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1、 第3讲 椭圆基础1.掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程.3.掌握椭圆的简单几何性质.4.能利用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题.5.掌握椭圆离心率的概念及求解方法.1.掌握椭圆的定义与标准方程是重点2.掌握椭圆的简单几何性质是重点.3.能利用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题是难点.4.求解椭圆离心率是重点也是难点.椭圆的定义与标准方程一、椭圆的第一定义我们把平面内与两定点的距离和等于常数(）的点的轨迹叫做椭圆. 两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.用集合语言叙述为“,其中两点、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距”.椭圆定义需要注意以下几点：（1）必须在
2、平面内，这是椭圆定义的大前提；（2）到两定点的距离等于定长；（3）定长.特别提醒：当时，轨迹是椭圆；当时，轨迹是一条以为端点的线段；当时，轨迹不存在.二、椭圆的标准方程1、椭圆标准方程定义为了更方便的研究椭圆特征，我们根据焦点所在的位置建立相应的直角坐标系，使椭圆的焦点落在坐标轴上且关于原点对称，我们称具有这种特点的椭圆方程叫做椭圆标准方程.2、椭圆标准方程推导以焦点落在x轴上的椭圆为例进行推导，设点，.椭圆上的点满足,则根据两点间的距离公式可得，移项得，两边同时平方得，对此式展开后得，对此式进行移项得，合并同类项得，两边同除4得，移项得，两边平方得，展开得，合并得，变形得，令，得，两边同时除
3、以得椭圆的标准方程：.同理，可得焦点在轴上的椭圆标准方程为：.3、椭圆标准方程形式定义图形标准方程特别提醒：椭圆标准方程中和的分母哪个大，则焦点在哪个坐标轴上椭圆标准方程中三个参数满足例1在平面内有A、B两点，它们之间的距离为（1）若动点P与A、B两点间的距离和为定值，且大于6cm，则它的轨迹是_.（2）若动点P与A、B两点间的距离和为定值，且等于6cm，则它的轨迹是_.（3）若动点P与A、B两点间的距离和小于6cm，则它的轨迹_.【答案】（1）椭圆；（2）线段AB；（3）不存在.【解析】我们把平面内与两定点的距离和等于常数(大于）的点的轨迹做椭圆.当时，轨迹是椭圆；当时，轨迹是一条以为端点的
4、线段；当时，轨迹不存在.练习1在平面内有M、N两点，它们之间的距离为8cm，若动点P与M、N两点间的距离和为定值8cm，则动点P的轨迹是（ ）A.椭圆 B.圆 C.线段MN D.不存在【答案】C【解析】由题意得，轨迹是一条以M、N为端点的线段.练习2若点M到两定点，的距离之和为2，则点M的轨迹是（ ）A. 椭圆 B. 线段 C. 线段的中垂线 D. 直线【答案】B【解析】,点M只能在线段上运动，选B.椭圆定义是椭圆问题的根本，定义的核心是“两点（焦点）一定值”，利用椭圆第一定义判断轨迹方程时，需注意比较两定点与动点到两定点距离和的大小例2（2014.湖南师大附中测试）求焦点在坐标轴上，且经过和
5、两点的椭圆的标准方程【答案】【解析】方法一：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为，依题意有：，解得，所求椭圆方程为当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为，依题意有：，解得，不符合，方程组无解方法二：设椭圆方程为，由题意得：，解得，椭圆标准方程为练习1椭圆C中，焦点在x轴上，则椭圆的标准方程是（ ）A B C D【答案】C【解析】设椭圆方程为，由题意得：，椭圆的标准方程是，选C练习2椭圆C的两个焦点坐标分别是，并且椭圆C经过点，求椭圆C的标准方程【答案】【解析】首先判断出椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，由椭圆的定义可知，又，椭圆标准方程为方法不唯一待定系数法求椭圆标准方程步骤如下：（1）作
6、判断：依据条件判断椭圆焦点位置，是在x轴上还是在y轴上，或是在两个坐标轴上都有可能；（2）设方程：依据上述判断设方程、或；（3）寻关系：依据已知条件列式，建立关于的方程，或的方程组；（4）得方程：解方程组，代入所设方程即为所求例3（2012青岛师大附中检测）的三边长、成等差数列，且，建立适当的直角坐标系，求顶点B的轨迹方程【答案】【解析】以直线为x轴，AC的中点为原点，建立直角坐标系设,，则，点B的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且，所求椭圆的轨迹方程为练习1已知，是三角形ABC的两个顶点，且三角形ABC的周长等于20，求定点A的轨迹方程【答案】【解析】由题意得点A的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，设椭
7、圆的标准方程为，又由题意得，椭圆的标准方程为.练习2一动圆与圆：外切，同时与圆：内切，求动圆圆心轨迹方程.【答案】【解析】设动圆圆心为，半径为R，动圆与圆：外切，同时与圆：内切，因此该动圆是以圆心为中心，焦点在x轴上的椭圆，设椭圆方程为，故，解得，根据的关系可得，椭圆方程为用定义法求椭圆方程的思路：观察分析已知条件，看所求动点轨迹中的动点是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，根据题意直接求出椭圆方程中的参数用定义法求椭圆方程的好处在于避免了用直接法求轨迹方程的复杂运算椭圆的简单几何性质一、椭圆的简单几何性质标准方程图形性质焦点，焦距范围，对称性关于x轴和y轴对称；关于原点中心对称顶点左顶点，右
8、顶点上顶点，下顶点左顶点，右顶点上顶点，下顶点轴长长轴长：，短半轴长：；长半轴长：，短半轴长：离心率离心率的取值范围：.e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁.e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆.二、椭圆的通径及有关最值1、椭圆的通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长度为，由勾股定理推导可得，椭圆中的通径是通过焦点的最短弦.2、椭圆上的两个最值（1）椭圆上到中心距离最小的两个点是椭圆短轴的两个端点，到中心距离最大的点是椭圆长轴的两个端点.（2）椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点，距离最大值为，距离最小值为.例1椭圆
9、的长轴长是_，短轴长是_,焦距是_，焦点坐标是_,离心率是_.【答案】长轴长8；短轴长4；焦距；焦点坐标；离心率.【解析】将化为标准方程，椭圆的焦点在x轴上，；，长轴长为，短轴长为，焦距为，焦点坐标为，离心率.练习1已知椭圆的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m=（ ）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】先将椭圆化为标准方程，焦点在y轴上，；，长轴长为，短轴长为2，由题意得，解得.练习2已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是，另一个顶点是，则焦点坐标为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知椭圆的焦点在y轴上，且，则，椭圆的焦点坐标为，选D解决椭圆简单几何性质的
10、核心是充分理解椭圆的范围、轴长、焦距、顶点、焦点等概念，需要注意的是在求解时应先确认标准方程的类型，即焦点位置例2与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆方程是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】先将椭圆化为标准方程，所求椭圆方程可设为，又短轴长为，所以，椭圆方程为.练习1已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的标准方程为_.【答案】或【解析】根据题意得，或，又，即，若，则，解得，与题意不符，舍去，解得，,焦点位置没有确定，分情况讨论，当焦点在x轴上时，椭圆标准方程为；当焦点在y轴上时，椭圆标准方程为.练习2已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴
11、上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是9和3，则椭圆的方程是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，解得，椭圆方程为，选D.根据椭圆的几何性质求椭圆的方程仍然用待定系数法求解，不同之处在于：应由所给的几何性质充分挖掘a、b、c所满足的关系式，进而求出a和b，需要注意的是在求解时应先确认标准方程的类型例3两个正数1，9的等差中项是，等比中项是，且，则曲线的离心率是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】，选A 练习1若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则=（ ） A. B. C. D. 2【答案】D【解析】焦点在轴上，解得，选D.练习2已知矩形，则以，为焦点，且过，两点的椭圆的离
12、心率是（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可设，由题意可得，由椭圆的第一定义得，选A.若给定椭圆方程，则根据椭圆的焦点位置确定，求出的值，利用公式直接求解例4椭圆的两个焦点与它短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，又，.练习1设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】解法一：由于为等腰直角三角形，故有，得即，解得（舍去），因此.解法二：.练习2（2013.新课标全国）设椭圆C：的左右焦点分别是，P是C上一点，则C的离心率是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】方法一：由题意可设，结合条件可知，离心率，选D.方法二：由可知点P的横坐标为c，将代入椭圆方程可解得，.又由可得，故，变形可得，等式两边同时除以，得，解得或，选D. 若椭圆方程未知，则根据条件及几何图形建立满足的关系式，化为关于的方程，解出的关系或化为的方程求解例5（2013辽宁铁岭三模）已知,P是椭圆上一点，则的最大值为（
