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1、 现实生活中 如果某种变化着的现象具有周期性 那么它就可以借助三角函数来描述 1 6三角函数模型的简单应用 学生能够从实际问题中发现周期性变化的规律 把发现的规律抽象为恰当的三角模型 并解决相关的实际问题 知识与能力 让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学 建模 思想 从而培养学生的创新精神和实践能力 过程与方法 让学生切身感受数学建模的过程 体验数学在解决实际问题中的价值和作用 情感态度与价值观 用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题 重点 从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型 并调动相关学科的知识来解决问题 难点 例1 如图 某地一天从6时到14时的温度变化曲
2、线近似满足函数 2 写出这段曲线的函数解析式 1 求这一天的最大温差 解 1 观察图象可知 这段时间的最大温差是20 C 2 从图中可以看出 从6时到14时的图象是函数y Asin x b的半个周期的图象 所以 因为点 6 10 是五点法作图中的第四点 故 故 所求函数解析式为 例2 画出函数y sinx sinx的图象并观察其周期 解 函数图象如下 观察图象可知 函数y sinx sinx的的周期是2 拓展 画出函数的图象并观察其周期 例3 如图 设地球表面某地正午太阳高度角为 为此时太阳直射纬度 为该地的纬度值 那么这三个量之间的关系是 90 当地夏半年 取正值 冬半年 取负值 如果在北京
3、地区 纬度数约为北纬40 的一幢高为H的楼房北面盖一新楼 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡 两楼的距离不应小于多少 太阳光 解 如图 A B C分别太阳直射北回归线 赤道 南回归线时 楼顶在地面上的投影点 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡 应取太阳直射南回归线的情况考虑 此时的太阳直射纬度为 3 26 依题意两楼的间距应不小于MC 根据太阳高度角的定义 有 C 90 40 23 26 26 34 所以 即在盖楼时 为使后楼不被前楼遮挡 要留出相当于楼高两倍的间距 例4 海水受日月的引力 在一定的时候发生涨落的现象叫潮 一般地 早潮叫潮 晚潮叫汐 在通常情况下 船在涨潮时
4、驶进航道 靠近船坞 卸货后 在落潮时返回海洋 下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表 1 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系 并给出整点时的水深的近似数值 精确到0 001 2 一条货船的吃水深度 船底与水面的距离 为4米 安全条例规定至少要有1 5米的安全间隙 船底与洋底的距离 该船何时能进入港口 在港口能呆多久 3 若某船的吃水深度为4米 安全间隙为1 5米 该船在2 00开始卸货 吃水深度以每小时0 3米的速度减少 那么该船在什么时间必须停止卸货 将船驶向较深的水域 1 以时间为横坐标 水深为纵坐标 在直角坐标系中画出散点图 根据图象 可以考虑用函数 A 2 5
5、h 5 T 12 0 由 得 解 来刻画水深与时间之间的对应关系 从数据和图象可以得出 所以 这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值 2 货船需要的安全水深为4 1 5 5 5 米 所以当y 5 5时就可以进港 令 由计算器计算可得 解得 解 化简得 因为 所以有函数周期性易得 因此 货船可以在凌晨零时30分左右进港 早晨5时30分左右出港 或在中午12时30分左右进港 下午17时30分左右出港 每次可以在港口停留5小时左右 解 3 设在时刻x船舶的安全水深为y 那么y 5 5 0 3 x 2 x 2 在同一坐标系内作出这两个函数的图象 可以看到在6
6、时到7时之间两个函数图象有一个交点 通过计算可得在6时的水深约为5米 此时船舶的安全水深约为4 3米 6 5时的水深约为4 2米 此时船舶的安全水深约为4 1米 7时的水深约为3 8米 而船舶的安全水深约为4米 因此为了安全 船舶最好在6 5时之前停止卸货 将船舶驶向较深的水域 三角函数应用模型的三种模式 一是给定呈周期变化规律的三角函数模型 根据所给模型 结合三角函数的性质 解决一些实际问题 二是给定呈周期变化的图象 利用待定系数法求出函数模型 再解决其他问题 三是搜集一个实际问题的调查数据 根据数据作出散点图 通过拟合函数图象 求出可以近似表示变化规律的函数模型 进一步用函数模型来解决问题
7、 1 一台发电机产生的交流电的电压V和时间t之间关系的图象如下图所示 则电压V和时间t之间的函数解析式为 V 536sin100 t t 0 D 3 已知某海滨浴场的海浪高度y 米 是时间t 0 t 24 单位 时 的函数 记做 下表是某日各时的浪高数据 2 依据规定 当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放 请根据 1 的结论 判断一天内的上午8 00至18 00时这段时间内 有 个小时可供冲浪爱好者进行运动 6 1 根据以上数据 写出函数 的函数表达式 4 如图 摩天轮的半径为50m 圆心O点距地面的高度为60m 摩天轮做匀速转动 每3min转一圈 摩天轮上的点P的起始位置在最低点处 已知
8、在时刻t min 时点P距离地面的高度 II 求证 不论t为何值时 为定值 I 求在2006min时点P距离地面的高度 解 I 由题意可知 即 又 得 即点P距离地面的高度为85m II 由 I 知 故不论t为何值 都是定值 1 乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处 2 如CCTV 1新闻联播节目播出的周期是一天 3 可以上网下载有关人体节律的软件 利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线 它们都是正弦型函数图象 根据曲线不难回答题中的问题 A组 1 2 3 5 5天 约3 7等星 约4 4等星 4 先收集每天的用电数据 然后作出用电量随时间变化的图象 根据图象制定 消峰平谷 的电价方案 B组 1 略 2 略
