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1、演练方阵第5讲 导数综合导数与函数之恒成立问题类型一:不等式恒成立问题考点说明：不等式恒成立问题转成最值问题，常用方法：“分离参量法”和“不分离参量”直接求解法。 【易】1. 已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围。【答案】【解析】即，设则 ， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 最小值实数的取值范围是。【易】2. 已知函数求在0,1上的极值；若对任意，不等式成立，求实数的取值范围。【答案】极大值；或。【解析】，令得（舍去），所以，当时，单调递增；当时，单调递减， 为函数在上的极大值.由得，或，设，依题意知或在上恒成立， ， ，与都在上单增，要使不等式成立，当且仅当或，即或 。【易】
2、3. 已知函数 若，且对时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】【解析】 ，且对时，恒成立，在恒成立。即.设.，当时, ，为增函数；当时, ,为减函数，所以，当时,函数在上取到最大值,且，所以,所以，所以实数的取值范围为.【易】4. 已知函数,（其中R,为自然对数的底数）. (1)当时,求曲线在处的切线方程； (2)当时,若关于的不等式0恒成立,求实数的取值范围。【答案】；.【解析】（1）当时，,切线方程为；（2）,设,0,0,在上为增函数,.又0恒成立,0,，,在上为增函数, 此时0恒成立, 【中】5. 已知函数（1）若函数在区间其中，上存在极值，求实数的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立
3、，求实数k的取值范围。【答案】（1）；（2）。【解析】因为，则，当时，；当时，所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，所以函数在处取得极大值因为函数在区间（其中）上存在极值，所以解得（2）不等式即为记所以，令，则， ，在上单调递增，从而，故在上也单调递增，所以，所以 【中】6. 已知二次函数的图象经过点，且不等式对一切实数都成立（1）求函数的解析式；（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）。【解析】（1）由题设知，令，解得，由题意可得，即，所以，即解得， 又恒成立，即恒成立，所以，且，即，所以，从而因此函数的解析式为 ；（2）由得，整理得 ，当即时，此不等式对一切
4、都成立的充要条件是，此不等式组无解当即时，矛盾，当即时，此不等式对一切都成立的充要条件是，解得 综合可知，实数的取值范围是【中】7. 设函数.若，求的单调区间；若当时，求的取值范围.【答案】在，单调增加，在(1，0)单调减少；。【解析】时，.当时;当时，;当时，.故在，单调增加，在(1，0)单调减少.令，则.若，则当时，为减函数，而，从而当时，即，符合题意.若，则当时，为减函数，而，从而当时0，即0,不合题意.综合得的取值范围为。【中】8. 已知函数，（1）设实数，求函数在上的最小值；（2）证明：对一切，都有成立【答案】当时， ；当时，；当时，；略。 【解析】（1），令得，当，单调递减，当，单
5、调递增当时，在单调递增，；当，即时，；当，即时，在单调递减， (2)问题等价于证明：，因为令得，知的最小值是，当且仅当时取得最小值，设，则，当时，单调递增；当时单调递减。故，当且仅当时取得最大值，所以且等号不同时成立，即，从而对一切，都有成立【难】9. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。【答案】（1）函数的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）。【解析】（1）， 由及得；由及得，故函数的单调递增区间是；单调递减区间是；（2）若对任意，不等式恒成立，问题等价于，由（1）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以；
6、，当时，；当时，；当时，；问题等价于 或 或解得 或 或 ，即，所以实数的取值范围是。【难】10. 已知函数求函数的单调区间;若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值.【答案】函数的单调递增区间为（1，0），单调递减区间为；. 【解析】函数的定义域是， 设则令则当时，在（1，0）上为增函数，当时，在上为减函数.所以在处取得极大值，而,所以，函数在上为减函数.于是当时，当时，所以，当时，在（1，0）上为增函数.当时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为（1，0），单调递减区间为；不等式等价于不等式由知，0，上式变形得，设，则则由结论知，即所以于是在上为减函数.故函数在上的最
7、小值为所以的最大值为类型二:函数恒成立问题考点说明：函数恒成立问题与不等式恒成立问题相似，函数恒成立问题可以等价转换成最值问题。【易】1.已知函数若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围。【答案】【解析】的定义域为(0，+)，由在定义域内单调递减知：在(0，+)内恒成立，令，则由当时为增函数当时，为减函数当时，取最大值故只需恒成立，又当时，只有一点x = e使得不影响其单调性【易】2. 已知函数，若在上恒成立，求的取值范围。【答案】【解析】欲使在上恒成立，只需在上恒成立，设，为增函数,，为减函数，时，是最大值只需，即 。【易】3. 函数若单调递增，求的取值范围【答案】【解析】 由得
8、 ，单调递增 恒成立，即，令 ，令得，令得，的范围为。【易】4. 已知函数，函数是区间-1，1上的减函数.（1）求的最大值；（2）若上恒成立，求t的取值范围；【答案】（1）的最大值；（2）。【解析】，在上单调递减， 在-1，1上恒成立，故的最大值为（2）由题意所以只需（其中），恒成立，令，则，恒成立，。【易】5. 已知三次函数的最高次项系数为，三个零点分别为，若函数在区间内单调递减，求的取值范围。【答案】或。【解析】在内单调递减， 在恒成立，或或。【易】6. 已知函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围。【答案】【解析】（1），即在上恒成立，设，当时，单调减，当时，单调增，所以时，有最大值，所
9、以。【中】7. 设函数在上是增函数， (1) 求正实数的取值范围；（2) 设，求证：【答案】(1) ；（2)略。【解析】（1）对恒成立，对恒成立，又为所求（2）取，由（1）知在上是增函数， 即另一方面，设函数， ，在上是增函数且在处连续，又，当时，即，综上所述，【中】8. 已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同用表示，并求的最大值；求证：当时，【答案】，；略。【解析】设与在公共点处的切线相同，由题意，即，由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为设，则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，
10、有，即当时，【中】9. 已知函数若函数在上为单调增函数，求的取值范围。【答案】【解析】因为 ，在上为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，当时，由得设所以，当且仅当，即时，有最小值2，所以 ，所以的取值范围是。【中】10. 已知函数在点的切线方程为.求函数的解析式；设，求证：在上恒成立。【答案】；略。【解析】将代入切线方程得.，化简得.，解得.由已知得在上恒成立，化简，即在上恒成立，设，. ，即在上单调递增，在上恒成立.【难】11. 已知函数的图象在点处的切线方程为.用表示；若在上恒成立，求的取值范围。【答案】【解析】，则有，解得.由知，令，则，当，若，则，是减函数，所以， ，故在上恒不成
11、立。时，若，故当时，。综上所述，所求的取值范围为。【难】12.已知函数（1）求函数的极值点。（2）若恒成立，试确定实数的取值范围。【答案】【解析】(1)的定义域为（1，+），.当时，则在（1，+）上是增函数。在（1，+）上无极值点.当时，令，则.所以当时，在上是增函数，当时，在上是减函数。时，取得极大值。综上可知，当时，无极值点；当时，有唯一极值点.(2)由(1)可知，当时，不成立.故只需考虑.由(1)知，若恒成立，只需即可，化简得：,所以的取值范围是.导数与函数能成立问题类型一:不等式能成立问题考点说明：不等式能成立问题转化为不等式有解问题。【易】1. 已知函数，当时，若，比较：与的大小。【
12、答案】【解析】令则，所以在1，+）上单调递增，.【易】2. 知函数（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）设（k0），对，使得成立，求的取值范围。【答案】；。【解析】（1），又切点为，所以切线方程为；（2），故函数在（0，1）上递增，在(1，+)上递减。于是，即的最大值为0，由题知：对使得成立，只须，因为为，所以只须，计算得出，故的取值范围为。【中】3. 设函数，（是实数，为自然对数的底数）若为其定义域内单调函数，求的取值范围；若在上至少存在一点，使得成立，求的取值范围。【答案】或；。【解析】因为要使为单调增函数，须恒成立，即恒成立，即恒成立，又，所以当时，在为单调增函数；要使为单调增函数，
13、须恒成立，即恒成立，即恒成立，又，所以当时，在为单调减函数，综上可得的取值范围为或。因为在上为减函数，所以，当时，由（1）知在上递减，不符合题意；当时，由（1）知在上递增，又为的减函数，故只需，即；当时，因为，所以不符合题意，综上，的取值范围。【中】4. 已知集合，集合 |已知函数，使成立，则AB=（）A. B.或 C. 或 D. 或 【答案】C【解析】集合，即，所以且，所以集合A=或，集合B，由题意知存在，使得，即，即，即的最大值，因为，所以当，所以在区间上单增，当时，所以在区间上单减，所以，所以集合，所以或。【难】5. 已知函数（1）求的极小值；（2）若在上为单调增函数，求的取值范围；（3
14、）设，若在（是自然对数的底数）上至少存在一个使得成立，求的取值范围。【答案】；。【解析】（1）由题意，当时，；当时，所以，在上是减函数，在上是增函数，故 （2），由于在内为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范围是； （3）构造函数，当时，由得，所以在上不存在一个，使得。 当时，因为，所以，所以在上恒成立，故在上单调递增，所以要在上存在一个，使得，必须且只需，解得，故的取值范围是 类型二:函数能成立问题考点说明：区间上函数不单调和函数在区间上存在单调区间都是函数能成立问题。【易】1.已知函数(为实常数).若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】【解析】不等式，可化为, 且等号不能同时取，所以，即，因而（），令（），又，当时，从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，故的最小值为，所以的取值范围是【易】2. 已知函数，为何值时，函数在区间上有零点。【答案】当时，函数在上有零点。【解析】问题等价于方程=0在上有实根，而=0，令，再令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，取得唯一的极大值也是的最大值当时，在上单调递减当时，故当时，函数在上有零点。 【中】3. 设函数，其中是自然对数的底数，求证：函数存在极值
