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1、 第七章 布莱克 舒尔斯期权定价公式的扩展 主要内容 布莱克 舒尔斯期权定价模型的缺陷交易成本波动率微笑和波动率期限结构随机波动率不确定的参数跳跃扩散过程 B S模型的缺陷 交易成本的假设波动率为常数的假设不确定的参数资产价格的连续变动 交易成本的影响 规模效应和交易成本差异化 即使是同一个投资者 在调整过程中 持有同一个合约的多头头寸和空头头寸 价值也不同 H W W交易成本模型 基本假设 投资者投资于欧式期权的组合而不仅仅是单个期权 整个投资组合的调整存在交易成本 投资者的组合调整策略事先确定 股票价格的随机过程以离散的形式给出 保值组合的预期收益率等于无风险银行存款利率 H W W模型推
2、导 构造无风险组合之后 整个组合价值的变化相应减少 要求交易成本项 关键要获得n值 显然 7 1 H W W模型推导 续 由Ito引理 根据无风险假设 有 将公式7 1 7 2代入7 3 得H W W模型 7 3 7 2 7 4 对H W W方程的理解 项在实际中具有深刻的金融含义的存在使得H W W方程大部分时候是一个非线性方程期权多头和空头价值的不一致性对于单个期权多头 H W W方程实际上是一个以为波动率的BS公式 交易成本的其他模型 期权组合中的值不是同一个符号的情形交易成本不是前述的简单结构 而是资产价格和调整数量的函数的情况W W模型 波动率微笑和波动率期限结构 人们通过研究发现
3、应用期权的市场价格和BS公式推算出来的隐含波动率具有以下两个方向的变动规律 波动率微笑 VolatilitySmiles 隐含波动率会随着期权执行价格不同而不同 波动率期限结构 VolatilityTermStructure 隐含波动率会随期权到期时间不同而变化 波动率微笑 对于货币期权而言 隐含波动率常常呈现近似U形 平价期权的波动率最低 而实值和虚值期权的波动率会随着实值或虚值程度的增大而增大 两边比较对称 股票期权的波动率微笑则呈现另一种不同的形状 即向右下方偏斜 当执行价格上升的时候 波动率下降 而一个较低的执行价格所隐含的波动率则大大高于执行价格较高的期权 货币期权的波动率微笑与分布
4、 股票期权的波动率微笑与分布 波动率期限结构 从长期来看 波动率大多表现出均值回归 即到期日接近时 隐含波动率的变化较剧烈 随着到期时间的延长 隐含波动率将逐渐向历史波动率的平均值靠近 波动率微笑的形状也受到期权到期时间的影响 大多时候 期权到期日越近 波动率 微笑 就越显著 到期日越长 不同价格的隐含波动率差异越小 接近于常数 波动率矩阵 意义和应用 波动率微笑和波动率期限结构的存在 证明了BS公式关于波动率为常数的基本假设是不成立的 至少期权市场不是这样预期的 因此放松波动率为常数的假设 成为期权理论发展的一个重要方向 目前主要有两种不同的策略 从期权市场出发的改良策略创新策略 随机波动率
5、模型 一般模型股票风险中性的随机波动率模型 Hull等 随机波动率对定价的影响 当波动率是随机的 且与股票价格不相关时 欧式期权的价格是BS价格在期权有效期内平均方差率分布上的积分值 在股票价格和波动率相关的情况下 这个随机波动率模型没有解析解 只能使用数值方法得到期权价格波动率随机性质的影响 也会因到期时间的不同而不同 GARCH模型 GARCH模型可以分为多种 其中最常见的是GARCH 1 1 模型 采用的形式 用最大似然估计法估计三个参数 和 可以进一步得到和的值 并可计算出特定时刻波动率的大小 7 5 不同时期的权重分布 对公式7 5的右边右边重复的迭代过程 可以得到 通过适当的变换
6、我们可以将式 7 6 写作由于 可得未来波动率的预期值为 7 6 不确定的参数 问题 现实生活当中存在着这样的问题 当参数价值是不确定的时候 如何为期权定价 解决方法 假设我们知道的这些参数位于某个特定的区间之内 之后考虑最悲观的情况下我们的期权至少值多少 用这样的假设和思路 我们不会计算出期权的某一特定价值 而会发现期权的价值也将位于某个区间之内 不确定的波动率 仍然构造无风险组合 组合价值 假设与考虑最糟糕的情况 可以确定期权的最低值 用公式表示 期权价值的下限 期权价值下限满足其中 且 期权价值的上限 期权价值上限满足 其中 不确定的利率 考察组合 假设 则 此时 我们选择的利率将依赖于
7、的符号 相应的方程为 其中 不确定的红利收益率 在连续支付红利的情况下 其推导过程很类似 在的假定下 只要解出 其中 跳跃扩散过程 所谓的跳跃扩散过程是普通的 路径连续的 扩散过程和一个在随机时刻发生跳跃的 跳跃幅度也是随机的 跳跃过程的结合 显然这种变化过程更能反映现实价格路径 对应的模型则可以认为是考虑资产价格有不连续的跳跃时对BS公式的推广 资产价格所遵循的跳跃扩散过程 使用连续布朗运动来反映连续扩散过程 同时引入泊松过程来描述资产价格的跳跃为泊松过程 定义为 根据Ito引理 可得 跳跃扩散过程的保值组合和期权定价 仍然考察组合 运用Ito引理 包含了跳跃的组合价值变化为如果时刻没有跳跃发生 则 那么我们就会选择来降低风险 如果有跳跃 则 我们仍然可以选择 包含了跳跃的期权定价公式 Merton于1976年提出了一个重要的思想 如果资产价格变化过程中的跳跃成分与整个市场无关的话 就属于可分散风险 可分散风险不应该获得期望收益这个假定 可以得到 跳跃扩散模型的理解 跳跃扩散模型确实反映了BS模型中忽略了的真实现象 但是它们在现实中却较少使用 BS公式仍然广泛使用 主要的三个原因是 参数预测很困难方程难以求解完全保值的不可能性
