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1、 第24讲 几何选讲极坐标及参数方程1.了解相似三角形的定义，会应用相似三角形的三个判定定理进行推理证明；了解平行线分线段成比例定理；会灵活应用直角三角形射影定理进行运算求解和推理论证.2会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理；会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.3了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况，能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.4了解曲线参数方程的意义，掌握直线、
2、圆及圆锥曲线的参数方程，会应用参数方程解决有关的问题；掌握参数方程与普通方程的互化，会根据已知给出的参数，依据条件建立参数方程.1.圆幂定理是重点.2.极坐标方程参数方程是重点.3.极坐标与参数方程的应用是难点.4. 应用相似及圆幂定理的几何证明是难点.相似三角形圆幂定理.yi相似及圆幂定理直角坐标与极坐标的互化.yi几何选讲极坐标及参数方程极坐标极坐标方程的应用参数方程与普通方程的互化参数方程极坐标与参数方程的综合.yi相似及圆幂定理1相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做两个相似三角形；相似三角形对应边的比值叫做相似比2相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等的两个三角形
3、相似判定定理2：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似3相似三角形的性质(1)相似三角形对应边上的高、中线和对应角的平分线的比都等于相似比(2)相似三角形周长的比等于相似比(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方4平行线分线段成比例定理及推论三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例5.直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项6圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的度数的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；同
4、圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.7.圆的切线(1)判定定理：经过圆的半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角8.圆幂定理：（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等；（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.9.圆内接四边形的性质定理和判定定理(1)性质定理：圆内接四边形对角互
5、补，并且任何一个外角都等于它的内角的对角(2)判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于一个圆例1. 是的三边中点，设的面积为4，的周长为9，则的周长与的面积分别是()A. ，16 B. , C. ，8 D. ，16【答案】A【解析】分别为三边中点，且 又，.,又又，.选A.练习1.如图所示，为中边上的一点，若，求的长【答案】【解析】，设，则，解得故练习2. 已知直角三角形周长为，一锐角平分线分对边为3:5两部分（1）求直角三角形的三边长；（2）求两直角边在斜边上的射影的长【答案】(1)，；(2)，【解析】（1）如图，设，则，过作，由题意可知，又，解得：（舍去），三边长分别为：，（2）作
6、于点，；同理：两直角边在斜边上的射影长分别为，例2. 如图，锐角的内心为，过点作直线的垂线，垂足为点，点为内切圆与边的切点.（1）求证: 四点共圆；（2）若，求的度数. 【答案】（1）见推证过程；（2）。【解析】连接.（1）由圆与边相切于点，得，由 ，得，点在以为直径的圆上，即四点共圆.（2） 由（1）知四点共圆，又 ，由，得，由得.练习1. 如图，已知圆是的外接圆, ,是边上的高,是圆的直径，过点作圆的切线交的延长线于点.（）求证：； （）若，求的长.【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】（）证明：连结，由题意知为直角三角形 因为， 所以即又，所以 （）因为是圆的切线，所以， 又，所以，因
7、为，所以所以，得, 所以练习2. 如图，圆和圆相交于点，半径、半径所在直线分别与圆、圆相交于点，过点作的平行线分别与圆、圆相交于点证明： 【答案】见解析【解析】延长、分别与圆、圆相交于点，连结则，所以三点共线又，于是四点共圆故，从而，因此，同理所以1.相似三角形的证法：定义法：对应边成比例，对应角相等；平行法；判定定理法：用得最多的是判定定理1，即两角相等、两三角形相似；对直角三角形除以上方法外，还有特殊方法；两直角边对应成比例，两直角三角形相似；一条直角边和斜边对应成比例，两直角三角形相似；斜边上的高分成的两直角三角形与原三角形相似.2.相似三角形的性质：对应边成比例，对应角相等；对应高的比
8、、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比，而面积的比等于相似比的平方；相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方.利用这些关系可以进行各种证明、求值.3.在探究证明中，掌握从特殊到一般和化归的思想方法，学会解决问题的程序、模式.4.圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.5.圆的切线的性质定理及推论有如下结论：如果一条直线具备以下三个条件中的任何两个，就可推出第三个：垂直于切线；过切点；过圆心.于是利用切线性质时，过切点的半径是常作的辅助
9、线.6.判定切线通常有三种方法：和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线.7.圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角，准确理解它们的定义、定理及所对、所夹弧的关系.8.与圆有关的比例线段的证明要诀：圆幂定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.极坐标极坐标系与点的极坐标在平面上取一个定点，自点引一条射线，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系其中，点称为极点，射线称为极轴设是平
10、面上任一点，表示的长度，表示以射线为始边，射线为终边所成的角那么，有序数对称为点的极坐标显然，每一个有序实数对决定一个点的位置其中，称为点的极径，称为点的极角由极径的意义可知，当极角的取值范围是时，平面上的点(除去极点)就与极坐标建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径，极角可取任意角坐标之间的互化(1)点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)平面内任意一点的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取.例3. 在平面直角坐标系中，直线的方程，以坐标原点
11、为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为： （1）把直线的方程化为极坐标方程，把曲线的极坐标方程化为普通方程； （2）求直线与曲线交点的极坐标（）【答案】（1）直线l: ，曲线C:；（2）， 【解析】（1）直线l的方程为， 把代入可得： ， 由曲线C的极坐标方程为： ，变为，化为.（2）联立，解得或， 直线l与曲线C交点的极坐标（）为， 练习1. 在直角坐标系中，以为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系圆和直线的极坐标方程分别为， (1)求圆和直线的直角坐标方程(2)求圆和直线交点的极坐标【答案】（1）；（2）【解析】(1)由 ,即为 ,即有， ,即为,即,即有； (2)将直
12、线和圆的方程联立后,即 ，计算得出直角坐标为, ,则交点的极坐标为 , .练习2. 在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，且直线与圆相交于不同的， 两点（1）求线段垂直平分线的极坐标方程；（2）若，求过点与圆相切的切线方程【答案】（1）；（2）或【解析】（1）直线的普通方程为，斜率为1，所以直线的斜率为因为圆的极坐标方程可化为，所以将， ， ， 代入上述方程得圆的直角坐标方程为，配方，得，其圆心为，半径为（）由题意知直线经过圆心，所以直线的方程为，即，所以由， ，得直线的极坐标方程为（2）当所求切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
13、由圆心到直线的距离等于半径，得，解得，所以所求切线的方程为；当所求切线的斜率不存在时，切线方程为综上，所求切线的方程为或例4. 在直角坐标系中，已知圆： (为参数)，点在直线： 上，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求圆和直线的极坐标方程；（2）射线交圆于，点在射线上，且满足，求点轨迹的极坐标方程【答案】（1）, ；（2）.【解析】（1）圆的极坐标方程，直线的极坐标方程. (2)设的极坐标分别为，因为又因为，即 ， .练习1. 在直角坐标系中，曲线的方程是.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（）求曲线的极坐标方程；（）设交于异于原点的A，B两点，求AOB的面
14、积.【答案】(1) ;(2) 【解析】（）的方程为，即 曲线的极坐标方程为 （）把代入，得，点A的极坐标为 把代入，得， 点B的极坐标为 练习2. 在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的方程为，以为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线和直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，求的值.【答案】（1）， ；（2）3【解析】（1）曲线C1的方程为： ，即，则的极坐标方程为，直线的方程为，直线的极坐标方程（2）设， ，将代入，得： ，1.极坐标和直角坐标的互化公式是.这两组公式必须满足下面的“三个条件”才能使用：(1)原点与极点重合；(2)x轴正半轴与极轴重合；(3)长度单位相同.极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边乘以n时，方程增了一个重解，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解.2.极坐标方程的应用及求法(1)合理建立极坐标系，使所求曲线方程尽量简单.(2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的
