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1、第18讲 圆锥曲线综合1.了解常见的圆锥曲线综合类型题；2.掌握利用韦达定理求解圆锥曲线问题的方法；3.强化圆锥曲线的计算推理能力和转化思想。1.运用韦达定理解决圆锥曲线问题是重点；2. 弦长公式和面积公式是重点；3.利用向量求解圆锥曲线问题是难点。_弦长问题一、涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长，设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|x2x1|y2y1|；二、涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解三、涉及中点中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式
2、相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用例1. （2012石景山一模）已知椭圆（）右顶点到右焦点的距离为，短轴长为（）求椭圆的方程； （）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若线段的长为,求直线的方程【答案】（）由题意， 解得即椭圆方程为 （）当直线与轴垂直时，此时不符合题意故舍掉； 当直线与轴不垂直时
3、，设直线的方程为：，代入消去得： 设 ，则 所以 ， 由， 所以直线或 【解析】弦长问题之经典题型练习1. （2013秋东城区期末）己知椭圆C：+=1（ab0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，斜率为1的直线l与椭圆C交于不同两点M，N（）求椭圆C的方程；（）设直线过点F（1，0），求线段MN的长；（）若直线l过点（m，0），且以MN为直径的圆恰过原点，求直线l的方程【答案】解：（）由题意：c=1，a=2，=，所求椭圆方程为 （4分）（）由题意，直线l的方程为：y=x1，代入椭圆方程，可得7x28x8=0，设M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，|MN
4、|=|x1x2|= （6分）（）设直线l的方程为y=xm，代入椭圆方程，消去y，整理得7x28mx+4m212=0直线l与椭圆C交于不同两点M，N，=64m247（4m212）0解得：m设M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1+x2=m，x1x2=，y1y2=，以线段MN为直径的圆恰好过原点，所以OMON，x1x2+y1y2=0，即+=0解得m=所求直线l的方程为y=x （10分）【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系
5、时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解例2. 已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【答案】D【解析】因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3，选D.练习1. （2017秋二中校级期末）经过点M（2，1）作直线l交椭圆于S、T两点，且M是ST的中点，求直线l的方程【答案
6、】4x3y+11=0【解析】解：设S（x1，y1）T（x2，y2），点M（2，1）是ST的中点，x1+x2=4，y1+y2=2，把S（x1，y1）T（x2，y2）代入2x2+3y2=12，得，2（x1+x2）（x1x2）+3（y1+y2）（y1y2）=0，8（x1x2）+6（y1y2）=0，=，直线l的方程：，整理，得4x3y+11=0中点弦问题通常采用点差法求解，主要考察“设而不求”的解题思想方法。面积问题一、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分
7、为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形二、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化三、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析四、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设为椭圆上一点，且，则（2）双曲线：设为椭圆上一点，且，则例3. 已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴
8、上，离心率为， 且点在该椭圆上（I）求椭圆的方程；（II）过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求圆心在原点且与直线相切的圆的方程 【答案】（I）设椭圆的方程为，由题意可得 , 又，所以 因为椭圆经过，代入椭圆方程有 解得 所以 ，故椭圆的方程为 （）当直线轴时，计算得到：，不符合题意 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：,由，消去y ，得 设，则又又圆的半径 所以 故 即平方分析，方程中只有和常数项，直接找系数就可以，得即，解得（舍) 所以，故圆的方程为： 【解析】面积问题的经典题型 练习1. （2017郑州三模）椭圆x25+y24=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N
9、，当FMN的周长最大时，FMN的面积是（）A55B655C855D455【答案】C【解析】解：设右焦点为F，连接MF，NF，|MF|+|NF|MN|，当直线x=a过右焦点时，FMN的周长最大由椭圆的定义可得：FMN的周长的最大值=4a=45c=5-4=1把c=1代入椭圆标准方程可得：15+y24=1，解得y=45此时FMN的面积S=122245=855故选：C面积关系，利用圆锥曲线的定义进行转化是解决本题的关键例4. （2016秋双流县校级期中）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率e=22，且点P（2，1）在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）若点A、B都在椭
10、圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上求AOB面积的最大值【答案】322【解析】解：（）由题意得：&e=ca=22&4a2+1b2=1&a2=b2+c2，解得a=6，b=3，椭圆C的方程为x26+y23=1；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），直线AB的斜率为k，则&x126+y123=1&x226+y223=1，两式作差可得x12-x226+y12-y223=0，得2x06+2y03k=0，又直线OP：y=12x，M在线段OP上，y0=12x0，解得k=1设直线AB的方程为y=x+m，m（0，3），联立&y=-x+m&x26+y23=1，得3x24mx+2m2
11、6=0，=16m212（2m26）=728m20，得3m3x1+x2=4m3，x1x2=2m2-63|AB|=1+(-1)2|x1-x2|=439-m2，原点到直线的距离d=|m|2，SOAB=12439-m2|m|2=23(9-m2)m2322当且仅当m=322（0，3）时，等号成立OAB面积的最大值322练习1. （2010石景山区一模）已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B（）求椭圆的方程；（）若m=1，且，求k的值（O点为坐标原点）；（）若坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值【答案】解：（）设椭圆的半焦距为c（c0），依题意解得由a2=b
12、2+c2，得b=1所求椭圆方程为（）m=1，y=kx+1设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程消去y并整理得（1+3k2）x2+6kx=0&，则=（6k）24（1+3k2）00&，解得k0故，x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=（）由已知，可得将y=kx+m代入椭圆方程，整理得（1+3k2）x2+6kmx+3m23=0=（6km）24（1+3k2）（3m23）0（*）=当且仅当，即时等号成立经检验，满足（*）式当k=0时，综上可知|AB|max=2当|AB|最大时，AOB的面积取最大值【解析】本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要综合运用椭圆的性质，需要熟练地掌握公式的灵活运用利用“点差法”求出点所在直线的斜率，设出直线方程，与椭圆方程联立，由弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求出原点到直线AB的距离，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得最值垂直问题垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设、是直线与曲线的两个交点，为坐标原点，(1)，则，(2) 若,则例5. （2016秋怀柔区期末）已知圆O：x2+y2=1的切线l与
