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1、（一）等积变换模型性质与应用简介导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块等积变换模型。等积变换模型例题讲解与课后练习题（一）例题讲解与分析【例1】：如右图，在ABC中，BE=3AE，CD=2AD若ADE的面积是1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少？【解答】连接BD,SABD和S AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4，SABD和SABC同高面积比等于底边比，三角形ABC的面积是ABD的3倍，是12.【总结】要找准那两个三角形的高相同。【例
2、2】：如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？【解答】SADO=5,SDOC=4根据结论2，ADO与DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理SAOB/SBOC=AO/OC=5:4,因为SAOB=15所以SBOC=12。【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会一下。（二）课后练
3、习题讲解与分析（二）鸟头定理（共角定理）模型导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块鸟头定理（共角定理）模型。不管什么样的鸟头，以小三角形和大三角形共同的一条边为底分别做小三角形和大三角形的高，这个高和另外一边同比（考虑成相似的两个直角三角形），面积比=底比*高比=底边比*对边比（三）蝴蝶定理模型 导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五
4、大模型第三块蝴蝶定理模型。 蝴蝶定理模型练习题【练习1】：在直角梯形ABCD中，AB=15厘米，AD=12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。梯形ABCD的面积是多少平方厘米？【解答】：连接AE,根据蝴蝶定理可得SAEF=S阴=15，因为SABC=15122=90,所以SABF=9015=75再次用蝴蝶定理可求SEFC=151575=3所以SABCD=1215+15+3=198【练习2】：如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为多少？【解答】：本题中小正方形的
5、位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况。解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为6*1.5/2*4+2*2=22，阴影部分的面积为6*6-22=14。解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为2：6=1：3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的9/16，阴影部分的面积占该梯形面积的7/16，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的7/16，那么阴
6、影部分的面积为14。 【例】已知正方形的面积是120平方厘米，B、E为正方形边上的中点，求题中阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析】由巩固可知BAEG的面积为整个正方形面积的五分之一为：1205=24(平方厘米)，由此对于阴影部分的面积可以有两种求法.方法一：连接FE由图可知BAF、AEF和EFC的面积相等，又因为ABC的面积为1204=30(平方厘米)，所以BAF、AEF和EFC的面积为：303=10(平方厘米)，所以阴影部分的面积为：24-10=14(平方厘米).方法二：本题用沙漏也可以解答能看见BAF和CDF是沙漏(形象演示)AB:CD=BF:FC=1:2所以以BF为底的三角形ABF占整
7、个三角形的1/3,为301/3=10(平方厘米).所以阴影面积为：24-10=14(平方厘米). （五）燕尾定理模型 导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，最后一期我们讲解一下五大模型最后一个燕尾定理模型。【练习】：已知：如图，D、E分别是ABC的边AB和AC的中点，F是DE的中点。求DFG的和四边形AEFG的面积的比是多少？【解析】因为F为DEF的中点，所以CFD=CEFAFE=AFD因为E为AC的中点，所以CEF=AEF所以CFD=CEF=AEF所以CFA:CFD=2:1根据燕尾定理：AGF:DGF=CFA:CFD=2:1所以DFG：AEFG=1：（2+1+2）=1：511
