《2020年福建省龙岩市等六校高二（下）期中数学试卷解析版（理科）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年福建省龙岩市等六校高二（下）期中数学试卷解析版（理科）（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 14 页 期中数学试卷 期中数学试卷 题号一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 若复数为虚数单位 是纯虚数 则实数 a 的值为 A 2B 4C 6D 6 2 函数 f x ex 1 在点 0 f 0 处的切线方程为 A y x 1B y x 2C y 2x 1D y 2x 2 3 函数 f x 2x2 lnx 的递增区间是 A B 和 C D 和 4 函数 y f x 的图象如图所示 则导函数 y f x 的图象 的大致形状是 A B C D 5 计算 cosx ex dx 为 A eB e 2C eD e 6 用数学归纳法证明不等式 n 1
2、 n N 的过程中 从 n k 到 n k 1 时左边需增加的代数式是 A B C D 7 已知函数在处取极值 10 则 A 4 或B 4 或C 4D 8 如图是美丽的 勾股树 它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而 得到 图一是第 1 代 勾股树 重复图一的作法 得到图二为第 2 代 勾股树 以此类推 已知最大的正方形面积为 1 则第 n 代 勾股树 所有正方形的面积 的和为 第 2 页 共 14 页 A nB n2 1C n 1D n 2 9 一辆汽车在高速公路上行驶 由于遇到紧急情况而刹车 以速度 v t 11 3t t 的单位 s v 的单位 m s 行驶至停止 在此期间汽车
3、继续行驶的距离 单位 m 是 A 4 25ln5B C D 10 我国古代数学名著 九章算术 的论割圆术中有 割之弥细 所失弥少 割之又 割 以至于不可割 则与圆周盒体而无所失矣 它体现了一种无限与有限的转化 过程 比如在表达式中 即代表无限次重复 但原式却是个定值 它可以通过方程求得 类似上述过程 则 A B 3C 6D 11 函数 f x 在 2 2 的最大值为 2 则 a 的取值范围是 A B 0 ln2 1 C 0 D ln2 1 12 已知 f x 是定义在 0 上的增函数 其导函数 f x 满足 则下列结论正确的是 A 对于任意 x 0 f x 0 B 对于任意 x 0 f x 0
4、 C 当且仅当 x 1 f x 0 D 当且仅当 x 1 f x 0 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 在复平面内 复数 对应的点的坐标为 14 如图 在边长为 1 的正方形中随机撒一粒黄豆 则它落 在阴影部分的概率为 第 3 页 共 14 页 15 定义 A B B C C D D B 依次对应如所示的 4 个图形 那么以下 4 个图形中 可以表示 A D 的是 填与图形对应的序号 16 任意 x 1 e 使得 x alnx a 0 成立 则 a 的取值范围是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 0 分 17 设复数 z1 2 ai 其中 a R z2 3 4i
5、若 z1 z2是实数 求 z1 z2的值 若 是纯虚数 求 z1 18 已知函数 其中 a b R 若曲线 y f x 在点 P 2 f 2 处的切线方程为 y 5x 4 求函数 f x 的解析式 当 a 0 时 讨论函数 f x 的单调性 第 4 页 共 14 页 19 如图 在三棱锥 P ABC 中 PB 面 ABC ABC 是直角三 角形 B 90 AB BC 2 PAB 45 点 D E F 分 别为 AC AB BC 的中点 求证 EF 面 PBD 求二面角 E PC B 的余弦值 20 某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时 发现以下三个式子均是正 确的 请从以上三个式子
6、中任选一个 根据 1 73 1 74 2 23 2 24 验证其正确性 注 意不能近似计算 请将此规律推广至一般情形 并证明之 21 已知函数 f x ax ex a R g x 讨论函数 y f x 的零点个数 x 1 不等式 f x g x ex恒成立 求 a 的取值范围 22 已知函数 f x xcosx sinx x 求证 f x 0 第 5 页 共 14 页 若 a对 x 恒成立 求 a 的最大值与 b 的最小值 第 6 页 共 14 页 答案和解析答案和解析 1 答案 D 解析 解 若复数为虚数单位 复数是一个纯虚数 a 6 0 a 6 经验证成立 故选 D 首先进行复数的除法运算
7、 分子和分母同乘以分母的共轭复数 把复数整理成最简形式 根据复数是一个纯虚数 得到复数的实部等于 0 而虚部不为 0 得到结果 本题考查复数的基本概念 考查复数的除法运算 考查复数是一个纯虚数 要求实部为 零 而虚部不为 0 本题是一个基础题 2 答案 B 解析 解 函数 f x ex 1 可得 f x ex f 0 1 f 0 2 故切线方程是 y 2 x 0 整理为 y x 2 故选 B 求出函数的导数 计算 f 0 f 0 求出切线方程即可 本题考查了切线方程问题 考查函数的单调性 最值问题 是一道中档题 3 答案 C 解析 解 函数的定义域为 0 f x 4x 由 f x 0 解得 x
8、 故函数 f x 2x2 lnx 的递增区间是 故选 C 利用导数判断函数的单调性求得单调区间即可 本题考查利用导数求函数的单调区间知识 属基础题 4 答案 D 解析 分析 本题考查了函数的图象 考查了函数的单调性和导函数的函数值符号间的关系 是基础 题 由原函数的单调性得到导函数的函数值的符号 由此逐一核对四个选项即可得到答案 解答 解 因为函数 f x 的图象先减后增 然后为常数函数 第 7 页 共 14 页 所以对应的导函数的值先负后正 最后等于 0 由此可得满足条件的图象是 D 故选 D 5 答案 A 解析 解 cosx ex dx sinx ex sin0 e0 1 1 故选 A 根
9、据定积分的知识 直接积分即可 本题考查了定积分 考查对简单的被积函数的定积分问题 属于基础题 6 答案 B 解析 解 当 n k 时 左边的代数式为 当 n k 1 时 左边的代数式为 故用 n k 1 时左边的代数式减去 n k 时左边的代数式的结果为 故选 B 求出当 n k 时 左边的代数式 当 n k 1 时 左边的代数式 相减可得结果 本题考查用数学归纳法证明不等式 注意式子的结构特征 以及从 n k 到 n k 1 项的变 化 7 答案 C 解析 解 函数 f x x3 ax2 bx a2在 x 1 处取极值 10 f x 3x2 2ax b 且 解得 a 4 b 11 或 a 3
10、 b 3 a 3 b 3 时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 根据极值的定义知道 此时函数 f x 无极值 a 4 b 11 时 f x 3x2 8x 11 令 f x 0 得 x 1 或 符合条件 a 4 故选 C 根据函数 f x 在 x 1 处取极值 10 得 由此求得 a b 的值 再验证 a b 是否符合题意即可 本题考查了极值的定义与应用问题 解题时求出 a b 后须验证对应的函数是否有极值 8 答案 C 解析 解 第 1 代 勾股树 中 正方形的个数 3 21 1 1 3 个 如图一 设直角三角形的三条边长分别为 a b c 根据勾股定理得 a2 b2 c2 所有正
11、方形的面积之和为 2 1 1 1 第 2 代 勾股树 中 正方形的个数 7 22 1 1 第 8 页 共 14 页 如图二 所有的正方形的面积之和为 3 2 1 1 以此类推 第 n 代 勾股树 所有正方形的个数为 2n 1 1 第 n 代 勾股树 所有正方形的面积的和为 n 1 1 n 1 故选 C 第 1 代 勾股树 中 正方形的个数 3 所有正方形的面积之和为 2 1 1 1 第 2 代 勾股树 中 正方形的个数 7 所有的正方形的面积之和为 3 2 1 1 以此类 推 第 n 代 勾股树 所有正方形的个数为 2n 1 1 第 n 代 勾股树 所有正方形的面 积的和为 n 1 本题考查正
12、方形的性质及勾股定理的应用 考查归纳推理等基础知识 考查运算求解能 力 推理论证能力 归纳总结能力 是中档题 9 答案 C 解析 解 令 V t 0 可得 11 3t 0 解得 t 舍 或 t 5 此期间汽车继续行驶的距离为 11 3t dt 11t 24ln 1 t 24ln6 故选 C 求出刹车时间 再利用定积分的几何意义得出刹车距离 本题考查了定积分的意义与定积分计算 属于中档题 10 答案 A 解析 解 由已知代数式的求值方法 先换元 再列方程 解方程 求解 舍去负根 可得要求的式子 令 m m 0 则两边平方得 则 3 m2 即 3 m m2 解得 m 或 m 舍去 故选 A 通过已
13、知得到求值方法 先换元 再列方程 解方程 求解 舍去负根 再运用该方 法 注意两边平方 得到方程 解出方程舍去负的即可 本题考查类比推理 考查代数式求值 函数性质等基础知识 考查运算求解能力 推理 论证能力 归纳总结能力 属于基础题 11 答案 D 解析 解 由题意 当 x 0 时 f x 2x3 3x2 1 可得 f x 6x2 6x 解得函数 f x 在 1 0 上导数为负 在 1 上导数为正 故函数 f x 在 2 0 上的最大值为 f 1 2 要使函数 f x 在 2 2 的最大值为 2 则当 x 2 时 e2a 1的值必须小于等于 2 即 e2a 1 2 解得 a ln2 故选 D
14、第 9 页 共 14 页 运用导数 判断函数在 x 0 时 f x 的单调性 求得当 x 2 0 上的最大值为 2 欲 使得函数 f x 在 2 2 上的最大值为 2 则当 x 2 时 e2a 1的值必须小于等于 2 从 而解得 a 的范围 本题主要考查函数单调性的应用 函数最值的应用 不等式的解法等基础知识 考查运 算求解能力 考查化归与转化思想 属于中档题 12 答案 B 解析 解 f x 是定义在 0 上的增函数 f x 0 其导函数 f x 满足 f x 0 于是不等式化为 2xf x x2f x f x 0 令 g x x2 1 f x g 1 0 则 g x 2xf x x2f x
15、 f x 0 g x 在 0 上单调递增 x 1 时 g x g 1 0 f x 0 0 x 1 时 g x g 1 0 f x 0 由 2xf x x2f x f x 0 2f 1 0 解得 f 1 0 综上可得 x 0 f x 0 故选 B f x 是定义在 0 上的增函数 可得 f x 0 其导函数 f x 满足 可得 f x 0 于是不等式化为 2xf x x2f x f x 0 令 g x x2 1 f x g 1 0 可得 g x 2xf x x2f x f x 0 g x 在 0 上单调递增 进而得出结论 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值 不等式的解法 构造法 转化法
16、 考查了推理能力与计算能力 属于难题 13 答案 1 1 解析 解 复数在复平面上对应的点的坐标是 1 1 故答案为 1 1 首先进行复数的除法运算 分子和分母同乘以分母的共轭复数 分子和分母进行复数的 乘法运算 得到最简形式即复数的代数形式 写出复数对应的点的坐标 本题考查复数的代数形式的乘除运算 考查复数在复平面上对应的点的坐标 要写点的 坐标 需要把复数写成代数形式的标准形式 实部做横标 虚部做纵标 得到点的坐标 14 答案 解析 解 由题意结合定积分的几何意义可得阴影部分的面积为 S 由几何概型计算公式可得 黄豆落在阴影部分的概率为 p 故答案为 利用定积分求得阴影部分的面积 然后利用几何概型计算公式求解 第 10 页 共 14 页 本题考查定积分的几何意义 几何概型计算公式等 重点考查学生对基础概念的理解和 计算能力 属于中档题 15 答案 2 解析 解 由定义 A B B C C D D B 依次对应如所示的 4 个图形可知 A 对应 的图象为竖直的直线 B 对应的图象为大矩形 C 对应的图象为水平的直线 D 对应的 图象为小矩形 即可以表示 A D 的是 2 故答案为 2
