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1、演练方阵第2讲 曲线与方程曲线与方程曲线与方程的概念以及曲线与方程关系的应用考点说明：掌握曲线与方程的概念至关重要，为进一步研究圆锥曲线与方程奠定基础在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备：（1）曲线C上点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解化为坐标的点都在曲线C上。只有具备上面两个要求才能将曲线的研究化为方程的研究，几何问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思想，该考点正是这以思想的基础【易】1已知方程，若点在此方程表示的曲线上，则m的值是（ ）A B C或 D或【答案】A【解析】若点在方程表示的曲线上，所以，适合方程，即，解得或
2、 ，选C【易】2设圆M的方程为，直线l的方程为，点P的坐标为，那么（ ） A 点P在直线l上，但不在圆M上B 点P在圆M上，但不在直线l上C点P既在圆M上又在直线l上D点P既不在圆M上，也不在直线l上【答案】C【解析】将点P带入圆M和直线l的方程等式都成立，点P既在圆M上又在直线l上，选C【易】3点在曲线上，则a的值为（ ）A B C或 D或【答案】D【解析】由题意可得，即，解得或，选D【易】4曲线与的交点是（ ）A B C直角坐标系内任意一点 D不存在【答案】D【解析】联立方程组求解可得无交点，选D【中】5曲线与直线有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】由得
3、，即，时，直线与曲线有两个不同的交点，选A【中】6是点在曲线上的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据曲线与方程的概念可知C正确【中】 7“曲线C上的点的坐标都是方程的解”是“曲线C的方程是”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据曲线与方程的概念可知B正确【难】8若命题“曲线C上的点的坐标都是方程的解”是真命题，则下列命题中是真命题的是（ ）满足方程的点都在曲线C上；方程是曲线C的方程；方程所表示的曲线不一定是CA B C D【答案】A【解析】“曲线C上的点的坐标都是方程的
4、解”并不等价与“以方程的解为坐标的点都在曲线C上”，即方程不一定是曲线C的方程，所以命题和是假命题，是真命题，选A求曲线的方程类型一:直接法求曲线方程考点说明：直接法也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何的有关公式（两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理，化简从近几年高考题来看，利用直接法求曲线的轨迹方程是高考常考题型，主要以解答题的形式出现，难度属于中高档，命题切入点通常有：轨迹与函数、方程、向量、平面几何等知识主要考察学生分析问题，解决问题的能力【易】1已知，动点满足，则点P的轨迹方程是（ ）A B C D【答案】C【解析】，则整理得，选C【易
5、】2长为的线段的两个端点分别在x轴和y轴上滑动，则中点P的轨迹方程为（ ）A B C D【答案】A【解析】设点P坐标为，则，由得，化简后得，选A【中】3设，在平面直角坐标系中，已知向量，向量，且，动点的轨迹为E，求轨迹E的方程【答案】A【解析】，向量，向量，即当时，方程表示两条直线：；当时，方程表示的是圆：；当且时，方程表示的是椭圆；当时，方程表示的是双曲线【中】4已知直角坐标平面上点和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（），求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线【答案】当，方程化为，它表示过点与x轴垂直的一条直线；当，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆【解析】设，直线切圆C于N，则
6、有,即,即整理得，这就是动点M的轨迹方程当，方程化为，它表示过点与x轴垂直的一条直线；当，方程为，它表示以为圆心，为半径的圆【中】5（2011新课标卷）在平面直角坐标系中，已知点，B点在直线上，M点满足，,M点的轨迹是曲线C，求C的方程【答案】【解析】设，由已知条件可得，.再由题意可得，即曲线C的方程为【难】6（四川高考）如图，动点M与两个定点，构成，且，设动点M的轨迹为C，求轨迹C的方程【答案】【解析】设点M的坐标为，显然有，且当时，点M的坐标为当时，由，即，化简后得，因为点在曲线上，轨迹C的方程为类型二:相关点法求曲线方程考点说明：在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程，求另一动点的轨
7、迹方程的问题，而解决此类问题的方法称为代入法或相关点法.此类方法通常需要设两个动点，一个是所求的曲线的动点，通常设为，另一个是在已知曲线上运动的点，可以设为，解题的核心是将曲线上运动的点用待求解的点表示出来在代入已知曲线从近几年高考题来看，利用相关点法求曲线的轨迹方程是高考常考题型，主要以解答题的形式出现，难度属于中高档【易】1已知点P是圆上一个动点，点A是x轴上的定点，坐标是，当点P在圆上运动时，求线段PA中点M的轨迹方程【答案】【解析】设点，,则有，又点P在圆上运动，化简得【易】2动点P在抛物线上移动，求动点P和两定点和所组成的的重心M的轨迹方程函数【答案】【解析】设,点P是的重心，即，又
8、点P在抛物线上，化简得【易】3动点P在曲线上运动，P和定点连线的中点为M，求点M的轨迹方程【答案】【解析】设,P和定点连线的中点为M，即，又在曲线上，化简得【中】4已知圆C：，过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程【答案】，并去掉和两点【解析】设，则，向量，即，又点在圆C：，即，由题意得m平行于x轴可得，去掉和两点【难】5从曲线上一点Q引直线的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P所形成的曲线方程【答案】【解析】设动点P的坐标为，点Q的坐标为，则点N在直线上，（1）又直线，即（2），由（1）（2）式得，又在曲线上，将，代入曲线即得点P形成的曲线方程【
9、难】6已知抛物线，定点，B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有，当点B在抛物线上运动时，求点P的轨迹方程【答案】【解析】设，则，又在抛物线上运动，化简得类型三:定义法求曲线方程（直线和圆）考点说明：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，这种方法称为定义法从近几年高考题来看，利用定义法求曲线的轨迹方程是高考常考题型，主要以解答题的形式出现，定义法所求的曲线方程通常是常见的曲线，如：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线利用定义法求解曲线方程时，难度主要在于确定曲线的类型，以及求取关键参数，该类题型难度属于中高档【易】1已知点，且，则点的轨迹是（ ）A B C D【答案】B
10、【解析】平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，定长是半径，定点是圆心，B正确【易】2到点和到直线距离相等的点的轨迹是（ ）A B C D【答案】C【解析】事实上，点在直线上，所以所求的轨迹就是过点A且垂直于直线的一条直线，求得，选C【中】3已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴和y轴上移动，线段AB的中点为M，则点M的轨迹方程为（ ）A B C D【答案】B【解析】作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知，点M的轨迹是以原点O为圆心，以3为半径的圆，所以为【中】4过点引直线交圆于M、N两点，求弦MN中点的轨迹方程【答案】【解析】连结，则，点P在以OA为直径的圆上，且在已知圆的内部，其圆
11、心坐标为，半径为3，其方程为.【中】5过点引直线交圆于M、N两点，求弦MN中点的轨迹方程【答案】【解析】连结，则，点P在以OA为直径的圆上，且在已知圆的内部，其圆心坐标为，半径为4，其方程为.【难】6过点做两条互相垂直的直线和，若交x轴于点A，交y轴于点B，则线段AB中点M的轨迹方程为（ ）A B C D【答案】B【解析】，四点共圆，且该圆的圆心为M，点M的轨迹为线段的中垂线，OP的中点坐标为，点M的轨迹方程是，即，选择B.类型四:定义法求曲线方程（椭圆、双曲线和抛物线）考点说明：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，这种方法称为定义法从近几年高考题来看，利用定义法求
12、曲线的轨迹方程是高考常考题型，主要以解答题的形式出现，定义法所求的曲线方程通常是常见的曲线，如：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线该类题型难度属于中高档【易】1已知的一边长，周长为16，则点A的轨迹方程是（ ）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线【答案】B【解析】由题意得，满足椭圆的定义，动点A的轨迹方程是椭圆，故选B【易】2已知点P到点的距离与它到直线的距离相等，则点P的轨迹方程是（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意得点P的轨迹方程是以为焦点的抛物线，点P的轨迹方程为，故选A【中】3. 已知的顶点A，B的坐标分别是和，C为动点，且满足，求点C的轨迹方程.【答案】（）【解析】由可知，即,满足椭
13、圆的定义，令椭圆方程为，则，所以椭圆方程为，又当点C运动到x轴时，不能构成三角形，与题意不符，所以，综上点C的轨迹方程为（）.【中】4. 一动圆与圆：外切，同时与圆：内切，则动圆圆心轨迹方程为（ ）A B C D【答案】C【解析】设动圆圆心为，半径为R，动圆与圆：外切，同时与圆：内切，因此该动圆是以圆心为中心，焦点在x轴上的椭圆，设椭圆方程为，故，解得，根据的关系可得，椭圆方程为，选C【中】5. 已知两个定圆，,它们的半径分别是2和3，且,动圆M与圆内切，又与圆外切，建立适当的直角坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.【答案】【解析】如图所示，以的中点O为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，由得，设动圆M的半径为r，则动圆M与圆内切
