2020年河南省豫南六市高二（下）期中数学试卷解析版（理科）

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1、第 1 页 共 12 页 期中数学试卷 期中数学试卷 题号一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 i 是虚数单位 已知复数 Z 1 i 4 则复数 Z 对应点落在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 2 已知 n N 则 24n除以 15 的余数为 A 1B 3C 4D 2 3 求由曲线 y 直线 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积错误的为 A B C D 4 设复数 z 的共轭复数是 且 z 1 又 A 1 0 与 B 0 1 为定点 则函数 f z z 1 i 取最大值时在复平面上以 z A B 三点为顶点的图形是 A 等边三角形B 直

2、角三角形 C 等腰直角三角形D 等腰三角形 5 函数 f x 的定义域为 R f 1 2 对任意 x R f x 2 则 f x 2x 4 的解集为 A 1 1 B 1 C l D 6 等比数列 an 中 a1 2 a8 4 函数 f x x x a1 x a2 x a8 则 f 0 A 26B 29C 212D 215 7 设 f x g x 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 当 x 0 时 0 且 g 3 0 则不等式 f x g x 0 的解集是 A 3 0 3 B 3 0 0 3 C 3 3 D 3 0 3 8 已知函数 f x x2 bx 的图象在点 A 1 f 1 处的切线的斜

3、率为 3 数列 的前 n 项和为 Sn 则 S2019的值为 A B C D 9 已知 函数 f x 的导数 f x a x m x a 若 f x 在 x a 处取得极大值 则 a 的取值范围是 A a 1B 1 a 0C a 1 或 a 0D 0 a 1 或 a 0 10 二维空间中圆的一维测度 周长 l 2 r 二维测度 面积 S r2 观察发现 S l 三维空间中球的二维测度 表面积 S 4 r2 三维测度 体积 V r3 观察发 现 V S 则由四维空间中 超球 的三维测度 V 8 r3 猜想其四维测度 W A 4 r4B 4 r2C 2 r4D r4 11 设 1 x 2 则 的大

4、小关系是 第 2 页 共 12 页 A B C D 12 设 f x 为函数 f x 的导函数 已知 x2f x xf x lnx f e 则下 列结论正确的是 A f x 在 0 单调递增B f x 在 0 单调递减 C f x 在 0 上有极大值D f x 在 0 上有极小值 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 直线 l 过点 1 3 且与曲线 在点 1 1 处的切线相互垂直 则直线 l 的方程为 14 设 的展开式中 x3的系数为 a 二项式系数为 b 则 的值为 15 设函数 f x x a x b x c a b c 是两两不等的常数 则 16 设函数 f x g

5、 x 对任意 x1 x2 0 不等式 恒成 立 则正数 k 的取值范围是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 0 分 17 已知复数 z1 a 2i z2 3 4i a R i 为虚数单位 若 z1 z2是纯虚数 求实数 a 的值 若复数 z1 z2在复平面上对应的点在第二象限 且 z1 4 求实数 a 的取值范 围 18 设 F x t 2t 8 dt x 0 1 求 F x 的单调区间 2 求函数 F x 在 1 3 上的最值 19 设 y f x 是二次函数 方程 f x 0 有两个相等的实根 且 f x 2x 2 1 求 y f x 的表达式 2 若直线 x t 0 t 1 把

6、y f x 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等 第 3 页 共 12 页 分 求 t 的值 20 已知数列 an 满足 nan 1 n 1 an 1 n N a1 a 0 1 求 a2 a3 a4的值并猜出 an 的通项公式 2 求证 分别以 a2 a3 a4为边的三角形不可能是直角三角形 21 设 a 0 f x x 1 ln2x 2alnx x 0 令 F x xf x 讨论 F x 在 0 内的单调性并求极值 求证 当 x 1 时 恒有 x ln2x 2alnx 1 22 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为 为参数 以原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲

7、线 C2的极坐标方程为 4sin 求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程 已知曲线 C3的极坐标方程为 0 R 点 A 是曲线 C3与 C1的 交点 点 B 是曲线 C3与 C2的交点 且 A B 均异于原点 O 且 AB 4 求实数 的值 第 4 页 共 12 页 答案和解析答案和解析 1 答案 B 解析 解 4 i 对应的点的坐标是 4 1 复数的对应点落在第二象限 故选 B 首先进行复数的除法运算和乘方运算 分子和分母同乘以分母的共轭复数 整理成最简 形式 写出复数对应的点的坐标 根据坐标看出位置 本题考查复数的运算和复数的几何意义 这种题目是近几年高考卷中必出的一种题目 题目的知

8、识点比较简单 是一个送分题目 2 答案 A 解析 解 由于 24n 16n 1 15 n 15 152 15n 显然 在展开式中 除了第一项以外 其余的各项都能被 15 整除 故 24n除以 15 的余 数为 1 故选 A 根据 24n 15 152 15n 显然 在展开式中 除了第一项以外 其余的 各项都 能被 15 整除 由此可得 24n除以 15 的余数 本题主要考查利用二项式定理研究整除问题 体现了转化的数学思想 属于中档题 3 答案 C 解析 分析 本题考查定积分的运用 解题的关键是确定被积区间与被积函数 属于基础题 由曲线 y 直线 y x 2 可得交点坐标为 4 2 进而可得由曲

9、线 y 直线 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积 解答 解 由曲线 y 直线 y x 2 可得交点坐标为 4 2 由曲线 y 直线 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 2y 4 4y y3 故错误的是 C 故选 C 4 答案 D 第 5 页 共 12 页 解析 解 z 1 设 z cos isin 则 z 1 i 1 cos isin cos i sin 1 sin cos 1 1 sin cos i 则 f z 当 sin 1 即 2k 2k 时取得最大值 最大值为 1 2 此时 z cos isin i 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 则 ZA ZB 则对应三

10、角形为等腰三角形 故选 D 根据复数的几何意义 结合复数模长公式进行计算即可 本题主要考查复数的几何意义 利用三角函数的性质求出对应最值 结合复数模长公式 是解决本题的关键 5 答案 B 解析 解 设 F x f x 2x 4 则 F 1 f 1 2 4 2 2 0 又对任意 x R f x 2 所以 F x f x 2 0 即 F x 在 R 上单调递增 则 F x 0 的解集为 1 即 f x 2x 4 的解集为 1 故选 B 把所求的不等式的右边移项到左边后 设左边的式子为 F x 构成一个函数 把 x 1 代入 F x 中 由 f 1 2 出 F 1 的值 然后求出 F x 的导函数

11、根据 f x 2 得到导函数大于 0 即得到 F x 在 R 上为增函数 根据函数的增减性即可得到 F x 大于 0 的解集 进而得到所求不等式的解集 此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集 是一道中档题 6 答案 C 解析 解 考虑到求导中 f 0 含有 x 项均取 0 得 f 0 a1a2a3 a8 a1a8 4 212 故选 C 对函数进行求导发现 f 0 在含有 x 项均取 0 再利用等比数列的性质求解即可 本题考查多项式函数的导数公式 重点考查学生创新意识 综合与灵活地应用所学的数 学知识 思想和方法 7 答案 D 解析 分析 本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其

12、导函数正负之间的关系 导数是 一个新内容 也是高考的热点问题 要多注意复习 先根据 0 可确定 0 进而可得到 f x g x 在 x 0 时递增 结合函数 f x 与 g x 的奇偶性可确定 f x g x 在 x 0 时也是增函数 第 6 页 共 12 页 最后根据 g 3 0 可求得答案 解答 解 设 F x f x g x 当 x 0 时 0 F x 在当 x 0 时为增函数 F x f x g x f x g x F x 故 F x 为 0 0 上的奇函数 F x 在 0 上亦为增函数 已知 g 3 0 必有 F 3 F 3 0 构造如图的 F x 的图象 可知 F x 0 的解集为

13、 x 3 0 3 故选 D 8 答案 D 解析 解 函数的导数 f x 2x b 点 A 1 f 1 处的切线的斜率为 3 f 1 2 b 3 解得 b 1 f x x2 x x x 1 S2019 1 1 故选 D 由已知得 f 1 2 b 3 从而 b 1 进而 然后由裂项相消法求和可得 本题考查数列的求和 涉及导数和曲线某点切线的斜率以及裂项相消法求和 属中档题 9 答案 C 解析 解 m f x a x 1 x a 1 若 a 0 则 1 0 a 当 x 1 或 x a 时 f x 0 当 1 x a 时 f x 0 此时 函数 f x 在 x a 处取得极大值 2 若 a 0 则二次

14、函数 f x 的图象开口向上 若使得函数 f x 在 x a 处取得极大值 结合二次函数的图象可知 a 1 则 a 1 综上所述 实数 a 的取值范围是 0 1 故选 C 利用定积分公式可求出 m 1 讨论 a 的正负 结合二次函数图象要求 f x 在 x a 附近左正右负 结合图象可得出 a 的取值范围 第 7 页 共 12 页 本题考查利用导数研究函数的极值 同时也考查了二次函数的图象 考查推理能力与分 析能力 属于中等题 10 答案 C 解析 解 二维空间中圆的一维测度 周长 l 2 r 二维测度 面积 S r2 观察 发现 S l 三维空间中球的二维测度 表面积 S 4 r2 三维测度

15、 体积 V r3 观察发现 V S 四维空间中 超球 的三维测度 V 8 r3 猜想其四维测度 W 则 W V 8 r3 W 2 r4 故选 C 根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度 从而得到 W V 从而求出所求 本题考查类比推理 解题的关键是理解类比的规律 解题的关键主要是通过所给的示例 及类比推理的规则得出高维的测度的导数是低一维的测度 属于基础题 11 答案 A 解析 分析 本题在于巧设函数 并求导 判断单调性 考查了灵活运用知识的能力 要判断大小关系 可以令 f x x lnx 1 x 2 然后求导 判断 f x 的单调性 继而判断所给数的大小关系 解答

16、解 令 f x x lnx 1 x 2 则 函数 y f x 1 x 2 为增函数 f x f 1 1 0 x lnx 0 又 故选 A 12 答案 B 解析 解 由 x2f x xf x lnx 得 xf x f x 从而 xf x 令 g x xf x x 0 则 f x 令 h x lnx g x 第 8 页 共 12 页 则 h x x 0 令 h x 0 则 1 lnx 0 得 0 x e 时 h x 为增函数 令 h x 0 则 1 lnx 0 得 x e 时 h x 为减函数 由 f e 得 g e ef e 1 h x 在 0 上有极大值 h e lne g e 1 1 0 也是最大值 h x 0 即 f x 0 当且仅当 x e 时 f x 0 f x 在 0 上为减函数 故选 B 第一步 在 x2f x xf x lnx 两边同时除以 x 使得左边为 xf x 第二步 令 g x xf x 用 g x 表示 f x 并写出 f x 第三步 对 f x 的分子再求导 从而求出分子的最大值 第四步 判断 f x 的符号 进而即可判断 f x 的单调性 本题考查了函数的单