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1、癞蛤蟆阿呆有收获的学数学 1 越努力 越幸运 满分之路系列三 导数技巧 不一样的导数从这本开始 主编 田伟锋 癞蛤蟆阿呆 math1573 有收获的学数学 1 越努力 越幸运 第二篇 导数真题篇 第一章 导数的几何意义 第第 01 讲讲 导数的导数的几何意义几何意义 题型 01 导数的几何意义之在点处的切线问题 题型 02 导数的几何意义之过点切线问题 题型 03 导数的几何意义之公切线问题 第二章 导数的应用 第第 02 讲讲 导数的应用之导数的应用之指对处理技巧指对处理技巧 第 02 1 节 导数的应用之指 对处理技巧 题型 04 导数的应用之对处理技巧 题型 05 导数的应用之指处理技巧
2、 第 02 2 节 指对混合型不等式处理 题型 06 函数不等式之凹凸反转法 题型 07 函数不等式之基本放缩 第第 03 讲讲 导数的应用之函数单调性 极值与最值导数的应用之函数单调性 极值与最值 题型 08 导数为一次型函数的单调性及最值 题型 09 导数为 次型函数的单调性及最值 题型 10 知函数的单调性求参 题型 11 利用导数研究函数的极值 题型 12 利用导数研究函数的二重最值 第第 04 讲讲 导数的应用之导数的应用之恒成立求参恒成立求参题型题型 第 04 1 节 恒成立求参之分类讨论 题型 13 恒成立求参之分类讨论 题型 14 恒成立求参之双任意存在问题 第 04 2 节
3、恒成立求参之端点效应 题型 15 恒成立求参之端点效应 题型 16 恒成立求参之必要性探路 题型 17 恒成立求参之矛盾区间应用 第 04 3 节 恒成立求参之分离参数 题型 18 恒成立求参之分离参数 第第 05 讲讲 导数的应用之导数的应用之隐极值点代换隐极值点代换 题型 19 导数的应用之隐极值点代换形式 题型 20 导数的应用之隐极值的值域问题 癞蛤蟆阿呆 math1573 有收获的学数学 2 越努力 越幸运 第第 06 讲讲 导数的应用之导数的应用之函数的零点函数的零点 题型 21 函数零点之知零点个数求参 题型 22 函数零点之由参谈论函数零点个数 第第 07 讲讲 导数的应用之导
4、数的应用之数列数列不等式不等式 题型 23 数列不等式之通项分析法 第第 08 讲讲 导数的应用之导数的应用之双变量双变量不等式不等式 题型 24 二元不等式证明之主元法 题型 25 极值点之韦达定理 题型 26 极值点之极值点偏移 导数 抽象导函数问题 逆构造解不等式 和差型导函数 积商型导函数 指数e x混合型 幂次x n混合型 求函数零点个数 求函数极值最值 恒成立求参 参变分离 分离函数 必要性探路 端点效应 分类讨论求最值 隐极值代换 双任意双存在问题 不等式证明 一元不等式证明 指对处理技巧 基本放缩 隐零点代换 凹凸反转 二元不等式证明 主元法 同构法 齐次式法 极值点偏移问题
5、对称构造 比值代换 差值代换 对数均值 指数均值 切线构造 数列不等式证明 函数零点问题 求函数零点个数 已知零点个数求参 找点技巧 函数极值最值 求函数极值最值 已知极值最值求参 极值最值范围问题 双重最值问题 函数单调性 常见函数图像 含参讨论单调性 一次型 二次型 因式分解型 不能因式分解 二次求导 已知单调性求参 可以参变分离 不能参变分离 几何意义 函数性质 导数的几何意义 在点切线 过点切线 距离最值 直线与曲线最短距离 对称曲线最短距离 公切线问题 公共切点 不同切点 自由主题 基础篇 进阶篇 癞蛤蟆阿呆 math1573 有收获的学数学 1 越努力 越幸运 第一讲 导数的几何意
6、义 一 知识纵横 1 在点 00 P xy处的切线方程基本步骤 1 S 确定切点 00 P xy 则 00 yf x 2 S 求导 fx 则 0 kfx 3 S 点斜式 000 yf xfxxx 2 过点 Q a b作函数 f x的切线方程基本步骤 1 S 确定切点 00 P xy 则 00 yf x 2 S 求导 fx 则 0 kfx 3 S 点斜式 000 yf xfxxx 4 S 将代入切线方程 则有关于的 0 x方程 000 bf xfxax 切线斜率存在时 切线条数 切点个数 根的个数 3 公切线问题一般有两种题型 1 共切点的公切线 已知两定曲线 f x g x有公共点 00 P
7、xy 并在此点有公切线方程 此类题目的求解是解方程 组 00 00 f xg x fxgx 2 不共切点的公切线 1 S 确定切点 设公切线与 yf x 的切点为 111 P x f x 2 S 求斜率 yfx 11 kfx 3 S 点斜式确定切线方程 则 yf x 的切线方程为 111 yfxxxf x 同理 设公切线与 yg x 的切点为 222 gP xx 则它的切线方程为 222 ygxxxg x 4 S 公切线应用 斜率相同 截距相等 即 12 111222 fxgx f xxfxg xx gx 注意事项 1 斜率不存在的切线 2 有可能出现 条切线对应多个切点的情形 也即切点数目可
8、以与切线条数不 致 4 癞蛤蟆阿呆 math1573 有收获的学数学 2 越努力 越幸运 二 典型例题 题型 1 函数在点的切线方程 例例1 2008 宁夏 海南 21 设函数 b f xax x 曲线 yf x 在点 2 2f处的切线方程为74120 xy 1 求 yf x 的解析式 2 证明 曲线 yf x 上任一点处的切线与直线0 x 和直线yx 所围成的三角形面积为定 值 并求此定值 癞蛤蟆阿呆 math1573 有收获的学数学 3 越努力 越幸运 例例2 2013 国 II 文 21 设函数 2ex f xx 1 求 f x的极小值和极大值 2 当曲线 yf x 的切线l的斜率为负数
9、时 求l在x轴上截距的取值范围 癞蛤蟆阿呆 math1573 有收获的学数学 4 越努力 越幸运 题型 2 导数的几何意义之过点切线问题 例例3 2009 国 I 文 21 设函数 42 36f xxx 1 讨论 f x的单调性 2 设点P在曲线 yf x 上 若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点 求l的方程 癞蛤蟆阿呆 math1573 有收获的学数学 5 越努力 越幸运 例例4 2007 国 II 理 22 设函数 3 f xxx 1 求曲线 yf x 在点 M t f t处的切线方程 2 设0a 如果过点 a b可作曲线 yf x 的三条切线 证明 abf a 癞蛤蟆阿呆 math157
10、3 有收获的学数学 6 越努力 越幸运 题型 3 导数的几何意义之公切线问题 例例5 2016 国 II16 若直线ykxb 是曲线ln2yx 的切线 也是曲线 ln1yx 的切线 则b 癞蛤蟆阿呆 math1573 有收获的学数学 7 越努力 越幸运 例例6 2019 国 II 理 20 设函数 1 ln 1 x f xx x 1 讨论 f x的单调性 并证明 f x有且仅有两个零点 2 设 0 x是 f x的一个零点 证明曲线lnyx 在点 00 lnxx处的切线也是曲线exy 的切线 癞蛤蟆阿呆 math1573有收获的学数学 1 越努力 越幸运 第 02 1 讲 指 对数处理技巧 一
11、知识纵横 1 对数处理技巧 在处理形如 lnf xxg x 的函数的零点问题或与 0 的大小比较问题时 我们通常将其转化为 ln g x f xx f x 研究 恰当的运 这 技巧可以减少求导的次数 提 解题效率 2 指数处理技巧 1 ee xx f xf xfx ee xx f xfxf x 2 在处理形如 exf xg x 的不等式问题时 我们通常将其转化为 e1 x f x g x 或 e1 x g x f x 来研究 此处以 0g x 为例 恰当的运 这 技巧可以减少求导的次数 提 解题效率 癞蛤蟆阿呆 math1573有收获的学数学 2 越努力 越幸运 二 典型例题 题型 9 导数的
12、应用之对处理技巧 例例1 2011 大纲 I 理 20 设函数 1 ln1f xxxx 1 若 2 1xfxxax 求a的取值范围 2 证明 10 xf x 癞蛤蟆阿呆 math1573有收获的学数学 3 越努力 越幸运 例例2 2011 新课标文 21 设函数 ln 1 axb f x xx 曲线 yf x 在点 1 1f处的切线方程为230 xy 1 求a b的值 2 证明 当0 x 且1x 时 ln 1 x f x x 癞蛤蟆阿呆 math1573有收获的学数学 4 越努力 越幸运 例例3 2011 新课标理 21 设函数 ln 1 axb f x xx 曲线 yf x 在点 1 1f处
13、的切线方程为230 xy 1 求 a b的值 2 如果当0 x 且1x 时 ln 1 xk f x xx 求k的取值范围 癞蛤蟆阿呆 math1573有收获的学数学 5 越努力 越幸运 题型 10 导数的应用之指处理技巧 例例4 设函数 ee ln x f xxx 1 求曲线 yf x 在点 1 1f处的切线方程 2 求证 2 ef xx 癞蛤蟆阿呆 math1573有收获的学数学 6 越努力 越幸运 例例5 设函数 ln1f xxax 1 讨论 f x的单调性 2 若 0 x 0f x恒成立 求实数a的取值范围 3 求证 当 0 x 时 eln10 x xxx 癞蛤蟆阿呆 math1573有
14、收获的学数学 7 越努力 越幸运 例例6 设函数 exa f x x 1 若 f x在 0 上为增函数 求实数a的取值范围 2 当1a 时 求证 1m lnf xxxm 癞蛤蟆阿呆 math1573有收获的学数学 8 越努力 越幸运 例例7 设函数 exf x g xmxn 1 设 h xf xg x 当0n 时 若函数 h x在 1 上没有零点 求m的取值范围 2 设函数 1nx x f xg x 且 40nm m 求证 当0 x时 1x 癞蛤蟆阿呆 math1573有收获的学数学 9 越努力 越幸运 例例8 2010 年大纲 2 卷 22 设函数 1 e x f x 1 证明 当1x 时
15、1 x f x x 2 若 0 x 1 x f x ax 恒成立 求a的取值范围 癞蛤蟆阿呆 math1573有收获的学数学 1 越努力 越幸运 第 02 2 节 指 对数混合处理技巧 一 知识纵横 1 基本方法 1 指 对数处理技巧 2 隐零点代换 3 放缩法 4 凹凸反转 2 基本放缩 1 对数函数基本放缩 1 1ln1x x x ln 1xx 1 ln e xx 2 对数均值不等式ab lnln2 abab ab ab 对数均值不等式常用变式 2111 ln 01 21 2111 ln 1 12 x xxx xx x xxx xx 3 指数函数基本放缩 e1 x x ee x x e e
16、 n x x n 1 e0 1 x x x 1 e0 x x x 2 1 e10 2 x xxx 23 11 e1 26 x xxx 癞蛤蟆阿呆 math1573有收获的学数学 2 越努力 越幸运 二 典型例题 题型 13 函数不等式之主元法 例例1 2018 国 III 文 21 设函数 2 1 ex axx f x 1 求曲线 yf x 在点 0 1 处的切线方程 2 证明 当1a时 e 0f x 癞蛤蟆阿呆 math1573有收获的学数学 3 越努力 越幸运 例例2 2018 国 I 文 21 设函数 eln1 x f xax 1 设2x 是 f x的极值点 求a 并求 f x的单调区间 2 证明 当 1 e a时 0f x 癞蛤蟆阿呆 math1573有收获的学数学 4 越努力 越幸运 例例3 2013 国 II 理 21 设函数 eln x f xxm 1 设0 x 是 f x的极值点 求m 并讨论 f x的单调性 2 当2m时 证明 0f x 癞蛤蟆阿呆 math1573有收获的学数学 5 越努力 越幸运 题型 14 函数不等式之凹凸反转法 例例4 2014 国 1 理 2
