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1、第三篇 对称性与不变性对称性的重要意义:伽利略变换下的不变性牛顿力学的基石之一。 洛仑兹变换下的不变性相对论的基石之一。对称性守恒律(量)21世纪的重大问题之一:理论越来越对称,实验越来越多地发现不对称 “矛盾”?!(参见李政道物理学的挑战)本篇主要内容:1、转动对称性问题自旋与角动量;2、粒子交换对称性问题全同粒子问题;3、时空交换对称性问题对称性与守恒律问题。第八章 自旋与角动量8.1 电子自旋1925年实验提出1928年相对论波动力学自动从理论上引入量子力学。自旋 描述微观粒子特征的基本物理量。一、 关于自旋的实验事实(原子物理已讨论) 纳黄线的精细结构;复杂(反常)塞曼效应;斯特恩-盖
2、拉赫实验。为了解释实验现象,引入新的自由度(在内禀空间中)。二、乌伦贝克-哥德斯密特假设1、 每个电子具有自旋角动量,它在空间任何方向上(取作z轴)的投影只能取两个值 。2、 每个电子的自旋磁矩与自旋角动量的关系为 。 自旋磁矩与自旋角动量的比值称电子自旋的回转磁比率: 朗德因子。与轨道角动量的回转比率比较: 朗德因子,知。注意:轨道角动量有经典对应 ,自旋角动量没有经典对应。如果设想为经典自转违背相对论。自旋是内禀自由度(对经典讲,是全新的概念)8.2 自旋算符与自旋波函数问题:自旋算符如何定义?自旋如何描述?基本思路 由对易关系定义算符。(无经典对应)已知“轨道”: 。一、自旋算符的对易关
3、系及自旋算符的本征值定义: 实验表明:。类比: 角量子数。有 自旋量子数。二、泡利算符的对易关系及泡利算符的本征值令 泡利算符 。反对易关系: 。易知 三、自旋算符在表象的矩阵表示表象中 。现在求: 令 : 。:。: , 取最简形式,有 。这样自旋算符的矩阵表示就全部求出: 相应的泡利矩阵为: 四、电子自旋波函数取-表象:有 即, 。取有 ,构成正交归一完备集。任一自旋波函数可以展开成 。其中, 电子自旋向上的几率;电子自旋向下的几率。归一化要求有 。 引导学生自学教材P290-293的例题1-3。例:教材P294 例4。(只讲思路,不讲计算细节) 求的本征函数和本征值。求该本征态中的可能值、
4、相应几率和平均值。解: 。本征值方程为 。由久期方程 。将代入方程求a,得 由归一化条件,得 。于是有。同理得。将用展开 ,的几率;的几率。于是有。同理讨论的相关问题。作业:习题8.2、2,3,4,6。8.3 泡利方程 磁共振(重点讲清思路,不推导细节)一、考虑自旋后的电子波函数 将用展开,系数为的函数:。二、考虑自旋后的力学量算符一般形式: 。三、泡利方程将有电磁场的S-方程推广到包含自旋的情况。自旋磁矩 泡利方程。四、用分离变量法求解泡利方程令 。设 定态。(关于,前面已经讨论,本章注意力在自旋问题)五、顺磁共振和核磁共振1、自由电子在均匀恒定磁场中的运动: 守恒,电子的自旋状态要发生变化
5、(高能态低能态),必然要与外界交换能量。2、再加上正弦场: 。令 ,由可得 。3、电子自旋共振: 若t=0时,电子处于自旋向下态,即 。当外场(称为拉莫频率)时,有。此式表明,当 时,电子自旋向上的几率为1,自旋向下的几率为0。比较: z轴反转,能级跃迁。 可见,在半周期,与外界交换能量。这种在静磁场作用下,电子的磁能级分裂,并在弱交变磁场的作用下所引起的共振吸收和共振发射的现象,称为电子自旋共振。可用类似的方法讨论核磁共振(自学教材或参考有关文献)。8.4 角动量算符的基本性质(一般性讨论 代数法的实例)一、角动量算符的定义式: 。二、角动量算符的本征值谱 设 1、引入新算符一系列对易关系
6、见教材P307 (9)(10)(11)。由此可得2、的本征值为 设m的上限为j,则 。 相邻的: 。可见 是的本征矢,本征值为,即有 。 同理有 。 个。3、的本征值为j为m的最大值,将作用于,并利用,有j的取值范围:设m有N个值,且已知 ,可见,j取零、整数和半整数。如轨道角动量j=l,电子自旋角动量。三、表象中角动量的矩阵表示已知 。问题: 由 (1) (2)的非零矩阵元为 对(1)式两边取共轭:,两边同乘以(1)式:,取实部 。非零矩阵元 ,取共轭 。再利用与的关系,得到非零矩阵元:,。作业:习题8.3、1,2,4;习题8.4、3。8.5 两个角动量的相加一、总角动量算符及其对易关系。二
7、、总角动量的本征值与本征矢1、无耦合表象与耦合表象 无耦合表象:以的共同本征态为基矢,记,有 耦合表象:以的共同本征态为基矢,记,有2、两种表象基矢之间的关系 C-G系数 将用展开 给定: 称为C-G系数,它是由“无耦合表象”到“耦合表象”的么正矩阵元。只要知道了C-G系数,就可以建立起两种基矢的关系。*三、C-G系数的求法及应用1、C-G系数不为零的条件(我们只给出结果,证明见教材);。2、C-G系数的计算,C-G系数表(计算非常复杂,实用中可直接查表略)。*8.6 光谱的精细结构耦合:能级分裂精细结构(同样的n,l,能级有两个)。*8.7 复杂(反常)塞曼效应弱磁场中:分裂数不是三个,间隔
8、也不尽相同。复杂(反常)塞曼效应8.8 自旋单态与三重态一、总自旋角动量及其对易关系。对于电子,。二、的共同本征态取为力学量完全集:,。的共同本征态有4个:,。取为力学量完全集,显然,都是的本征态,本征值分别为。问题是,它们是否是的本征矢?是的本征矢。证: 。而 , ,。 。同理可证明 。由 ,记的共同本征态为,则。不是的本征矢(自证)。但可以把的这两个本征态叠加,构成的本征态:令 ,要求 ,可得。由归一化条件 小结列表的共同本征态 S 1 1 1 0 三重态(对称) 1 -1 0 0 单态(反对称)作业:习题8.5、4,5;习题8.8、1,2,3。第九章 全同粒子9.1 全同性原理 全同粒子
9、体系的波函数一、全同粒子与全同性原理全同粒子:固有(内禀)性质(质量,电荷,自旋,)完全相同的粒子。量子力学中,全同粒子不可区分(经典可用轨道区分)全同性原理: 在全同粒子中,两全同粒子相互交换不改变体系的状态“全同性”不只是一个抽象的概念,它是一个可观测量见后面的讨论。(在量子力学中的粒子,要么“全同”,要么“很不同”。)二、的交换对称性交换算符。对两粒子体系,如氦原子中的两个电子:,显然,具有交换不变性交换对称性。推广到一般情况N个全同粒子组成的体系,具有交换不变性交换对称性 是一个守恒算符。三、波函数的交换性设 描述N个全同粒子组成的体系 。由全同性原理知与描述同一状态,即 。即交换对称
10、性全同粒子体系的波函数对粒子交换具有一定对称性:对称波函数;反对称波函数。守恒这种对称性不随时间而变化。四、波函数的交换对称性决定于粒子的自旋实验表明: 自旋为的半整数倍 费米子波函数是反对称的;自旋为的整数倍 玻色子波函数是对称的。五、全同费米体系的波函数 泡利不相容原理先以两粒子为例 忽略相互作用,如何由单粒子波函数构成体系的波函数? 有交换简并。问题:能用作为体系波函数吗?否!不满足反对称要求,必须反对称化:若两粒子处于同一状态,即 泡利不相容原理(1925)。可推广到N个粒子组成的体系 见教材:繁而不难,这种表述不便。实际应用将采用“二次量子化”处理 用“粒子数表象”。因全同粒子体系
11、只数“数”,不标粒子坐标(不可区分)。六、全同玻色子体系的波函数以两粒子为例 波函数要对称化。1、 当时:。2、 当时:。推广到N个粒子体系的波函数请自学教材(略讲) 数学的排列组合问题。七、全同粒子体系的总波函数忽略自旋-轨道耦合:。波函数的交换对称性总波函数 空间波函数 自旋波函数费米子 反对称 对称 反对称 反对称 对称 玻色子 对称 对称 对称 反对称 反对称对二电子体系,总波函数的四种形式见教材P345。引导同学们自学教材中的例题 重点是P349 例2 如何构成总波函数。例:教材习题9.1、5 说明“全同性”是可以“观测”的。解: 没有交换对称性。两粒子的波函数可表为:。令,上式可化成 ,略去与本题无关的质心运动部分,相对运动部分的波函数为在的球壳中找到另一个粒子的几率为 几率密度。 交换反对称波函数。,这样,反对称的相对运动波函数可表为。由此可算出 。 交换对称波函数。类似可以求得。作业:习题9.1、1,2,4。9.2 氦原子 仲氦和正氦(应用实例)* 分子的形成一、:。