《教培机构高中数学讲义5][选修1-1 第4讲 直线与椭圆位置关系]讲义教师版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教培机构高中数学讲义5][选修1-1 第4讲 直线与椭圆位置关系]讲义教师版.pdf（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高二数学 2017 秋季 第 1页 第 4 讲直线与椭圆位置关系 1 掌握点与椭圆位置关系及其判断方法 2 掌握直线与椭圆位置关系及其判断方法 3 掌握中点弦常见解题方法 根与系数法和点差法 及重要结论 1 掌握点与椭圆位置关系及其判断方法是重点 2 掌握直线与椭圆位置关系及其判断方法是重点 3 掌握中点弦常见解题方法 根与系数法和点差法 及重要结论是重点也是难点 高二数学 2017 秋季 第 2页 高二数学 2017 秋季 第 3页 直线与椭圆位置关系 一 点与椭圆的位置关系及其判断 对于椭圆1 2 2 2 2 b y a x 有 1 点 00 yxP在椭圆内部 1 2 2 0 2 2 0
2、a y a x 2 点 00 yxP在椭圆外部 1 2 2 0 2 2 0 a y a x 3 点 00 yxP在椭圆上 1 2 2 0 2 2 0 a y a x 二 直线与椭圆的位置关系及其判断 1 直线与椭圆位置关系的种类 1 相离 直线与椭圆没有交点 2 相切 直线与椭圆有且仅有一个交点 3 相交 直线与椭圆有两个不同的交点 高二数学 2017 秋季 第 4页 2 直线与椭圆位置关系的判断 已知直线l 0 CByAx和椭圆C 1 2 2 2 2 b y a x 第一步 直线与椭圆联立 1 0 2 2 2 2 b y a x CByAx 得到关于x或y的一元二次方程 第二步 求解一元二次
3、方程根的判别式 若0 直线与椭圆相交 若0 直 线与椭圆相切 若0 直线与椭圆相离 例 1 已知直线mxy 2与椭圆22 22 yx 1 当直线和椭圆相交时 求m的取值范围 2 当直线和椭圆相离时 求m的取值范围 3 当直线和椭圆相切时 求m的值 答案 1 3 3 m 2 3 3 m 3 3 m 解析 联立方程组 22 2 22 yx mxy 消去y得 02289 22 mmxx 728 2 m 1 直线和椭圆相交则 0728 2 m 解得 3 3 m 2 直线和椭圆相离则 0728 2 m 解得 3 3 m 3 直线和椭圆相切则 0728 2 m 解得3 m 练习 1 若直线1 mxy与椭圆
4、14 22 yx有且只有一个交点 则 2 m A 2 1 B 3 2 C 4 3 D 5 4 答案 C 解析 联立直线与椭圆方程 14 1 22 yx mxy 得38 14 1 4 2222 mxxmmxx 由题意得 01216124864 222 mmm 解得 4 3 2 m 选 C 练习 2 直线1 kxy与椭圆1 5 22 m yx 总有公共点 则m的取值范围是 A 1 mB 1 m或10 mC 1 m且5 mD 50 m且1 m 高二数学 2017 秋季 第 5页 答案 C 解析 由题意得直线恒过点 1 0 1 0 只要在椭圆内部或者在椭圆上就满足直线 1 kxy与椭圆 1 5 22
5、m yx 恒有交点 即1 1 5 0 22 m 解得1 m 又当5 m时 1 5 22 m yx 表示的是圆而不是椭圆 与题意不符 综上 1 m且5 m 选 C 由于椭圆是封闭型曲线 直线和椭圆的位置关系问题直接转换为联立方程组 由判别式 或实数解的情况进行判定 利用方程组的实数解求交点和切点坐标 直线与椭圆的位置关系 有三种 相交 相切和相离 例 2 如图所示 已知椭圆88 22 yx 在椭圆上求一点P 使P到直线 04 yx的距离最小 并求出最小值 答案 2 2 min d 3 1 3 8 P 解析 设与直线l 04 yx平行且与椭圆相切的直线为0 ayx 由 0 88 22 ayx yx
6、 得0829 22 aayy 令0 8 364 22 aa 解得3 a或 3 a 显 然 与 直 线04 yxl距 离 较 近 的 直 线 为03 yx 最 小 距 离 2 2 2 34 d 此时由 03 88 22 yx yx 得 3 1 3 8 y x 即 3 1 3 8 P 高二数学 2017 秋季 第 6页 练习 1 椭圆1 416 22 yx 上的点到直线022 yxl的距离最大值是 A 2 B 5 C 22 D 10 答案 D 解析 方法一 联立方程组 022 1 416 22 yx yx 消去y得 072 2 xx 030 所以直线022 yx与椭圆设椭圆1 416 22 yx
7、相交 如下图所示 设 与 直 线022 yxl平 行 的 直 线 方 程 为02 ayx 联 立 方 程 组 02 1 416 22 ayx yx 消 去 y 得 01622 22 aaxx 令 01284 2 a 解 得 24 a 显然与直线022 yxl较远的直线是24 20 xy 最大距离 22 4 22 5 2 10 5 21 d 选 C 方法二 由题意设椭圆上任意一点P的坐标为 sin2 cos4 所以点P到直线 022 yx的距离 5 2 4 sin 24 21 2sin32cos4 22 d 又 24 4 sin 2424 10 5 2 4 sin 24 0 最大距离 为 10
8、故选 D 高二数学 2017 秋季 第 7页 练习 2 求椭圆1 1216 22 yx 上的点到直线0122 yxl的最大距离和最小距离 用两 种方法求解 答案 5 54 min d 54 max d 解析 方法一 联立方程组 0122 1 1216 22 yx yx 消去y得 0246 2 xx 060 所以直线0122 yxl与椭圆设椭圆1 1216 22 yx 相离 如下图所示 设 与 直 线0122 yxl平 行 的 直 线 方 程 为02 ayxl 联 立 方 程 组 02 1 1216 22 ayx yx 消去 y 得 04824 22 aaxx 令 076812 2 a 解得 8
9、 a 显然与直线0122 yxl较近的直线是082 yxl 最小距离 5 54 5 4 12 128 22 d 与直线082 yxl较远的直线是082 yx 最 大距离54 5 20 12 128 22 d 方法二 由题意设椭圆上任意一点P的坐标为 sin32 cos4 所以点P到直线 022 yx的距离 5 12 3 cos 8 21 12sin34cos4 22 d 高二数学 2017 秋季 第 8页 又 4 2012 3 cos 8 5 54 min d 54 max d 当直线l与椭圆相离时 在椭圆上存在两点分别到直线l的距离最大和最小 当直线l与 椭圆相交时 在椭圆上存在一点到直线l
10、的距离最大 求椭圆上一点到直线距离的最值问题 通常采用平移直线法 将已知直线平移到与椭圆相切的位置 此时切点即为椭圆上到定直线 的距离的最大或最小点 有关椭圆的中点弦问题 一 中点弦概念与常见类型 在椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 或 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 中 若直线l与椭圆交于 11 yxM 11 yxN两点 点 00 yxP是弦MN的中点 则称弦MN为椭圆上过P点的 中点弦 直线与椭圆的中点弦问题主要包括以下几种类型 已知椭圆内一点P 求过定点P且 以P为中点的弦的直线方程 利用已知条件求弦的中点 求弦的中点的轨迹方程或利 用中点弦定理求椭圆方程
11、 二 中点弦问题与常用解题方法 1 根与系数的关系法 将直线方程带入椭圆方程 消元后得到一个一元二次方程 利用根 与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解 它有一个固定模式 即设直线与椭圆的交点坐 标为 11 yxM 11 yxN 联立直线方程和椭圆方程 消元得到一个一元方程 必要时对 二次项系数加以讨论 得出 21 xx 21x x 或 21 yy 21y y 及0 然后再根据题 设条件求解 2 点差法 若直线l与椭圆有两个交点 11 yxM 11 yxN 将两个交点带入椭圆方程 通过作差 构造出 21 xx 21x x 从而建立中点坐标和斜率的关系 1 设弦MN的中点坐标为 00 yxP 对
12、于椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 有 0 2 0 2 ya xb kMN 高二数学 2017 秋季 第 9页 证明 点 11 yxM 11 yxN在椭圆1 2 2 2 2 b y a x 上 满足 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 b y a x b y a x 作差得0 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 b yy a xx 移项为 2 1212 2 2121 b yyyy a xxxx 变形为 21 2 12 2 21 12 yya xxb xx yy 即 2 2 21 2 12 2 yy a xx b kMN 化简得 0 2 0 2 ya xb
13、 kMN 2 设弦MN的中点坐标为 00 yxP 对于椭圆 1 2 2 2 2 b x a y 有 0 2 0 2 yb xa kMN 证明 点 11 yxM 11 yxN在椭圆1 2 2 2 2 b x a y 上 满足 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 b x a y b x a y 作差得0 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 b xx a yy 移项为 2 1212 2 2121 b xxxx a yyyy 变形为 21 2 12 2 12 21 yyb xxa xx yy 即 2 2 21 2 12 2 yy b xx a kMN 化简得 0 2 0
14、 2 yb xa kMN 例 1 过椭圆1 416 22 yx 内一点 1 2 M引一条弦 使弦被点M平分 求这条弦所 在的直线方程 答案 042 yx 解析 方法一 依据题意 所求的直线斜率存在 设它的方程为 2 1 xky 把它带 入椭圆方程得016 12 4 2 8 14 2222 kxkkxk 设直线与椭圆的交点为 11 yxA 22 yxB 4 14 2 8 2 2 21 k kk xx 解得 2 1 k 所求直线方程为 042 yx 方法二 设直线与椭圆的交点为 11 yxA 22 yxB P为弦AB的中点 高二数学 2017 秋季 第 10页 4 21 xx 2 21 yy 16
15、4 2 1 2 1 yx 164 2 2 2 2 yx 两式相减得 0 4 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 即0 4 21212121 yyyyxxxx 2 1 4 21 21 21 21 yy xx xx yy k 所求直线方程为042 yx 练习 1 已知直线l和椭圆1 24 22 yx 相交于BA 两点 点 1 1 M为AB的中点 求直线l 所在的方程 答案 032 yx 解析 方法不唯一 本题采用点差法求解 设两点坐标为 11 yxA 22 yxB 则有 1 24 1 24 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx 两式作差得得0 24 2 2 2 1 2 2 2 1 yy
16、xx 移项为 2 4 12122121 yyyyxxxx 变形 为 2 4 2 2 21 12 21 12 yy xx xx yy 即 2 1 14 12 AB k 又 直线过点 1 1 M 所求直线方程 为032 yx 练习 2 已知点BA 的坐标为 0 1 和 0 1 直线AM和BM相交于点M 且它们的斜 率之积为2 1 求动点M的轨迹方程 2 若过点 1 2 1 N的直线l交动点M的轨迹于DC 两点 且N为线段CD的中点 求直线l的方程 答案 1 1 1 2 2 2 x y x 2 0322 yx 解析 1 设 yxM 2 BMAM kk 1 2 11 x x y x y 化简得 1 1 2 2 2 x y x 即为动点M的轨迹方程 高二数学 2017 秋季 第 11页 2 设 11 yxC 22 yxD 若直线xl 轴 直线l的方程为 2 1 x 则 2 6 2 1 C 2 6 2 1 D 此时线段CD的中点不是点N 不合题意 故设直线l的方程为 2 1 1 xky 将 11 yxC 22 yxD代入 1 1 2 2 2 x y x得 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2
