为1 0 xmym 与直线l的方程1x 联立 可得点 2 1 P m 故 2 1 Q m 将1xmy 与 2 2 4 1 3 y x 联立 消去x 整理得 22 34 60mymy 解得0y 或 2
7、 6 34 m y m 由点B异于点A 可得点 2 22 346 3434 mm B mm 由 2 1 Q m 可得直线BQ的方程为 2 22 62342 1 1 0 3434 mm xy mmmm 令0y 解得 2 2 23 32 m x m 故 2 2 23 0 32 m D m 所以 22 22 236 1 3232 mm AD mm 又因为APD 的面积为 6 2 故 2 2 1626 232 2 m mm 整理得 2 32 6 20mm 解得 6 3 m 所以 6 3 m 所以 直线AP的方程为3630 xy 或3630 xy 难 4 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆 22
8、22 1 0 xy ab ab 的离心率为 2 2 且右焦点F到左准线l的距离为 3 1 求椭圆的标准方程 2 过F的直线与椭圆交于 A B两点 线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于 点 P C 若2PCAB 求直线AB的方程 答案 1 2 2 1 2 x y 2 1 1yxyx 解析 1 由题意 2 2 c a 2 3 a c c 高三数学二轮 2018 春季 第 5 页 解得2 1ac 于是1b 因此椭圆E的标准方程是 2 2 1 2 x y 2 当ABx 轴时 2AB 又3CP 不合题意 当AB与x轴不垂直时 设直线AB的方程为 1122 1 yk xA x yB xy 将AB的方程
9、代入椭圆方程 得 2222 12 42 1 0kxk xk 则 22 1 2 2 22 1 1 2 kk x k 的坐标为 2 22 2 1 21 2 kk kk 且 2 2222 212121 2 2 2 1 k 1 k 1 2k ABxxyyxx 若0k 则线段AB的垂直平分线为y轴 与左准线平行 不合题意 从而0k 故直线PC的方程为 2 22 12 1 21 2 kk yx kkk 则P点的坐标为 2 2 52 2 12 k kk 从而 22 2 2 1 3k 1k k 12k PC 因为 2PCAB 所以 222 22 2 1 3k 1k4 2 1k k 12k 12k 解得1k 此
10、时直线AB方程为1yx 或1yx 难 5 已知椭圆 1 C 2 2 1 4 x y 曲线 2 C上的动点 M x y满足 22 22 2 32 316xyxy 1 求曲线 2 C的方程 2 设O为坐标原点 第一象限的点 A B分别在 1 C和 2 C上 2OBOA 求线段AB 的长 答案 1 22 1 164 yx 2 2 10 5 解析 1 由已知 动点M到点 0 2 3P 0 2 3Q的距离之和为8 C 高三数学二轮 2018 春季 第 6 页 且8PQ 所以动点M的轨迹为椭圆 而4a 2 3c 所以2b 故椭圆 2 C的方程为 22 1 164 yx 2 A B两点的坐标分别为 AABB
11、 xyxy 由2OBOA 及 1 知 O A B三点 共线且点 A B不在y轴上 因此可设直线AB的方程为ykx 将ykx 代入 2 2 1 4 x y 中 得 22 1 44kx 所以 2 2 4 1 4 A x k 将ykx 代入 22 1 164 yx 中 得 22 416kx 所以 2 2 16 4 B x k 又由2OBOA 得 22 4 BA xx 即 22 164 41 4kk 解得 2 2244 1 5 5 5 5 5555 kAB 易得 故 22 42422 555510 55555 AB 难 6 已知椭圆 22 22 10 xy Cab ab 的离心率为 2 2 e 且椭圆
12、上一点M与椭 圆左右两个焦点构成的三角形周长为42 2 1 求椭圆C的方程 2 如图 设点D为椭圆上任意一点 直线ym 和椭圆C交于 A B两点 且直线 DA DB 与y轴分别交于 P Q两点 求证 1212 90PFFQFF 高三数学二轮 2018 春季 第 7 页 答案 1 22 1 42 xy 2 详见解析 解析 2 2 c e a 2ac 1212 222 2242 2MFMFFFaccc 2 2ca 椭圆方程为 22 1 42 xy 2 设 0011 B xyD x y 则 00 Axy 直线BD方程为 01 11 01 yy yyxx xx 令0 x 则 010 1 01 x yy
13、 x y xx 010 1 01 0 x yy x Q xx 同理 010 1 01 0 x yy x P xx 12 PFF 和 12 QFF 均为锐角 010 1 01010 1 12 01 tan x yy x xxx yy x PFF cc xx 0101 12 01 tan x yy x QFF c xx 2222 010 1010 10101 1212 222 0101 01 tantan x yy xx yy xx yy x PFFQFF c xxc xxcxx 22 22 01 22 01 01 2222 0101 22 2 2211 1 22 xx xx xx xxxx 12
14、 PFF 与 12 QFF 互余 高三数学二轮 2018 春季 第 8 页 1212 90PFFQFF 难 7 在平面直角坐标系xOy中 已知圆 22 4O xy 椭圆 2 2 1 4 x Cy A为 椭圆C的右顶点 过原点且异于x轴的直线与椭圆C交于 M N两点 M在x轴的上方 直线AM与圆O的另一交点为P 直线AN与圆O的另一交点为Q 1 若3APAM 求直线AM的斜率 2 设AMN 与APQ 的面积分别为 12 S S 求 1 2 S S 的最大值 答案 1 2 k 2 1 2 S S 的最大值为 25 64 解析 设直线AP的方程为 2 0yk xk 2yk x 与椭圆方程 2 2 1
15、 4 x y 联立得 2 2 1 222 4 kxxx 求得点M的横坐标 2 2 82 41 M k x k M的纵标 2 4 41 M k y k 2yk x 与圆方程 22 4xy 联立得 2 2 222kxxx 求得点P的横坐标 2 2 22 1 P k x k P的纵标 2 4 1 P k y k 由3APAM 得 22 44 33 141 PM kk yy kk 又0k 解得2 k 高三数学二轮 2018 春季 第 9 页 由M与N关于原点对称得N的坐标 2 2 82 41 N k x k 2 4 41 N k y k NA的 斜率为 2 2 2 4 1 41 824 2 41 AN
16、 k k k kk k 也可以另外证明 1 4 ANAM kk 2 2 1 41 M P AMyk APyk 同理 2 2 22 1 1 1 164 4 16 1 41 4 N Q ANyk k AQyk k 22 1 2 2 2 1 161 4 41 kk AMANS SAPAQ k 42 42 16171 4 1681 kk kk 2 2 2 2 191925 11 1 44641 168 2 168 k k k k 当 2 2 1 16k k 即 1 2 k 时取等号 所以 1 2 S S 的最大值为 25 64 难 8 已知椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 1 2 以椭圆长 短轴四个端点 为顶点为四边形的面积为4 3 求椭圆C的方程 如图所示 记椭圆的左 右顶点分别为A B 当动点M在定直线4x 上运动时 直线AMBM 分别交椭圆于两点P Q 求四边形APBQ面积的最大值 答案 22 1 43 xy 6 高三数学二轮 2018 春季 第 10 页 解析 由题设知 2 24 3acab 又 222 abc 解得2 3 1abc 故椭圆C的方程为 22 1
