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1、基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制 此系统有一 两千个自由度 3D实体单元 多自由度振动系统 多自由度系统的运动微分方程 第二章 2 用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程 3 用影响系数法建立系统的运动微分方程 第一讲 第二章 多自由度系统的运动微分方程 建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述 1 多自由度系统运动微分方程的一般形式 建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述 回想单自由度系统运动微分方程的一般形式 多自由度系统运动微分方程的一般形式 Hamilton原理 主要适用于连续系统 建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述 2 系统运动微分方程的建立方法 牛顿第二定律 适用
2、于自由度不多的离散系统或简单的连续系统 动量矩定理 主要适用于自由度不多的离散系统 影响系数法 主要适用于自由度不多的离散系统 Lagrange方程法 主要适用于离散系统 有限单元法 离散系统 连续系统都适用 是一种最通用的建模方法 返回 用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程 1 直角坐标形式的牛顿第二定律 列写运动方程时要选定一个正方向 计算各力在正方向的投影 加速度的正负号是由合外力的正负决定的 因此在列写方程时只要用或或表示就可以了 2 用牛顿第二定律列写运动微分方程 用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程 受力分析时假定两质量块均沿着坐标的正方向运动 因为这样在受力分析时容易确定所受力的
3、大小和方向 不容易出错 根据牛顿第二定律 得到系统的运动方程 返回 用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程 1 总体思路 用影响系数法建立系统的运动微分方程 影响系数法 刚度影响系数 第个自由度产生单位位移 其他自由度位移为零时 需要在第自由度处沿着位移方向施加的力 用影响系数法建立系统的运动微分方程 2 刚度影响系数 例 用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵 用影响系数法建立系统的运动微分方程 刚度矩阵 用影响系数法建立系统的运动微分方程 柔度影响系数 第个自由度上作用单位力 其他自由度作用力为零时 在第自由度上产生的位移 用影响系数法建立系统的运动微分方程 3 柔度影响系数 例 用影响系数法写
4、出图示系统的柔度矩阵 用影响系数法建立系统的运动微分方程 用影响系数法建立系统的运动微分方程 4 阻尼影响系数 阻尼影响系数 第个自由度产生单位速度 其他自由度处的速度为零时 需要在第自由度处施加的力 质量影响系数 第个自由度产生单位加速度 其他自由度处的加速度为零时 需要在第自由度处施加的力 用影响系数法建立系统的运动微分方程 5 质量影响系数 此系统用刚度法方便还是柔度法方便 用影响系数法建立系统的运动微分方程 6 思考 能否对此系统实施柔度法 刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移 人为地增加了系统约束的数目 求解比较繁 柔度法维持原系统的约束 实施比较方便 特别是用实验来确定系统的
5、弹性性质时均采用柔度法 刚度法几乎不能实现 如果系统具有刚体运动自由度 则柔度法失效 但刚度法却可奏效 所以刚度法的应用范围比柔度法要大 用影响系数法建立系统的运动微分方程 7 小结 课堂练习 求图示摆的柔度矩阵 用影响系数法建立系统的运动微分方程 用影响系数法建立系统的运动微分方程 用影响系数法建立系统的运动微分方程 1 多自由度系统运动微分方程的一般形式 上次课内容回顾 2 用牛顿第二定律列写运动微分方程 受力分析时假定两质量块均沿着坐标的正方向运动 因为这样在受力分析时容易确定所受力的大小和方向 不容易出错 刚度影响系数 第个自由度产生单位位移 其他自由度位移为零时 需要在第自由度处沿着
6、位移方向施加的力 3 刚度影响系数 上次课内容回顾 柔度影响系数 第个自由度上作用单位力 其他自由度作用力为零时 在第自由度上产生的位移 4 柔度影响系数 5 刚度矩阵和柔度矩阵的关系 6 刚度法和柔度法的优缺点 上次课内容回顾 刚度法 优点 当系统具有刚体运动自由度时 刚度法仍可应用 因此适用范围广 缺点 刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移 人为地增加了系统约束的数目 求解比较繁 柔度法 优点 柔度法维持原系统的约束 实施比较方便 缺点 如果系统具有刚体运动自由度 则柔度法失效 第二讲 Lagrange方程的产生背景 2 利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程 3 课堂练习
7、第二章 多自由度系统的运动微分方程 Lagrange方程的产生背景 1 牛顿力学方程的缺陷 隔离体1的受力分析 隔离体2的受力分析 隔离体3的受力分析 刚体平面运动微分方程 见 理论力学 范钦珊主编 Lagrange方程的产生背景 隔离体3的受力分析 Lagrange方程的产生背景 Lagrange方程的产生背景 隔离体的受力分析 Lagrange方程的产生背景 法国科学家Lagrange 1736 1813 返回 Lagrange方程的产生背景 2 Lagrange方程的产生背景 18世纪机器工业的发展迫切需要对受约束的机械系统进行动力学分析 1788年 在 分析力学 中对力学提出了全新的叙
8、述方式 Lagrange力学 Lagrange方程避开了处理系统内部的约束反力 Lagrange方程的产生背景 利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程 约束方程不包含质点的速度 或者包含质点的速度 但约束方程是可以积分的约束称为完整约束 约束方程包含质点的速度且不可积分的约束称为非完整约束 唯一地确定质点系在空间的构型的独立坐标称为广义坐标 系统不存在粘性阻尼时 系统存在粘性阻尼时 1 完整约束系统的Lagrange方程的具体形式 利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程 2 利用Lagrange方程建立系统运动微分方程的步骤 判断系统的自由度数目 选定系统的广义坐标 以广义坐标
9、及广义速度来表示系统的动能 势能和耗散函数 3 用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点 不用做隔离体的受力分析 免去处理约束力 是建立复杂离散系统运动微分方程的首选方法 将以上各量代入Lagrange方程 即得到系统的运动方程 即可用于线性系统 也可用于非线性系统 利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程 4 例题 试求图示双摆系统的运动方程 解 选取和为广义坐标 取轴为重力势能零点 则系统的势能为 系统的动能为 利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程 利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程 由微振动假设 系统各个广义坐标和广义速度都可以看作是一阶小量 从而导出
10、的微幅振动方程也将精确到一阶小量 利用拉格朗日方程求系统的运动微分方程时 系统的能量要对广义坐标求一阶导数 求导后精度将降低一阶 所以在计算动能和势能的时候必须精确到二阶小量 方同著 振动理论及应用 利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程 5 微振动假设下的注意事项 6 思考 在微振动假设下 在用Lagrange方程列写系统的运动微分方程时有两种处理方式 在计算动能和势能时就将其精确到二阶小量 然后代入Lagrange方程 在计算动能和势能时不做任何处理 代入Lagrange方程后最后再化简 线性化 问 哪一种方式简便 为什么 利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程 7 例题
11、在微振动假设下 试求图示双摆系统的运动方程 系统的势能为 系统的动能为 利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程 耗散函数 势能 利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程 8 耗散函数的计算 耗散函数 试列出如下系统的耗散函数 弹性势能 利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程 返回 例1 建立图示系统的运动方程 解 取为广义坐标 则该系统的动 势能分别为 课堂练习 非保守外力在虚位移上所做虚功之和 课堂练习 例2 建立图示系统的运动方程 取小车的绝对位移和圆柱体的绝对位移为广义坐标 运动方程 课堂练习 例3 在微振动假设下建立图示系统的运动方程 取小车的绝对位移和摆的偏转角为广义坐标 课堂练习 求广义力 课堂练习 让摆锤在水平方向产生一个虚位移而在此虚位移下所做的虚功为 运动方程 课堂练习 第三讲 习题课 共1次
